2027届高考数学一轮复习----专题1-3 等式性质与不等式的性质（3重难点题型+高考真题）

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，通过三大重难点模块系统整合比较大小、命题判断、范围求解方法，结合高考真题与模拟题构建“方法-题型-应用”逻辑链，培养数学推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较数与式的大小|5题（含2025上海宝山二模等）|作差（变形判断与0大小）、作商（变形判断与1大小）|基于不等式性质，从数式比较到实际问题（如体积比较）| |判断命题真假|6题（含2026湖南长沙二模等）|推理证明、反例说明、特殊值法、函数性质应用|结合函数单调性等性质，构建命题真假判断的逻辑推理链| |求范围|4题（含2025山西临汾二模等）|建立变量约束关系，避免独立分析扩大范围|从基本不等式性质到多变量综合范围求解，体现数学模型意识|

专题1-3 等式性质与不等式的性质 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数式与对数式的互化、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 重难点突破1 比较数与式的大小 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是： 若，则；；； 若，则；；． 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 2．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求积的最大值 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 4．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆锥表面积的有关计算、作商法比较代数式的大小、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知正数，，满足，则，，的大小关系为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将看成常数，然后根据题意表示出，再作差比较出大小即可 【详解】解：由，得，则，得， 所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即 所以， 所以，综上， 故答案为：. 重难点突破2 利用不等式的性质判断命题的真假 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断． 1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 2．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】通过举反例排除A、B、D三个错误选项，再利用重要不等式或柯西不等式证明选项C恒成立. 【详解】排除选项A：取，满足，此时，故A错误； 排除选项B：取，满足，此时，故B错误； 排除选项D：取，满足，此时，故D错误； 证明选项C：方法一：因为，所以， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 方法二：由柯西不等式得： ， 化简得，即， 因为，所以，故C正确. 3．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小 【分析】由，利用对数性质取特殊值可排除A，根据单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由在上单调递增，结合得，确定D成立. 【详解】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 4．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·山东济宁·三模）（多选题）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【难度】0.7 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选题）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 重难点突破3 利用不等式的性质求范围 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 3．（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是__________.. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用不等式求值或取值范围、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案. 【详解】，则， 又，得， 设，由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，由原式为，则所求范围为. 故答案为：. 4．（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为__________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值. 【详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-3 等式性质与不等式的性质 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 重难点突破1 比较数与式的大小 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是： 若，则；；； 若，则；；． 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知正数，，满足，则，，的大小关系为________. 重难点突破2 利用不等式的性质判断命题的真假 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断． 1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·三模）已知非零实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·山东济宁·三模）（多选题）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选题）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点突破3 利用不等式的性质求范围 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是__________.. 4．（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $