高考尖子生培优专题10：函数图象性质应用6大热点题型（2027年高考一轮复习）(新高考专用)

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题10：函数图象性质应用6大热点题型 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 4 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 5 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 6 解题技巧四 函数图象的变换 8 解题技巧五 函数图象的综合应用 9 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 10 第三部分 能力提升 限时训练 12 思维导图 1．分析函数图象一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 3．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 4．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 5．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 6.图象的变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1) y＝logax(a>0,且a≠1). ⑤若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|). ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称. (4)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) 经典重现+解题技巧 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 （1）若恒成立，则的图象关于直线对称． （2）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （3）函数与函数的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于点中心对称． （6）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式1-1】（25-26高三下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【变式1-2】（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【变式1-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为；若是奇函数，则函数图象的对称中心为． 【例2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式2-1】（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【变式2-2】（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【变式2-3】（2026·山西朔州·一模）(多选)已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 【例3】（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）   A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 解题技巧四 函数图象的变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1). 【例4】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【变式4-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【变式4-2】（2026·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·湖南·二模）(多选)已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 解题技巧五 函数图象的综合应用 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【例5】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式5-1】（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【变式5-3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）(多选)若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 （1） 确定函数的定义域； （2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 【例6】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·广西·模拟预测）(多选)已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 【变式6-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数满足，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 第三部分 能力提升 限时训练 1．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 5．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）若与有且仅有一对对称的点关于函数的图象对称，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津武清·期中）函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 11．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 14．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 16．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·河南·阶段检测）(多选)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 18．（2026·吉林延边·三模）(多选)已知函数，则（    ） A．函数的值域为 B．函数在区间上单调递减 C．函数的最小正周期为π D．函数的图象关于直线对称 19．（2026高三·江苏·专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则_______. 20．（25-26高三上·上海静安·阶段检测）若函数的对称中心是，则___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题10：函数图象性质应用6大热点题型 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 4 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 7 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 10 解题技巧四 函数图象的变换 13 解题技巧五 函数图象的综合应用 16 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 21 第三部分 能力提升 限时训练 25 思维导图 1．分析函数图象一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 3．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 4．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 5．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 6.图象的变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1) y＝logax(a>0,且a≠1). ⑤若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|). ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称. (4)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) 经典重现+解题技巧 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 （1）若恒成立，则的图象关于直线对称． （2）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （3）函数与函数的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于点中心对称． （6）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD. 【详解】令，， 对于A，，，显然，A错误， 对于B，，B错误， 对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确， 对于D，，当时，得点， 点关于直线对称点为， 当时，，故D错误. 【变式1-1】（25-26高三下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 【变式1-2】（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 【变式1-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算的值，结合函数对称性的定义可得出结果. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 又因为 ， 所以，故函数的对称中心为. 故选：D. 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为；若是奇函数，则函数图象的对称中心为． 【例2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解，最后得到即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 由，得， 故，即得 则，解得，故. 【变式2-1】（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 【变式2-2】（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 【变式2-3】（2026·山西朔州·一模）(多选)已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分和两种情况讨论；D选项，结合图象得到的范围和，然后判断即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，A正确； ，所以关于对称，B错； 当，时，， ，，则， 当，时，， ，，则， 综上可得的值域为，C错； 时，，图象如下所示： 所以，，则，D正确. 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 【例3】（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【详解】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C 【变式3-1】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 【变式3-2】（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及正负，结合选项逐一排除即可求解. 【详解】由图可知：的图像关于轴对称，故为偶函数， 对于A， 设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故A不合题意； 对于B，设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故B不合题意； 对于C， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，因恒成立，故C不合题意； 对于D， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，且当时，，结合图象可知D符合题意. 故选：D 【变式3-3】（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 解题技巧四 函数图象的变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1). 【例4】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【答案】C 【分析】根据函数平移的原则一一分析即可. 【详解】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得，故A错误； 对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误； 对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确； 对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】（2026·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可 【详解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象， 所以，即， 将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式， 因为所得图象恰好与函数的图象重合， 所以， 所以，又且， 解得， 故选：D 【变式4-3】（2025·湖南·二模）(多选)已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 【答案】ABD 【分析】由函数图像的变换即可判断AB，由函数周期性的定义即可判断C，结合函数周期的性质代入计算，即可判断D. 【详解】由图象的变换知A项正确； 因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确； 由得①， 在中用代替得②， 由①②得，所以3是的周期，C项错误， 由知的周期， 则， 在中令得，所以，D项正确. 故选：ABD 解题技巧五 函数图象的综合应用 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【例5】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】点关于原点的对称点为，即时，， 已知函数， ， 当时，，方程图象有两个交点； 当时，，方程图象有1个交点； 综上，图象上关于原点对称的点有3对． 【变式5-1】（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 【变式5-2】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【答案】C 【分析】整理可得，令，，可得，分类讨论与1的大小，结合函数图象分析判断. 【详解】因为，，为两两不相等的正数， 令，可得， 令，，则，，且均不为1，可得， 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，， 可知与没有交点，即没有零点； 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确. 【变式5-3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）(多选)若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确； 对于B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即故B正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误； 由前面分析可知，故D正确． 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 （1） 确定函数的定义域； （2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 【例6】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 【变式6-1】（2025·广西·模拟预测）(多选)已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 【答案】 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数满足，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由题意，把在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，转化为函数与的图象在区间内有4个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数满足，即，即函数是以6为周期的周期函数， 又由在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解， 即在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解， 即函数与的图象在区间内有4个不同的交点， 又由函数，作出函数的图象，如图所示， 由直线，可知直线恒过点， 当时，此时直线与函数的图象恰有4个交点， 当直线过点时，此时，即，此时函数与直线有5个同的交点， 当直线与半圆相切时，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去），此时函数与直线有3个同的交点， 此时函数与直线恰有4个同的交点，则 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题. 第三部分 能力提升 限时训练 1．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】由函数的对称性逐项判断即可； 【详解】对于A：，A错； 对于B：，B错； 对于C：由， 所以关于直线对称，C对； 对于D，，故D错； 故选：C 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项. 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误. 故选：D. 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可． 【详解】由， 对于①，由，则分母对全体实数都成立，所以的定义域为，故①正确； 对于②，由，则，则，所以的值域为，故②正确； 对于③，由是增函数，则是减函数，所以是增函数，故③错误； 对于④，由，则，所以的图象关于点对称，故④正确． 综上描述正确的个数是3． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 【答案】C 【分析】对函数求导分析其单调区间与极值点，即可判断AC；通过因式分解得，即可判断B；通过计算即可判断D. 【详解】已知函数，则， 对于A，由得，当时，有或；当时，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错误； 对于B，由于，所以当且仅当或，故B错误； 对于C，因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，假设的图象关于对称，则有， 而，所以的图象关于对称，而不是对称，故D错误. 5．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）若与有且仅有一对对称的点关于函数的图象对称，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据指对数函数的图象可知，与关于直线对称， 所以函数与的图象上恰好存在唯一一对关于直线对称的点， 等价于函数与恰好存在唯一交点， 令，则， 所以直线与有唯一的交点， 设，则， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 而，且当时，， 所以当时，，当时，， 则函数的大致图象，如下图所示，故或满足条件， 所以实数的取值范围是. 6．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 7．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性及函数图象，分析选项即可. 【详解】由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数. 对于，，，故错误； 对于,，当时，，与图象不符，故错误； 对于，，当，与图象不符，故错误； 故选： 8．（24-25高三上·天津武清·期中）函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合三角函数的奇偶性，即可判断选项. 【详解】设，，所以是奇函数， 为奇函数，为偶函数， 函数的图象关于轴对称，所以是偶函数， 是奇函数偶函数奇函数，故排除B， 是奇函数偶函数奇函数，故排除D， 在处无意义，所以不过原点，故排除C， 故选：A 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可排除BD，根据函数值的符号可排除A. 【详解】由图可得，而B中函数满足，D中函数满足 ，故排除BD， 对于A函数：当时，，而，故， 故当时，，故排除A， 故选：C. 10．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 11．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 12．（24-25高三上·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，，数形结合得到，应用对勾函数的性质求目标式的范围. 【详解】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以， 则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 13．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 14．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 16．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 17．（25-26高三上·河南·阶段检测）(多选)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 18．（2026·吉林延边·三模）(多选)已知函数，则（    ） A．函数的值域为 B．函数在区间上单调递减 C．函数的最小正周期为π D．函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】变形函数，结合二倍角的正弦及正弦函数性质判断A；利用辅助角公式及正弦函数性质判断B；求出的一个周期为判断C；利用轴对称的意义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，，而， 正弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，B正确； 对于C，， 因此函数的一个周期为，C错误； 对于D，， 因此函数的图象关于直线对称，D正确. 19．（2026高三·江苏·专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则_______. 【答案】0 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，利用函数的奇偶性、对称性和周期性，推导前四项的函数值，进而求和. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，令，， 因为，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，则， 所以，故8是函数的一个周期. 因为，所以，， 因为，， 所以. 故答案为：. 20．（25-26高三上·上海静安·阶段检测）若函数的对称中心是，则___________. 【答案】 【分析】根据分式函数的对称中心进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的对称中心为， 由已知可知函数的对称中心是， 所以， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $