精品解析：甘肃兰州市第八十一中学集团校2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末试卷 七年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A. 9cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm 5. 如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（ ）     A. B. C. D. 7. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正面图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（ ）比较符合故事情节． A. B. C. D. 9. 把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿折叠，A，D两点的对应点分别为，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：_________． 13. 若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 15. 如图，在等边三角形中，，垂足是D，且，点E，F分别是线段，上的动点，则的最小值是________. 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 作图题：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P. （注意保留作图痕迹，不用写作法） 19. 已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的图形 （2）求的面积． 20. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 21. 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 22. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 23. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： （1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟； （2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟； （3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米? 24. 八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高． 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ． A. B. C. （2）已知 ，，求的值． （3）应用所得的公式计算：． 26. 已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末试卷 七年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选不项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】万． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方等基本法则．根据并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C正确． 选项D：，故D错误． 故选：C． 4. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A. 9cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm 【答案】D 【解析】 【详解】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm． 故选D． 5. 如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意，太阳光线垂直于集热板， ∴， ∵郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为， ∴． 6. 如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 7. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正面图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解∵这四张卡片中酵母菌、黏菌属于真核生物， ∴所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是． 8. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（ ）比较符合故事情节． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据故事情节分析水位随时间的变化趋势：初始有水、入水上升、等待不变、破缸下降． 【详解】∵瓮中原有水， ∴初始时刻水的高度不为，图象起点在轴正半轴上，排除A选项； ∵一儿登瓮，足跌没水中，小孩占据体积导致水面上升， ∴图象应有一段上升过程，排除B选项； ∵众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸， ∴缸破后水流出，水位迅速下降，图象应有一段下降过程，排除C选项； 综上所述，图D符合“起始非零上升持平下降”的变化规律． 9. 把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图①可得：阴影部分的面积为：；由图②可得：阴影部分的面积为：，再利用阴影部分的面积相等可得答案． 【详解】解：由图①可得，阴影部分的面积为．由图②可得，阴影部分的面积为． ∵阴影部分的面积相等，、 ∴． 10. 如图，在长方形纸片中，，点E，F分别在边上，将纸片沿折叠，A，D两点的对应点分别为，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，结合平角的定义和角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再利用平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 11. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】设这个角的度数为，则这个角的补角为，根据“一个角的补角的比这个角大”列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为， 根据题意列方程：， 解得：， 即这个角的度数为． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 15. 如图，在等边三角形中，，垂足是D，且，点E，F分别是线段，上的动点，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示： 则 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，属于基础题型．明确乘法计算法则是解决这个问题的关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后再进行合并同类项得出化简结果，最后将a和b的值代入化简结果得出答案． 【详解】解： ， 将，代入得，原式． 18. 作图题：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P. （注意保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】见解析. 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解题的关键． 19. 已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的图形 （2）求的面积． 【答案】（1） 即为所求； （2）6 【解析】 【分析】本题考查作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形； （2）根据网格，利用割补法即可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积 20. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及角平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出，，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由，依据“两只相平行，同位角相等”得到，结合已知根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质得到，依据“同位角相等，两只相平行”可进行求证． 【小问1详解】 ∵， ， 在和中， ， 【小问2详解】 ， 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】（1） （2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【小问1详解】 爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示， 阅读部分圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 23. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： （1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟； （2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟； （3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米? 【答案】（1）， （2）， （3）张强从离家到回家的平均速度是每分钟米 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）观察函数图象即可得解； （2）观察函数图象即可得解； （3）根据速度路程时间，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟； 【小问2详解】 解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟； 【小问3详解】 解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米）， 故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米． 24. 八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高． 【答案】教学楼高度为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，进而可得，从而可得：，然后利用证明，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：教学楼高度为． 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ． A. B. C. （2）已知 ，，求的值． （3）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积的计算，掌握乘法公式的计算是关键． （1）根据图形面积的计算判定即可； （2）根据平方差公式的计算求解即可； （3）运用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：图1的阴影部分的面积为，图2的阴影部分的面积为， ∴， 故选：B； 【小问2详解】 解：， ∴； 【小问3详解】 解： ． 26. 已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】（1）；； （2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $