向量应用三角形的角平分线问题（精练）——2026年高一下数学暑假培优专项练

向量应用三角形的角平分问题（精练） 【思维导图】 核心本质 角度：平分内角，形成等角、二倍角，用于角度代换 核心等量关系（解题依据） 边长：角平分线分对边两段之比=三角形两邻边之比 面积：两个小三角形面积比=底边分段比=邻边之比 等面积拆分法：大三角形面积拆分为两个小三角形面积和，多用于求角平分线长 两大核心解题方法⊙ 比例设参法：根据边长比例设未知数，减少计算量 【核心总结】 1、题型本质 借助角平分线带来的等角、边长比例、面积比例三类等量关系，结合正余弦定理、向量、 三角变换等工具完成边角计算与证明 2、通用公式 在△ABC中，角A的角平分线AD交底线于点D.遇到角平分线问题，常见的处理方法 有： AB BD (1)在△ABC中，AD是角的角平分线，则ACCD; （2)等面积法： 4 B-Csin∠ac-方48AD-sm5<B4c+540:4C-sm时B4C 3.解题步骤 (1)根据题型选方法：求角平分线长度用等面积拆分：求边角关系用正、余弦定理；有向 量先化简三角函数求内角。 (2)遇半角、两角差，借助三角形内角和做角度代换，展开三角恒等变换。 第1页共6页 (3)联立方程求解参数，舍去边长、角度不符合范围的负值或无效解：三角函数多解要分 类讨论。 (4)结合所求问题，计算周长、面积、线段长或三角函数值，完成作答。 4.高频考法 (1)角平分线平分内角，产生相等角与二倍角关系，用于角度等量代换。 (2)角平分线分割对边所得两段线段的比值，等于三角形相邻两条侧边的比值。 (3)角平分线分出的两个小三角形，面积比既等于底边分段比也等于三角形邻边比。 【例1】己知△ABC中，内角AB、C的对边分别为ab、C,BD为∠ABC的角平分线. D A (1)求证：AD:AB=CD:CB, (2)若BD=2且C=2a=6,求△ABC的面积. 【变式1-1】已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中 a=4,4v3 cos C=3b-csin A (1)求A: (2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M,若 AM=2 3求△ABC的周长 第2页共6页 【变式1-2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, b2+c2-a -(acosB-c)c 2 (1)求角A: AB 2)若为。边上一点，且满足D=入 AC D BO 4D=2 11 ①求方+的值： 11 ②求BD+CD的取值范围. 【例2】已知点M(sinXcosx,.sin'x),N(2,23),0为坐标原点，函数f(x)= oM·ON (1)求f(x)的解析式及最小正周期 (2)三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c,AD为∠BAC的角平分线， AB=2AC,BD=2若f(A)=2V3,求△ACD的面积 第3页共6页 【变式21】在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=c(c+b) (1)求证：B+3C=π； (2)若∠ABC的角平分线交AC于点D,且a=12,b=7,求BD的长. 【变式2-2】在△ABC中，AB=3,AC=2,D为BC边上一点，且AD平分∠BAC. (1)若BC=3,求CD与AD: (2)若∠ADC=60°，设∠BAD=0,求tan0. 第4页共6页 【巩固加练】 1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos2C-cos2A+(sin 4+sin B)sin B=0. (1)求C: (2)若a,b为方程x2-10x+20=0的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D,求CD. 2.如图，在△4BC中，∠B4C=∠a4C的角平分线交BC于P点，P-2 B P (I)若BC=8,求△ABC的面积： (2)若CP=4,求BP的长. 第5页共6页 3.已知△ABC与△ABD,点C与点D在直线AB的同侧，且边AC与边BD相交于点O,O 为4c中点，D0=20:份-2乙40C= 3 (1)若BD平分∠ABC,求AD; (2)若BC=3,求sin∠BAD 第6页共6页 向量应用三角形的角平分问题（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 借助角平分线带来的等角、边长比例、面积比例三类等量关系，结合正余弦定理、向量、三角变换等工具完成边角计算与证明 2、 通用公式 在中，角的角平分线交底线于点.遇到角平分线问题，常见的处理方法有： （1）在中，是角的角平分线，则； （2）等面积法: . 3. 解题步骤 （1）根据题型选方法：求角平分线长度用等面积拆分；求边角关系用正、余弦定理；有向量先化简三角函数求内角。 （2）遇半角、两角差，借助三角形内角和做角度代换，展开三角恒等变换。 （3）联立方程求解参数，舍去边长、角度不符合范围的负值或无效解；三角函数多解要分类讨论。 （4）结合所求问题，计算周长、面积、线段长或三角函数值，完成作答。 4.高频考法 （1）角平分线平分内角，产生相等角与二倍角关系，用于角度等量代换。 （2）角平分线分割对边所得两段线段的比值，等于三角形相邻两条侧边的比值。 （3）角平分线分出的两个小三角形，面积比既等于底边分段比也等于三角形邻边比。 【例1】已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线． （1）求证：； （2）若且，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】（1）由题意可得，因为BD为∠ABC的角平分线，则，在△ABD中，，则， 同理可得，因此，即． （2）设，则，因为，即，又且，可得， 因为，则，则，，可得，，所以，，． 【变式1-1】已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. (1)求A； (2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意可得，由正弦定理得， 又，故， 又，所以，则，因为，所以. （2）因为，所以， 又平分，所以，所以， 则，即由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去），故的周长为. 【变式1-2】在中，内角所对的边分别是，． (1)求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【解析】（1）由余弦定理，等式左边， 因为，所以，所以等式左边． 所以，化简得， 由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式化简得． 因为，所以，所以， 即，因为，所以． （2）①，所以AD是的平分线， 由（1）知，，所以， 在中，， 即， 化简得，则． ②在中，由正弦定理得． 即， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以． 因为．所以，所以， 所以的取值范围为． 【例2】已知点M（sincos,sin2），N（2,2），O为坐标原点，函数f（）= （1）求f（）的解析式及最小正周期 （2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c, AD为BAC的角平分线，AB=2AC，BD=2若f（A）=2，求△ACD的面积 【答案】(1) (2)或 【解析】f(x)=2sinxcosx-2sin2x=+=+2 f(x)的最小正周期为 （2） ∵f（A）=2，∴+2=2,∴= ∴2A =或 ∴A=或 ∵AB=2AC,设AC=m，则AB=2m，又∵BD=2· 由角平分线定理得:CD=1 ∴BC=3 当A=时，由余弦定理得 :+-2·m·2m= 解得：m= ,== 当A= 时，+=，∴= ，∴,=== ∴三角形ABC的面积为或 【变式2-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 【变式2-2】在中，为边上一点，且平分． (1)若，求与； (2)若，设，求． 【答案】(1)，； (2). 【解析】（1）如下图所示：    因为平分，所以，又因为在上，所以，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得 ，故． （2）    因为平分，，又， 所以，在中，由正弦定理可得 ，又，所以， 展开并整理得，解得 【巩固加练】 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若a，b为方程的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D，求CD． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）依题意，，即， 在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：， 因，解得，所以． （2）依题意，，，而是的角平分线，则，即，整理得，解得，所以 2．如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.    (1)若，求△ABC的面积; (2)若，求BP的长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以. （2）因为，所以在中由余弦定理可得，所以解得， 由正弦定理得，即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则，解得， 所以. 3.已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 【答案】（1） (2) 【解析】（1）因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，，由余弦定理得： ， ， 所以. （2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $