第二十七章 反比例函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版反比例函数单元暑假自测卷，考点全覆盖，重难点突出，通过真实情境与几何综合题考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|性质、图象、k值意义|结合人均耕地、扫地机器人充电等现实情境，考查抽象能力与模型意识| |填空|6/18|点坐标、函数值比较、几何综合|融入等腰直角三角形与反比例函数图象，体现几何直观| |解答|8/72|实际应用、动态几何、新定义|含小孔成像、杠杆平衡等科学情境，动态矩形运动与“不动点”探究，发展推理能力与创新意识|

第二十七章 反比例函数 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 7．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 9．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 10．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点在的图象上，则______． 12．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 13．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 14．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 18．如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 19．如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 20．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 22．如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A和x轴上的一点，与反比例函数的另一交点为点C． (1)当且时，求m的值和点B的坐标； (2)在x轴上移动点B，若，直接写出n的取值范围 24．问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、函数中，，随增大而增大，不符合题意． B、函数中，，随增大而减小，符合题意． C、函数是反比例函数，在每个象限内随增大而减小，不符合题意． D、函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，时随增大而增大，不符合题意． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 3．如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， 设点坐标为， ∵在上， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， 且平行四边形的高等于的纵坐标， ∴， 解得． 4．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 反比例函数中，比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点在第二象限，可得， ∵ ，， ∴ 点，都在第四象限， ∴，， 又∵ ，且第四象限内随的增大而增大， ∴ ， 综上可得 ． 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 7．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【详解】解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 9．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 10．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点在的图象上，则______． 【答案】 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 12．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 13．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 14．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解：过作轴，轴，设，则， 又，均为等腰直角三角形， 所以，， ， ，即， 解得，即． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 18．如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【详解】（1） 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； （2）解∶把代入，得， 解得， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 19．如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 20．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 22．如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 23．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A和x轴上的一点，与反比例函数的另一交点为点C． (1)当且时，求m的值和点B的坐标； (2)在x轴上移动点B，若，直接写出n的取值范围 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 由不等式因式分解得：， ∵， ∴， 解得：或； 同理解不等式得：； ∵当时，一次函数的解析式为，此时联立反比例函数与一次函数解析式，消去y得：，整理得：， 解得， 此时反比例函数与一次函数相切，不存在另一个交点C，故， 综上所述：n的取值范围为或． 24．问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【详解】（1）解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； （2）①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $