精品解析：河北保定市部分校联考2025-2026学年高一创新班下学期7月期末质量检测数学试题

25级创新班期末质量检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推公式求解. 【详解】由题知，. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程转换成标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】用向量加法的坐标运算判断A，用向量模的坐标运算判断B，用向量数量积的坐标运算判断C，由，可判断D. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 4. 已知数列的通项公式是，且，则数列的前15项和为（ ） A. 81 B. 84 C. 165 D. 168 【答案】D 【解析】 【详解】令，得，解得. 所以. 所以. 5. 已知等比数列的前项积为，若，则（ ） A. 36 B. 35 C. 19 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，且，结合等比数列的性质，求得，即可求解. 【详解】因为，可得，且 又因为，可得， 由等比数列的性质，可得， 因为等比数列的前项积为， 可得， ， 所以满足的正整数的值为. 6. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】应用平行线间距离公式结合几何法求出弦长. 【详解】由题意得圆心在直线：上，直线，二者之间的距离， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆所截得的弦长. 故选:C. 7. 已知为椭圆的左､右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，易得，结合可得结果. 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是， 易得. 故选：C 8. 已知各项都不相等的数列，圆C：，圆：，若圆平分圆C的周长，则的所有项的和为（ ） A. 99 B. 100 C. 198 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆平分另一圆周长的条件，推导出公共弦必过圆心，从而得到数列项的关系，再通过倒序相加法求出所有项的和. 【详解】由题意联立， 两式相减可得公共弦所在直线方程为，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆的圆心， 圆的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 存在，使得 C. 直线过定点 D. 直线过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D. 【详解】若，：，：，显然成立， 若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误； 的方程可化为，即，所以过定点，故C正确， ，所以过定点，故D错误. 故选：AC. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的前12项积为 B. 的前8项和为 C. 是公比为4的等比数列 D. 的前n项和为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式,,解得则且.然后计算新数列的积与和以及证明是否为等比数列. 【详解】为等比数列，q为公比，由，， 则，，解得，，， A．，所以A正确； B．为等比数列,首项为2,公比为,前8项和为,故B错误； C．，故C正确； D．，所以是首项为,公比为2的等比数列,前n项和为,故D错误． 11. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A. B. 直线PA1、PA2的斜率之积等于定值 C. 使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个 D. △PF1F2的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用双曲线定义分析判断；对于B：设，利用斜率公式计算得，再根据点在双曲线上得，整理代入运算；对于C：因为，结合题意只能或，再结合图象及性质分析判断；对于D：根据定义结合余弦定理整理得，再结合面积公式整理判断． 【详解】根据双曲线的定义可得：，A错误； 设，则，即 ∵，则 ∴，B正确； 不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知 若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一 若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一 根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确； 不妨P在第一象限，则 ∴ 则 D不正确； 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件列出方程组，求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由可得，即①， 由可得，即②， 联立①②，解得，，所以. 13. 已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和三角形中，两边之和大于第三边，当且仅当三点共线时等号成立这些知识求解. 【详解】设点P到抛物线C的准线的距离为d， 则（当AP与准线垂直时取最小值）， 故的最小值为5. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，进而列方程组求解即可； （2）根据数列的正负性求出最值. 【小问1详解】 设数列的公差为，则，得，则. 【小问2详解】 得； 得， 故当时有最小值，为. 16. 已知椭圆C：的短轴长为2，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C相交于A，B两点．O是坐标原点，的面积是，求实数m的值． 【答案】（1） （2）1或2． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆短轴长，可求得，利用点在椭圆上，进而可求，可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可求得，求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的短轴长为2，得，解得， 所以椭圆方程为，又点在椭圆上． 所以，解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设点， 联立直线与椭圆方程，得， 则，即， 且， 又直线与轴的交点， 所以 ， 因为的面积是，所以，所以， 解得或，均符合题意. 故实数的值为或． 17. 在平面四边形中，，，（如图1），将沿着翻折到的位置（如图2），且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接，与交于点， 因为在平面四边形中，， 所以垂直平分线段是的中点，所以，即， 因为，所以. 因为，所以， 所以. 翻折后，因为，所以， 又平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，通过等腰三角形的三线合一证明，再根据勾股定理证明，根据线面垂直的性质定理即可得证平面，最后根据面面垂直的性质进行证明即可. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面及平面的法向量，最后根据面与面的夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为两两垂直，故以点为坐标原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设为平面的一个法向量，则， 令，得，所以. ，设为平面的一个法向量， 则，令，得，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列. （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系式，得到，进而得到数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出； （2）由（1）求出，分析数列和的通项，即可得到数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，即可求出结果； （3）根据（2）中分析，即可直接求解结果. 【小问1详解】 在中， 令，得，即. 由，得， 以上两式相减，得，即， 所以， 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 因为，， 所以，都是中的项. 因为，， 所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的， 即. 【小问3详解】 由（1）（2）得， ， 设数列的前项和为， 则， 所以. 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）证明如下： 设点的坐标为． 联立方程消去后整理得，故， 由（1）知，， 直线的斜率为，同理可得直线的斜率为． 又， 所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上， 同理可得点在以线段为直径的圆上， 故，，，四点共圆． 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，再代入向量数量积的坐标表示式即可得到方程，解出即可； （2）（i）求出的坐标为，再根据倾斜角和斜率关系得直线的方程，化简即可得到定点； （ii）联立方程得到方程，计算直线与直线的斜率乘积得其互相垂直，则得到点的轨迹即可证明四点共圆. 【小问1详解】 由题知，设两点的坐标分别为， 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为， 联立方程消去整理得， 则，，， 所以， 所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为， 令，得，即点的坐标为， 由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故直线过定点． （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25级创新班期末质量检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 4. 已知数列的通项公式是，且，则数列的前15项和为（ ） A. 81 B. 84 C. 165 D. 168 5. 已知等比数列的前项积为，若，则（ ） A. 36 B. 35 C. 19 D. 18 6. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知为椭圆的左､右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项都不相等的数列，圆C：，圆：，若圆平分圆C的周长，则的所有项的和为（ ） A. 99 B. 100 C. 198 D. 200 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 存在，使得 C. 直线过定点 D. 直线过定点 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的前12项积为 B. 的前8项和为 C. 是公比为4的等比数列 D. 的前n项和为 11. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A. B. 直线PA1、PA2的斜率之积等于定值 C. 使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个 D. △PF1F2的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 16. 已知椭圆C：的短轴长为2，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C相交于A，B两点．O是坐标原点，的面积是，求实数m的值． 17. 在平面四边形中，，，（如图1），将沿着翻折到的位置（如图2），且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列. （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）设数列的前项和为，求. 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $