5.4　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二)-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，课前通过观察图像的问题引导学生从特定区间到周期性扩展单调区间，结合思维导图构建从单位圆定义、图像到性质的知识支架。 其亮点在于以直观想象为核心，通过图像观察、换元法等引导学生理解单调性和最值，典例中诱导公式转化与二次函数换元体现数学思维，类题通法总结提升数学语言表达。学生能培养直观想象与逻辑推理，教师可借助结构化资源提升教学效率。

5.4.2　 正弦函数、余弦函数的性质(二) 素养目标 思维导图 1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的 单调性(直观想象). 2.能借助图象理解正弦函数、余弦函数 的最大值和最小值,图象与x轴的交点(直 观想象). 课前自主学习 问题1.观察正弦函数y=sin x,x∈R的图象,回答问题: (1)函数y=sin x,x∈[-,]的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是_________.  提示:[-,]　[,] (2)结合正弦函数的周期性,它还有哪些单调区间? 提示:在[-,]及[,π]的每一个端点上分别加上±2π,±4π,±6π,…都是它的单调区间. (3)观察正弦曲线,正弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分 别为多少? 提示:存在.正弦函数的最大值和最小值分别为1和-1. (4)在何处正弦函数取得最大值和最小值? 提示:过图象最高(低)点分别作x轴的垂线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数 分别取到最大(小)值. 问题2.观察余弦函数y=cos x,x∈R的图象,回答问题: (1)函数y=cos x,x∈[-π,π]的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  提示:[-π,0]　[0,π] (2)类比正弦函数的单调性,结合余弦函数的周期性,写出余弦函数的所有单调区间. 提示:增区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (3)观察余弦曲线,余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分 别为多少? 提示:存在.余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1. (4)在何处余弦函数取得最大值和最小值? 提示:过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函 数分别取得最大(小)值. 【核心概念】 1.正弦、余弦函数的单调性 函数 y=sin x y=cos x 定义域 R 图象 单调 性 在___________________上单调递增; 在___________________上单调递减 在_________________上单调递增; 在________________上单调递减 [-+2kπ,+2kπ],k∈Z [+2kπ,+2kπ],k∈Z [-π+2kπ,2kπ],k∈Z [2kπ,2kπ+π],k∈Z 2.正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数: ①当x=时,正弦函数取最大值1; ②当x=_____________时,正弦函数取最小值-1. (2)余弦函数: ①当x=__________时,余弦函数取最大值1; ②当x=____________时,余弦函数取最小值-1. +2kπ(k∈Z) -+2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) π+2kπ(k∈Z) 课堂合作探究 探究点一　求正弦、余弦函数的单调区间 【典例1】求函数y=sin(-x)的单调递增区间. 【思维导引】观察式子中x的系数为负数,可先利用诱导公式将x的系数变为正数,再利用换 元法求其单调区间. 【解析】y=sin(-x) =-sin(x-), 令z=x-,又y=-sin z的单调递增区间是[+2kπ,+2kπ],k∈Z, 所以令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z, 得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 所以函数y=sin(-x)的单调递增区间为[+2kπ,+2kπ],k∈Z. 【类题通法】求正、余弦函数的单调区间的方法 (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代 换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调 区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上. 【定向训练】 1.(2025·衡水高一检测)函数f(x)=cos(-x)的单调递减区间是(　　) A.[2kπ+,2kπ+],k∈Z B.[2kπ-,2kπ+],k∈Z C.[2kπ+,2kπ+],k∈Z D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z 【解析】选A.已知cos(-x) =cos(x-), 令2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z, 所以函数f(x)=cos(-x)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z. 2.(2024·济宁高一检测)函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的单调递减区间为　　　　　.  【解析】y=sin(-x)=-sin(x-), 令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z, 解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 又x∈[0,2π],所以0≤x≤或≤x≤2π, 所以原函数的单调递减区间为[0,],[,2π]. 答案:[0,],[,2π] 探究点二　利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 【典例2】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)cos ,cos ; (2)cos 1,sin 1; (3)sin 164°与cos 110°. 【思维导引】先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,再利用正弦函数、 余弦函数的单调性判断大小即可. 【解析】(1)cos =cos ,cos =cos , 因为0<<<π,又y=cos x在[0,π]上单调递减,所以cos >cos ,即cos >cos . (2)因为cos 1=sin(-1),又0<-1<1<,且y=sin x在[0,]上单调递增, 所以sin(-1) <sin 1,即cos 1<sin 1. (3)sin 164°=sin(180°-16°)=sin 16°, cos 110°=cos(90°+20°)=-sin 20°. 因为y=sin x在[-,]上单调递增, 所以-sin 20°<sin 16°,即cos 110°<sin 164°. 【类题通法】比较三角函数值大小的方法步骤 (1)利用诱导公式转化为锐角三角函数值. (2)不同名的函数化为同名函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间. 【定向训练】 (多选题)下列不等式中成立的是(　　) A.sin 80°>sin 10° B.cos 40°>cos(-50°) C.sin 3>sin 2 D.sin>cos 【解析】选ABD.对于A,因为y=sin x在[0,]上单调递增,所以sin 80°>sin 10°,故A正确; 对于B,cos(-50°)=cos 50°,又y=cos x在[0,]上单调递减,所以cos 40°>cos 50°, 所以cos 40°>cos(-50°),故B正确; 对于C,因为y=sin x在[,π]上单调递减,<2<3<π,所以sin 3<sin 2,故C错误; 对于D,sin=-sin,cos=-cos, 又0<sin<sin=,即-<sin<0,=cos<cos<cos 0=1,即-1<cos<-, 所以sin>cos,故D正确. 探究点三　正弦、余弦函数的值域或最值 【典例3】(规范解答) (13分)(1)求函数f(x)=2sin(-2x+ ) +1在区间[-,]上的最值,并求出取最值时x的值; (2)求函数y=2sin 2x+5cos x-1的值域,并求出取得最值时x的取值. 【解析】(1)f(x)=2sin(-2x+ ) +1=-2sin(2x- ) +1, ……2分 因为-≤x≤,所以-≤2x-≤, ……3分 由正弦函数的图象和性质可得,-1≤sin(2x- ) ≤,所以f(x)∈[0,3]. 当2x-=-,即x=-时,函数f(x)取最大值3;……4分 当2x-=,即x=时,函数f(x)取最小值0. ……6分 (2)y=2sin 2x+5cos x-1=2(1-cos 2x)+5cos x-1=-2cos 2x+5cos x+1, ……8分 令cos x=t,则-1≤t≤1, ……9分 y=-2t2+5t+1,对称轴为t=>1, 故当t=1时,cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时取到最大值4, ……11分 当t=-1时,cos x=-1,x=π+2kπ(k∈Z)时取到最小值-6, ……12分 所以值域为[-6,4],取到最大值时x=2kπ(k∈Z),取到最小值时x=π+2kπ(k∈Z). …13分 【类题通法】三角函数最值问题的求解方法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a正负 的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围, 然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值. (3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元法,设t=sin x,转化为二次函数 y=at2+bt+c求最值,t的取值范围需要根据定义域求得. 【定向训练】 已知函数f(x)=sin 2x. (1)若g(x)=f(-x),求函数g(x)的单调递增区间; (2)当x∈[-,]时,函数y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为-5,求实数a,b的值. 【解析】(1)由题意得g(x)=f(-x)=sin [2(-x)]=sin(-2x)=-sin(2x-), 所以g(x)=-sin(2x-)与y=sin(2x-)单调性相反,令+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z, 得+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间为(kπ+,kπ+),k∈Z; (2)因为当x∈[-,]时,2x∈[-,], 所以sin 2x∈[-1,1],即f(x)∈[-1,1], 因为a>0,所以当sin 2x=1时,函数取得最大值1,即2a+b=1, 当sin 2x=-1时,函数取得最小值-5,即-2a+b=-5,联立解得. 课堂练习 1.函数y=|cos x|的一个单调减区间是 (　　) A.[-,] B.[,π] C.[π,π] D.[π,2π] 【解析】选C. 函数y=|cos x| = 图象如图所示: 单调减区间有[0,],[π,π],…. √ 2.函数y=2-sin x的最大值及取得最大值时x的值为 (　　) A.ymax=3,x= B.ymax=1,x=+2kπ(k∈Z) C.ymax=3,x=-+2kπ(k∈Z) D.ymax=3,x=+2kπ(k∈Z) 【解析】选C.因为y=2-sin x,所以当sin x=-1时,ymax=3,此时x=-+2kπ(k∈Z). √ 3.函数y=3sin(-x)的一个单调递减区间为(　　) A.[-,]　 B.[-,] C.[,]　 D.[-,] 【解析】选B.y=3sin(-x) =-3sin(x-,检验各选项可知,只有B项所给区间是单调递 减区间. √ 4.函数y=sin2x-cos x的值域为　　　　.  【解析】y=sin2x-cos x=1-cos2x-cos x, 令cos x=t,则t∈[-1,1],y=-t2-t+1, 因此y=-(t+)2+(-1≤t≤1), 所以当t=-时,ymax=;当t=1时,ymin=-1,所以函数的值域是[-1,]. 答案:[-1,] 5.已知函数f(x)=2sin(x+),x∈[0,],则f(x)的值域是　　　　.  【解析】x∈[0,],x+∈[,π]. sin(x+) ∈[,1],则2sin(x+) ∈[,2]. 答案:[,2] 谢 谢 $