精品解析：天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题

2025~2026年天津市部分区高二下期末 数 学 2026年7月6日 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 为考查某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据卡方独立性检验，处理所得数据，经计算得到，则下列说法正确的是（ ） 附：小概率值和相应临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.01 B. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.005 C. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.001 D. 没有充分的证据推断药物对预防疾病有效 【答案】A 【解析】 【详解】由于，依据小概率值的独立性检验， 有充分的证据推断药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.01，故A正确，D错误； 由于，依据小概率值的独立性检验， 没有充分的证据推断药物对预防疾病有效，故B错误； 由于，依据小概率值的独立性检验， 没有充分的证据推断药物对预防疾病有效，故C错误. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断. 【详解】由对数函数性质知，，， 由指数函数性质得， 所以 5. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的特征，逐一判断各个选项，利用排除法即可解答. 【详解】由函数的部分图象可知： 函数在处无意义；当时，；当时，；等. 对于选项A：因为分母， 所以函数定义域为，在处有意义，与函数在处无意义矛盾，故选项A不符合要求. 对于选项B：因为，与矛盾， 故选项B不符合要求. 对于选项C：因为恒成立，与时，矛盾， 故选项C不符合要求. 对于选项D： 要使函数有意义，须使，得，满足要求； 当时，有，则，满足要求； 当时，有，则，满足要求； ，满足要求. 6. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的3位数的个数为（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】百位不能为，所以只能从这个数字中选，有种选择， 百位已经选了个数字，十位有剩下个数字（包含）可选，有种选择， 百位和十位各选了个数字，个位有剩下个数字可选，有种选择， 根据乘法原理，总个数为：， 所以选项C正确. 7. 甲、乙、丙3人独立地参加乒乓球比赛，已知甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则在3人中恰有2人获胜的条件下，甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设事件：甲获胜，事件：乙获胜，事件：丙获胜， 则， 三人失败概率：， 设事件：3人中恰有2人获胜， 则恰有 2 人获胜有三种情况： 甲、乙胜，丙负，， 甲、丙胜，乙负，， 乙、丙胜，甲负，， 则恰两人获胜的总概率为 ， 事件 表示“恰两人获胜且甲获胜”， 对应上述第一种、第二种情况（乙丙胜无甲，不符合条件），两种情况互斥， ， ，故选项D正确. 8. 已知函数．若，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件判断函数的单调性，再运用导数的相关性质进行求解. 【详解】由题可得在上单调递增，故在上恒大于0， 即，即，令， ，当时，， 故在上单调递增，，且，在上恒成立，. 9. 已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式. 【详解】构造，则， 因为，所以，所以在上单调递增， ， 因为函数的定义域是，所以， 所以，， 又， 所以，所以，所以， 综上，，即不等式的解集是. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在题中横线上） 10. 已知离散型随机变量的方差为1，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】解：∵离散型随机变量的方差为1， ∴， ∴. 故答案为：4. 11. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 12. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求通项，由通项即可求解. 【详解】由题二项式展开式通项为 令，解得，所以的系数为. 故答案为：. 13. 为深入贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的部署要求，引导广大青少年爱读书、读好书、善读书，厚植文化自信，学校大力开展“经典诵读”活动．某校高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，．现从该校学生中随机抽取1名学生，则该生参加“经典诵读”活动的概率为____． 【答案】## 【解析】 【详解】因为高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，， 由全概率公式知，从该校学生中随机抽取1名学生， 则该生参加“经典诵读”活动的概率为. 14. 已知，且，则最小值为____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 15. 已知，是定义在上的函数，是周期为4的奇函数，的周期为2．当时，，，其中．若关于的方程在区间上恰有8个不相等的实数解，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】通过函数周期性和奇偶性画出8个交点的大致图像，并通过图像的必要性质求解范围. 【详解】因为，，且为奇函数，周期为4， ，周期为2， 则可画出大致图像为： 此时恰有8个交点，满足条件. 可知且，解得. 又结合函数，在时有两个交点， 即方程在时有两个实数根， ，解得或. 因为对称轴，解得. 所以综上所述，. 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）运用函数导数的正负性判断函数的单调区间，进而求解极值； （2）根据小问（1）的单调区间求出在固定区间的最值. 【小问1详解】 由， 可得， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示． 3 0 0 单调递增 6 单调递减 单调递增 因此，的单调递增区间为和；单调递减区间为； 当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． 【小问2详解】 由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减， 在区间上，当时，有极大值，并且极大值为， 又由于，， 所以在区间上最大值为； 最小值为． 17. 某品牌新能源汽车在今年1至5月的月销量（单位：千辆）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 3.1 2.4 4 5 5.5 根据数据可推断月销量与月份两个成对数据之间存在线性相关关系． （1）求关于的经验回归方程； （2）根据你得到的经验回归方程，预测今年10月份该品牌汽车的销量． 附： 【答案】（1） （2）千辆 【解析】 【分析】（1）根据表格数据及线性回归方程的系数公式可求出和，进而可求出关于的经验回归方程. （2）将代入（1）中的经验回归方程即可求解. 【小问1详解】 根据数据可得： ， . 1 2 3 4 5 3.1 2.4 4 5 5.5 0 1 2 0 1 1.5 ， ， ， ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，（千辆）， 预测今年10月份该品牌汽车的销量为千辆． 18. 某超市举办促销活动，顾客消费后可参与一次抽奖．抽奖规则如下：盒子中装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客从中随机摸出2个球，若摸到2个球中有红球就中奖，且每位顾客抽奖结果互不影响． （1）求某位参与抽奖的顾客中奖的概率； （2）若有4位顾客到此超市消费，并参与抽奖活动，设这4位顾客中中奖人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）法一：由题知此，再根据二项分布概率公式计算对应概率，列出分布列即可得答案； 法二：分析随机变量的所有可能取值，分别计算对应概率，列出分布列即可得答案. 【小问1详解】 设摸到的2个球中红球的个数为， 某位参与抽奖的顾客中奖，即摸到1个红球或2个红球， ，， 即， 所以，某位参与抽奖的顾客中奖的概率为． 【小问2详解】 法一：由（1）可知，每位参与抽奖的顾客中奖的概率都为，且每位顾客抽奖结果相互独立，因此， 随机变量的分布列为， 即 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 法二：随机变量的所有可能取值为． ， ， ， ， ． 所以随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望 ． 19. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）判断的单调性； （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算即可求解； （2）根据复合函数的单调性直接判断即可； （3）结合函数单调性直接求解恒成立的不等式即可. 【小问1详解】 由题知，， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则定义域为， 令，，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减. 【小问3详解】 因为不等式恒成立， 又由（2）知，在上单调递减， 所以恒成立，即， 设，令，可知， 则可得， 当，即时，最小值为， 所以． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，已知有两个极值点，． ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】（1） （2）①； ②由①可知，， 作差，得，即 不妨设，又， 要证明，只需证明， 只需证明，即， 令，， 只需证明函数， 因为，所以在上单调递增， 从而得证， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）先求导，求出切线斜率及切点坐标，利用点斜式求出切线方程； （2）①对求导，得，再令，再求导，对分情况讨论，根据在上有两个零点，确定的取值范围；②根据为的两个零点，得，，作差、变形分离出，得，将要证明的，转化为证明，通过换元，构造函数证明. 【小问1详解】 ，可得， 又，所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ，则， ①因为有两个极值点，所以在上有两个零点，且在零点两边异号． 令，， 当时，，从而在上单调递增， 即在上单调递增，不满足有两个极值点， 当时，令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以只需， 解得；综上所述； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026年天津市部分区高二下期末 数 学 2026年7月6日 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为考查某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据卡方独立性检验，处理所得数据，经计算得到，则下列说法正确的是（ ） 附：小概率值和相应临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.01 B. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.005 C. 认为药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不超过0.001 D. 没有充分的证据推断药物对预防疾病有效 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的3位数的个数为（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 60 7. 甲、乙、丙3人独立地参加乒乓球比赛，已知甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则在3人中恰有2人获胜的条件下，甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在题中横线上） 10. 已知离散型随机变量的方差为1，则___________. 11. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 12. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 13. 为深入贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的部署要求，引导广大青少年爱读书、读好书、善读书，厚植文化自信，学校大力开展“经典诵读”活动．某校高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，．现从该校学生中随机抽取1名学生，则该生参加“经典诵读”活动的概率为____． 14. 已知，且，则最小值为____． 15. 已知，是定义在上的函数，是周期为4的奇函数，的周期为2．当时，，，其中．若关于的方程在区间上恰有8个不相等的实数解，则的取值范围是____． 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 某品牌新能源汽车在今年1至5月的月销量（单位：千辆）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 3.1 2.4 4 5 5.5 根据数据可推断月销量与月份两个成对数据之间存在线性相关关系． （1）求关于的经验回归方程； （2）根据你得到的经验回归方程，预测今年10月份该品牌汽车的销量． 附： 18. 某超市举办促销活动，顾客消费后可参与一次抽奖．抽奖规则如下：盒子中装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客从中随机摸出2个球，若摸到2个球中有红球就中奖，且每位顾客抽奖结果互不影响． （1）求某位参与抽奖的顾客中奖的概率； （2）若有4位顾客到此超市消费，并参与抽奖活动，设这4位顾客中中奖人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 19. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）判断的单调性； （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，已知有两个极值点，． ①求的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $