第3章勾股定理全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、勾股数等核心知识，通过考点分类整合中考真题解析与章测综合训练，构建从基础概念到综合应用的知识网络，帮助学生明晰知识点间的逻辑联系。 其亮点在于以中考真题为载体培养数学眼光，通过勾股数规律的代数式推导发展数学思维，结合梯子高度计算等实际问题提升数学语言表达能力。分层设计的练习（选择、填空、解答题）满足个性化复习需求，助力教师精准把握学情，有效巩固知识。

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第3章 勾股定理 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 勾股定理及其逆定理 1.【2024江苏南通中考】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定 理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方 形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为 ， B A.12 B.13 C.14 D.15 【解析】由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即 .，. , 得，, 大正方形的面积为13，故选B． .若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为 ( ) 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （第2题图） 2.【2025安徽中考】如图，在中， ， ，边的中点为，边上的点满足 .若 ，则 的长是( ) B A. B.6 C. D.3 【解析】 在中，， ， 是 中点， 设，则， 是直角三角形， ，.在 中，根据勾股定理得 ，，解得 （负值已舍去） ， .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 3.【2025广西中考】如图，点,在同侧，, , 则 _______. （第3题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】，是等边三角形，点在 的垂直平分线上.， 点在 的垂直平分线上.如图， 取的中点，连接,则，，三点共线，且 垂直平分 ，， .在中， ， ，根据勾股定理得，在 中， ，，由勾股定理得 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 4.【2025江苏连云港中考】如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线 的距离为，则梯子顶端的高度为_____ . 2.4 （第4题图） 【解析】 长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ， ，故答案为2.4. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （第5题图） 5.【2024江苏常州中考】如图，在 中， ，，，是边的中点，是边 上一点，连接,.将沿翻折，点落在 上的点 处，则 __. 【解析】 ，，，是边 的中点， ， 将沿翻折，点落在 上的点处，，, ， , .设，则,.在 中，由勾 股定理，得，解得,.故答案为 ． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 考点2 勾股数 6.【2025广东中考】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确 定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 ， ，都是正整数，则，， 为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，________，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （1）请补全上表中的勾股数． 【解】令所求的数为，则 ， 解得或 （舍去）, 故答案为24. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，， ， 使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． 【解】①根据题表中数据，，，, ， ,,，，， ， ,的规律能用含字母，（，且， 均为正整数） 的代数式表示三角形的三边长，设，， . 证明: , , . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 , .根据勾股定理的逆定理，得，， 能够成为直角三角形的三边长. ②根据题表中数据可知，，分别是 的2倍，3倍， 7倍;，，，分别是 ， ，，的2倍，经验算满足， ， . 因此，题表中数据能用含字母，，（，且，， 均为正整数）的代 数式表示三角形的三边长，设,, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 证明: , , . , . 根据勾股定理的逆定理，得，， 能够成为直角三角形 的三边长，所以利用，， 能够表示出题 表中所有勾股数组. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全 等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种 一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 ．如果每个三角形最短边都种21株 花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解】依题意设 ，且直角三角形三边长均为正整数.由勾股定理可得 ，则有 ， 即 .下面分4种情况讨论. ① 解得 ， 此种情况舍去. ② 解得 所需花为 （株）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 ③ 解得 所需花为 （株）. ④ 解得所需花为 （株）. 答:这块绿地最少需要种植280株花. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 思路分析 （1）根据勾股定理列式计算即可得到答案； （2）根据表中数据得到的规律，分别用代数式表示出,,,求出,, 的值, 根据勾股定理的逆定理即可证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，所以只需要解决其中一个直角 三角形的种植情况即可，根据题意设，则根据勾股定理可得 , 即 ,再根据实际情况分类讨论即可得到答案. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 章测 一、选择题（共30分） 1.【2026河南南阳调研】在中，若 ，则( ) A A. B. C. D.不能确定哪个角是直角 【解析】，为斜边，且对边是， ．故选A． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 2.【2026江苏常州期中】如果梯子的底端离建筑物，那么长 的梯子可以 达到该建筑物的高度是( ) B A. B. C. D. 【解析】设梯子可以达到建筑物的高度为. 梯子长 ，底端离建筑物 ， 由勾股定理得，， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 3. 【2026江苏苏州质检】中国数学会第十四届全国数学文化 论坛于2025年7月1日在河南省郑州市开幕.中国数学会会徽以赵爽 弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观 图形激发数学学习兴趣.如图所示的赵爽弦图是由4个全等的直角三 B A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 角形与1个小正方形构成的大正方形，大正方形的面积为49，小正方形的面积为4， 若用,表示直角三角形的两直角边长，下列四个说法： ; ;; ,其中说法正确的是( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 【解析】 大正方形的面积是49， 大正方形的边长是7， 由勾股定理可得 ，故①说法正确，符合题意 小正方形的面积为4， 小正 方形的边长是2，， ，故②说法正确，符合题意.③根据图 形可得四个三角形的面积小正方形的面积 大正方形的面积，即 ，化简得 ，故③说法正确，符合题意 ，， ， ，故④说法不正确，不符合题意.综上所述，说法正确的是①② ③.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 4.【2025江苏连云港期末】如图， ，已知 中， ，，的顶点,分别在边,上，当点在边 上运动时，点随之在边上运动， 的形状保持不变，在运动过程中，点 到点 的最大距离为( ) C （第4题图） A.12.5 B.13 C.14 D.15 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 【解析】取的中点，连接，如图所示.，,点 是 边中点，，, . 连接，，则， 当,,三点共线时， 有最大值，最大值 是.又为直角三角形，为斜边的中点， ， ，即点到点 的最大距离为14，故选C． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 （第5题图） 5.如图，在和中， ，点 是边的中点，若，，连接，则 的 值为( ) D A.14 B.15 C.16 D.17 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 【解析】延长到，使得，连接， ，如图所 示. ， ， ，.又 ， ， ，易得 ， ， ， ，， ， ，， 点为 的中点，，， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 思路分析 延长到，使得，连接， ，然后根据全等三角形的判定和性质以 及勾股定理，即可求得 的值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 二、填空题（共25分） 6.【2026广东中山质检】已知的两直角边长分别是3，4，则 的 斜边上的高是_____. 2.4 【解析】设的斜边上的高为的两直角边长分别是3，4， 斜 边，，， 的斜边上的高是 2.4.故答案为2.4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 方法总结 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据面积法求出斜边上的高. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 7.【2025安徽阜阳期中】如图，四边形的对角线，相交于点 .若 ，则 ____. 40 【解析】，， ．故答案为40． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 （第8题图） 8.如图，将沿翻折得到，交于点， 为 中点，连接并延长交的延长线于点，连接 ，若 ，，的面积为42，则 的面积为____. 15 【解析】 将沿翻折得到，， ， ，， 的面积为 42，为中点，， ， ， ， ， 的面积为15.故答案为 15. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 关键点拨 本题考查了折叠问题、勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是 解题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 （第9题图） 9.如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点， ， 其中，由于周边施工，由到的路 现在已经不通， 为方便游客通行，在河边新建一个漂流点（，， 在同一 直线上），并新修一条路，测得千米， 千 米，千米，则原路 的长为_ ___千米. 【解析】千米，千米， 千米， ，，， 是 直角三角形且 .设千米，则 千 米.在中，由勾股定理得， ，解得 ，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 10.【2025山东青岛期末】在直角三角形纸片中， ，折叠纸片使得 点落在边上点处，折痕是 （如图（1））.将纸片复原，再次折叠纸片， 使得点落在边上的点处，折痕是（如图（2））.若， ，则 的长为___. 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 【解析】，， ， .如题图 （1）, 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ， ， ，， ， ,，， .如 题图（2）, 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是 ， ，,， ， ,， ， ，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 关键点拨 根据折叠的性质、平行线的判定和性质求出 是解题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 三、解答题（共45分） 11. 如图是一个长方体，长、宽、高如图中标注的 数据，求 的长度. 【解】在中，，在 中，，故 的长度为17. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 12.【2025江苏宿迁质检】如图，是等边三角形，，求高 的长 和 的面积. 【解】是等边三角形，是的高， ， ,， ， 的面积 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 13.如图，在中， . （1）若为的中点，求证： . 图（1） 【证明】如图（1）所示，连接，是 中点， ，.在中， ， .又， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 （2）若为 上的任意一点，（1）中的结论是否还成立？请说明理由. 图（2） 【解】成立．理由：如图（2）所示，连接，作交 于 ，，.在 中， .同理， ， .又 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 （3）若为延长线上一点，说明，，， 之间的数量关系． 图（3） 【解】．如图（3），是 延 长线上任意一点，连接，并作交于 ， ，.在中， ，在 中， ， .又 关键点拨 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理即可得出结论. ， ， ， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 14.【2026江苏盐城期中】【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材 料，然后解答后面的问题. 例：求代数式 的最小值. 分析：和 可以看成是利用勾股定理求直角三角形的斜边 长，是直角边长分别是和3的直角三角形的斜边长， 是直 角边长分别是和2的直角三角形的斜边长，因此，我们构造 和 ，并使直角边和在同一直线上，且使点和 重合（图（1）），这 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 时，，，问题就变成点在线段 的何处 时，最短？连接,根据两点之间线段最短，得到线段 的长就是 的最小值,即所求代数式的最小值.#1.1.2 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【模型应用】 （1）代数式 的最小值为____； 13 【解析】由题图（1）得, ， 的最小值是13，故答案为13. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 （2）变式训练：利用图（2），求代数式 的最小值； 【解】由题意知，，， ， ，，的最小值是 . 关键点拨 仿照题中材料将所求代数式的最小值转化为直角三角形的斜边长是解题 关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求 的值. 【解】构造，其中 ,于 ， ， ，如图所示, 则 , . 又 ,,, ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 $