贵州黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年第二学期期末学业水平测试高一数学试卷

2025一2026学年度第二学期期末学业水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将 条形码贴在答题卡“考生条形码区”， 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无 效 第1卷选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求， 1.若复数2=1+2(i为虚数单位)，则z的虚部为 2-i A.i B.-i C.1 D.-1 2.某工厂生产A,B两种不同型号的产品，产量之比为1：4，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的 样本，若样本中A型号的产品有40件，则n= A.160 B.180 C.200 D.220 3.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数小于3”的概率是 A月 B. c D.g 4.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列结论正确的是 A.若mca,nca,ml∥B,nl∥B,则al∥B B.若a∩B=m,n/∥m,则nl∥a C.若mca,m⊥B,则a⊥B 十频串 组距 D.若mca,ncB,m⊥n,则a⊥B 0.030 5.如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图， 0.025 0.020 则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1) 0.015 0.010 A.76 B.77 C.78 D.79 0V3060708090100分最 6.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(5,1),向量ā在向量b上的投影向量为c,则向量c= （) 854W5 854W5 55 高一数学试卷第1页（共4页） 7.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的高与底面半径的比值上为 A.√2 B.√5 C.2 D.1 8.已知△ABC为边长为4的等边三角形，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点）， 则MP.CP的最小值等于 A.9 9 B. A C._1 D. A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9.已知复数2=1-5，则 -22 A.=1 B.zZ=-1 C.z2+z+1=0D.z3+1=0 10.设A,B为两个随机事件，且P()=0.5,P(B)=0.4,下列说法正确的有 A.P(B)=P(B) B.若A,B互斥，则P(AB)=0 C.若B∈A,则P(AB)=0.5 D.若P(AB)=0.2,则A,B独立 11.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，动点P,2分别在线段C,D,AC上，则下列命题 错误的是 A异面直线DC和BC所成的角为 B.直线BC与平面ABCD所成的角等于 3 C.点C到平面ABC,D,的距离为2W2 D.线段P长度的最小值为25 3 第川卷非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上， 12.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2 只球，则这2只球颜色相同的概率为 13.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经 典，其中八卦是中国文化的重要哲学概念.如 图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的 正八边形ABCDEFGH,点O是其中心，且 OA=2,则AD.AF= 图1 图2 高一数学试卷第2页（共4页） 14.己知圆锥S0的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为√3，AB为底面圆O的一条直径，C为 圆O上的一个动点（不与A,B重合），则三棱锥S一ABC的外接球表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)贵州省乃中国避暑胜地，每到夏季，贵州会接待大量中外游客，炎炎夏日，水果冰浆销 售火爆 (1)统计得到10名水果冰浆消费者，每周购买水果冰浆的次数依次为：1,3,4,5,3,2,7,6， 4,5,求这10个数据的第60百分位数与方差2： (2)统计1000名水果冰浆消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5,15)，[15， 25),[25,35),[35,45),[45,55]分组，得到频率分布直方图.估计这1000名水果冰浆消费 者年龄的中位数a及平均数而（结果保留整数）， “、频率 组距 0.035 0.025 0.020 0.015 0.005 051525354555年龄1岁 16.(15分)已知向量a=(-1,2),b=(3,-1),c=(1+t,) (1)求证：a⊥(a+b): (2)若向量与向量c夹角为钝角，求t的取值范围 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=30°，∠CDA=45°， PA⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点，PA=2AB. (1)求证：EF⊥平面PAC; (2)求二面角B-AC-E的大小. 高一数学试卷第3页（共4页） 18.(17分)黔东南州强大的“村字号”P带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台 江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村 BA”篮球决赛中，由分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投 篮命中的概率为P,乙投篮命中的概率为P(R<P)在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互 不影，各轮结果也互不影响。在每一轮比赛中甲乙都投中的腰率为0甲乙都投不中的极率 为} (1)求R,B,的值： (2)求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率， 19.(17分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，M为B,C的中点. (1)若点O为CD的中点，求证：MO∥平面ADB; (2)若点N为线段BC上的动点（包含端点），求MN+DN的最小值： (3)若点2在侧面正方形ADD,4内（包含边界），且MQ⊥AC,求点Q的轨迹长度. D C M D C B 高一数学试卷第4页（共4页） 2025一2026学年度第二学期期末学业水平测试 高一数学参考答案 单项选择题 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 D C B C D B A 多项选择题 题号 0 10 11 答案 AD BD ABD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 4V2+4 16π 6 3 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求， 1.【答案】D 【解析】因为z=1+2_0+22+-1,所以三=1，则三的虚部为-1. 2-i(2-i)2+i) 2.【答案】C 【解析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案 【解析】根据题意，得：40-1，解得：n=200 7n5 3.【答案】B 【解析】根据题意，将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，有6种结果，分别为1,2,3,4,5,6， 其中小于3的结果有1,2.所以“正面向上的点数小于3”的概率p=2=} 63 4.【答案】C 【解析】 对于A:若mco,nco,/∥B,nl∥B,但没说明m与n是相交直线，则ol1B不一定成立， ∴故A错误；对于B:若o⌒B=m,nl∥l,,则nl/a或nc,∴故B错误；对于C:若 mCo,⊥B,则⊥B,故C正确；对于D:若cc,ncB,m⊥n,,则与B可成任 意角，故D错误. 高一数学参考答案第1页（共7页) 5.【答案】C 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组70,80)内，列式 求解即可. 【解析】从左到右前2个小组的频率分别为0.1,0.2，第3个小组的频率为0.3， 又0.1+0.2<0.5,0.1+0.2+0.3>0.55，故55%分位数在[70,80)内，70+0.55-03 10≈78 0.3 6.【答案】D 【解析】因为+b=(1,3),-b=(5,1),所以2-+b+d-b=(1,3)+(5,1)=(6,4),则-(3,2) 2b-(tb)-(d-=(1,3)(5,1)=(-4,2),则b-(-2,1),则a-i3×(-2)+2×1=-4, 队T5,吾云吾-器-（信》则找影向-（周（信）--) 7.【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为：r,圆锥的母线长为1=√h+r2,由圆锥的侧面展开图为半 圆：2知=元×V+r2,解得h=V3r,圆锥的高与底面半径的比值为：乃=√5. 8.【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取BC的中点O,连接OA,由题意△ABC为等边三角形，故以O为坐标原点，建立如图 所示的平面直角坐标系， 因为等边△ABC的边长为4，所以A0,23,B仁2,0)，C2,0), 又点M为AB边的中点，所以M1,v3, 设P6,0)2≤≤2)，则M-(x+1,-V3,C-(x-2,0), 所以MpCP=(x+1)×x-2)+(-V3)×0=x2-x-2, 设f6=x2-x-2(2sx≤2)， 由二次函数开口向上，对称轴为x=, 故函数在[2，上单调递减，在[，2上单调递增， 所以W6)m寸月(-2 高一数学参考答案第2页（共7页) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】AD 【解析】 因为i.所以月+（马）1，故4正确：运云(9计1， 故B错误：-(9)-日5+-9，-(90901， z2++1=(}90+(9)+11-V52,故C错误：z+1=-1+1=0,故D正确. 10.【答案】BD 【解析】对于A:P(B)=0.4,P(B)=0.6.P(B)≠P(B)故A错误 对于B:若A,B互斥，即事件A、B不会同时发生，则P(AB)=0,B正确： 对于C:若BA,则PAB)=P(B)=O.4,C错误： 对于D:若PAB)=0.2,则P(AB)=PA)P(B)=0.2,则A,B独立，故D正确.. 11.【答案】ABD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证CB1⊥面ABC1D,进而确定直线BC与平面 ABC1D所成的角C到平面ABC1D,的距离，由BC1∥AD1,异面直线D1C和BC1所成角即为AD1与 D1C所成角∠CD1A求大小，过P作PE⊥CD于E,再过E作EQLAC于Q,利用线面垂直及勾股定理 求PQ的最小值， 【解析】因为BC1∥AD1,故异面直线D1C和BC1所成角即为AD1与D1C所成角∠CD1A, D 而△CDA为等边三角形，故∠CD,AT 故A错误， 因为AB⊥面BCC1B1,CB1C面BCC1B1,故AB⊥CB1,又BC1⊥CB1, 由AB∩BC1=B,AB,BC1C面ABC1D1,故CB1⊥面ABC1D1, 而BCM面BCCB1-B,故直线BC与平面ABCD,所成的角∠CBC,= 4 故B错误； 而C到平面ABC1D的距离为-y=2√5，故C正确： 过P作PE1CD于E,再过E作EOLAC于O, 面DCC1⊥面ACD,面DCC1∩面ACD=CD,PEC面DCC1,故PEI面ACD, 而ACC面ACD,则PELAC,又PE∩EQ=E,PE,EQC面PEQ, 所以ACI面PEQ,易知PQ即为异面直线C1D,AC上两点的距离， 令DE=PE=xE[0,4l,则CE=4-,B0=(4), PO-PE+EO- B2-8r+16 45， 2 2 2 当时，P口吾-g故D错误 高一数学参考答案第3页（共7页) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.【答案1 【解析】根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为C、C2,则一次取出2只球，基本事件 为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色相同只有CC2共1种；故所 求的概率是卫=6 1 13 E G ■甲 图1 图2 【答案】4v2+4/4+4v2 【分析】根据题意可得AD=OD-OA,AF-OF-OA,结合数量积的运算律求解即可 【解析】由题意可知：OODO列2，∠AOD-LA0r=经，LD0r=号 则o1.0元-0A0-2×2×（9)-22,0D.00, ADAF-OD-0A)(OF-OA)-OD.OF-OA.OD-OA.OF+OA-4V2+4. 故答案为：4V2+4. 【1 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径”和母线的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥 SABC的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R,代入体积公式， 即可得答案 【解析】设圆锥底面圆半径为r,母线长为l,则圆锥的高h=√P-r 因为侧面展开图为一个半圆，所以2m=二×2πl,解得1=2r, 又轴截面面积为V3,所以x2r×1P-r2=r×V3r=3, 解得r=1,则母线长1=2，圆锥的高h=V3, 由题意三棱锥S-ABC的外接球的球心在SO上，且设为O1,外 接球半径设为R, A 的B 连接O1B,则SO1=O1B=R,所以OOV3-R 高一数学参考答案第4页（共7页) 在Rt△O01B中，O1B2=0012+OB2,即R2=(3-R)+12, 则R23+R2-2VR+1,解得R=酒 则三棱锥S-A0C的外接球的表面积g-4R-47×(9-16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)4.5,4(2)24,25. 【解析】 (1)按从小到大顺序排列：1,2,3,3,4,4,5,5,6,7，由于10×60%=6，.2分 故第60百分位数为号5-4.5，平均数=1+2432*42*52+67-4， 10 .4分 5=4E-4+2xG-4+2x作+2*6-2+6-+0-=3,6分 10 ①由0.020×10=0.2<0.5，(0.020+0.035)×10=0.55>0.5，.......7分 可得15<a<25,所以0.20叶(a-15)×0.035=0.5,..9分 解得a=3+1524,所以这1000名水果冰浆消费者年龄的中位数估计值为2411分 0.035 ②平均数ō=10×0.020×10+20×0.035×10+30×0.025×10+40×0.015×10叶50×0.005×10=25..13 分 16.【答案】(1)略(2)1e(o,-到u(号，1) 【分析】(1)根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； (2)利用平面向量夹角的公式计算即可： (3)由a与c夹角为钝角，则ac<0且a与c不共线，列出不等式组求解即可. 【解析】(1)由己知得，a+i=2,1) ..2分 → (a+b)=-2+2-0,..4分 所以a1(a+b)成立。 6分 3 (2)由a与c夹角为钝角得：aC<0且a与c不共线， 8分 2解得111 13分 故1(-o,-)(,1)15分 高一数学参考答案第5页（共7页） 17.【解析】 (1)证明：在四棱锥P-ABCD中，由PAI平面ABCD,CDc平面ABCD,得CDIPA, ..2分 又∠ACD=0°，即CDIAC,而PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,则CD1平面PAC, 4分 又在△PCD中，E,F分别为PD,PC中点，即有EDC,因此EFI平面AC .6分 (2)如图所示，取AD的中点M,连接EM,取AC的中点H,连接EH,MH, 由EMIPA,PAI平面ABCD,得EM1平面ABCD,而ACC平面ABCD,则EMLAC, .8分 由MHICD,CDLAC,得MH LAC,又EM∩MH=M,EM,MHc平面EMH,于是ACI平 面EH, 又EHc平面EMH,因此AC IEH,∠EHM是二面角E-AC-D的平面角，..11分 设AB=1,则PA=2,在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，则AC=2,在△ACD中，∠ACD =90°， ∠ADC=45°，则CD=2....... .13分 在Rt△EHM中，MH=EM=1,因此∠EHM=45°，所以二面角E-AC-B的大小为135°. ..15分 18.【答案】(1p,=,p,=(2)后 .3 【分析】(1)由题可得 P1P2=10 0a-p' 求解可得P1卫，的值； (2)根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， 【解析】(1)由题可知 BB品 (1-p)1-p,）F1 所以，p,品 …4分 所以p,2,是方程2-片+品-0的两根又p,印：所以，片2， .7分 (2)由(1)知，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为 所以甲在两轮中恰好投中一个球的概率为2×× 9分 投中两个球的概率为对×一 .11分 高一数学参考答案第6页（共7页） 乙在两轮中恰好投中一个球的概率为2××？-号， 525 .13分 投中两个球的概率为：×=是 ......15分 525 所以甲乙两名运动员在两轮活动中恰好投中3个球的概率为×是+片号品+品品 .....17分 19.(1)证明：四边形BDDB1是正方体ABCD-ABC1D1的对角面， 则四边形BDDB1是矩形，BDBD,.1分 由点O、M分别为CD1、BC1的中点，得OMBD1BD,.2分 BDc平面ADB,MO￠平面A1DB,因此MO平面A1DB:4分 (2)【解析】：如图所示，把正方形ABCD与正方形BCCB,置于同一平面内，且在直线BC两侧， 连接DM, 则MN+DN的最小值为 17 8分 (3)如图所示，延长MO与AD1的延长线交于H,由MOIB D1,BMDH,得BMHD1为平行 四边形，DH=BM=I,取AD中点G,连接GH交DD1于F,连接AD1,由AG引DH,AG =DH,得四边形ADHG是平行四边形，GHIAD1,F为DD,的中点，由CC1I平面A,BCD1, BD1c平面A,BCD1,得CC1IB,D1,又AC1IB,D1,AC∩CC1=C1,A1C1,CC1c平面ACC1, 则BD1I平面ACC1,而ACC平面ACC1,则ACLB!D1,同理AIC LAD1,因此AIC IMO, AIC IGH,而MO∩GH=H,MO,GHc平面MGH,于是ACI平面MGH,又AICIMO, 则MQc平面MGH,又QE平面ADDA1,...13分 因此点Q的轨迹是平面MGH与正方形ADDA1相交所得线段GF,.....15分 而c=5,所以点Q的轨迹长度为巨 17分 D 高一数学参考答案第7页（共