辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 覆盖高中数学核心知识，通过梯度化问题设计考查抽象能力、运算能力及数据意识，体现数学眼光与思维的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技情境设计综合性问题，如利用导数分析实际优化问题，考查推理能力与模型意识|

2025-2026学年度下学期“抚顺七校协作体”期末考 试试题 高一数学 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人：盛卉 刘明辉 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1.复数z=i+2i2+3i,则z的虚部为( A.2i B.-2i C.-2 D.2 2.cos135°的值为( A. 2 B.-1 C.3 D.- 2 3.已知平面向量ā，b不共线，且2a+6=xa-36,则( A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 4.己知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad,则该扇形的面积为( A.8cm2 B.16cm2 C.32cm2 D.64cm 5.已知向量a=(2,x),b=(-1,1),若ā与6垂直，则a=( A.2 B.2W2 C. D.4 6若m-君-则sa+周 =( 居 B.25 7 c号 D号 7.已知棱长为1的正四面体ABCD的中心为O,若球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点， 则球O的半径的取值范围为( 高一数学试卷第1页共4页 √62 B. [6 c. 互6 D. [26 12’2 122 44 44 8.已知函数f(x)=tan(sinx)+tan(cosx),则下列说法正确的是( A.π是f(x)的一个周期 B四在（受0小上不单调 C.f(x)图像既有对称轴又有对称中心 n.xe别 时，f(x)>tan(sinx+cosx) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，部分选对 得部分分，3个选项每对一个得2分，2个选项每对一个得3分. 9.设z=3+2i,则( ) A.z=3-2i B.z=5 C.z2=5+12i D. 2+3 ∈R z-i 10.设向量ā=(3，k),b=(1,-1)则下列说法正确的是( A.若ā与b的夹角为钝角，则k>3 B.a的最小值为9 C.与6共线的单位向量是 2- 2 D.若a=35,则k=±3 11.定义关于x的函数f,（x)=pcosx,g,(x)=psinx,其中0<p≤1，则( Ax引8) C对于在意e0升ea小.s侧 .对于任意xe0引ea,+名国上f+g国 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，14题第一空2分，第二空3分， 12.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，BD=4√2，DB=9,则该正四棱柱的体积为 B A D D 13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点分别测得树尖的仰角 为30,45，且A,B两点间的距离为60m,则树的高度为 m. 45入30 B 60m A 14.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,tanA=2tanB (1)当tanB=1时，tanC= (2) S的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)已知a,6是非零向量，a1(a-),且a=32,=6 (1)求a6: (2)求2a-36. 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且(2b-a)cosC= b2+c2-a2 2b (1)求角C: (2)若△ABC的面积为 3V3 a-b=1,求边c. 高一数学试卷第3页共4页 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，底面△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC=2,侧棱AA=3.该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上， 上底面在直三棱柱的上底面A,B,C上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切. C (1)求该圆柱的表面积： (2)求该直三棱柱的外接球0的体积。 18.(17分)已知函数f(x)=cos2x+sinx+m,x∈ m为常数。 (1)当m=0时，求函数f(x)的值域： (2)讨论函数y=f(x)零点的个数： (3)若函数f(x)有两个不相等的零点x,x2,证明：x+x2> 3π 19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+fy)=f(x+y+1),f(3)=2 (1)求值：f π 2π 3π 2024元 cos +f cos- +…+fc0s 2025 2025 +f cos 2025 2025 (2)当x>3时f(x)>2 (i)证明：f(x)在R上单调递增： (1i)设9为锐角，求/02+4cas40) 24tan204 的最大值， 高一数学试卷第4页共4页《2025-2026学年度下学期“抚顺七校协作体”期末考试数学学科》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D y B A D 题号 9 10 11 答案 ACD AD AC 1.C 【分析】根据虚数单位i的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部. 【详解】由z=i+2i2+3可得：z=-2-2i,故z的虚部为-2 故选：C 2.D 【详解】c0s135°=-c0s450-V2 3.A 【分析】由平面向量基本定理可得， 【详解】由题意可知平面向量a,b不共线，且2a+b=xa-3b, 则/2 y=-3 4.B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为rcm,弧长为lcn,已知圆心角o=2rad, 由题意可得2r+1=16,1=2r,解得r=4cm,l=&cm: 代入扇形面积公式S=,计算得S=x4x8=16cm心， 5.B 【详解】a与万垂直，.a6=0. ,a=(2,x),万=(-1,1)，.2×(-1)+x×1=0,解得x=2. .a=(2,2),.|a=V22+22=5=25. 6.A【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解， 【解】sm2a+引cm个a-君引=cora-司》 ma-】=a(e12g】-135 故选：A 7.D 【分析】把正四面体与棱相切的球和外接球转化为正方体的内切球和外接球，从而可得半径 的范围。 【详解】由棱长为1的正四面体ABCD可以构造出棱长为5的正方体，如图所示， 0. 可知棱长为1的正四面体ABCD的外接球和棱长为5的正方体的外接球相同， 设正四面体ABCD的外接球半径为R, 则2R= 闾 所以R=6 由图可知与正四面体ABCD的各棱相切的球即为正方体的内切球， 设与正四面体ABCD的各棱相切的球半径为r, 则= 4 因为球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点， 所以球O的半径R满足2 sR's V6 4 即球O的半径的取值范围是 26 4’4 8.C 【分析】对A,计算f(x+π)，利用诱导公式结合正切奇函数性质得f(x+π)=-f(x)≠f(x) 判断；对B,利用复合函数的单调性判断；对C,。 任小任及 了+1+f年-小0判断 对D,利用正切和角恒等式 tan4+tanB=tan(1+B)a-tan AtanB),结合x∈(0，时tam(sim:x)tan(cos)>0且 nx+cosx,推导判断；】 【详解】对于A: f(π+x)=tansin(π+x)]+tan[cos(π+x)]=tan(仁sinx)+tan(-cosx)=-tan(sinx)-tan(cosx)≠f(x) ,A错误； 对于B:t=sinx和t=cosx都在 2 单调递增，而y=tnt在(-l,1)单调递增， 由复合函数的单调性可知，f(9在20单调递增，B错误： 对于C:对任意x, ,行可-m号cam小m得cm小行小 因此x=匹是f(x)的对称轴： 对任意t,因为 o+小om个-年-年-og-小cw(a-吾-m年 以晋+小mm小mw轻小m可是》m) 悟m》m〔小amm》), 国为+导=子所以m音小好小任)好 所以〔+1j(-0,因t0是侧的对称中心， 故f(x)既有对称轴又有对称中心，C正确. 对于D:由两角和的正切公式可得tanA+tanB=tan(A+B)(1-ta1 A tan B), 令A=xB=os,xe（0时，4+B=mx+co=万sx+=可-0】 因此tan(A+B)>0,且tan Atan B>0, 可得f(x)=tan(sinx+cosx)1-tansin xtan cosx)<tan(sinx+cos.x),D错误； 9.ACD 【详解】对于A选项，复数：=a+bi的共轭复数三=a-bi,因此三=3-2i,A选项正确。 对于B选项，复数的模|z√a2+b2,因此==√32+22=√3≠5，B选项错误 对于C选项，，二=3+2i, .z2=(3+2)2=32+2×3×2i+(21)2=9+12i-4=5+12i,该选项正确， 对于D选项， ,分子=+3=3+2i+3=6+2i,分母：-i=3+2i-i=3+i, :三+3-6+21.6+23=D-18-6+6m-21=20-2,2是实数，故5+3。 z-i3+i(3+i)3-i) 9-i2 10 R,该选项 正确. 10.AD 【分析】利用向量的夹角公式即可判断A；利用向量的模长公式及二次函数的性质即可判断 B;利用向量共线的坐标表示即可判断C；利用向量的模长公式求出k的值，进而即可判断 D 3×(-1)-k×1≠0 【详解】对于A,若ā与b的夹角为钝角， 则 a.b=3-k<0 解得k>3,故A正确： 对于B,园=V32+2≥3，当且仅当k=0时取到等号，即的最小值为3，故B错误： 6,(1,-1) 对于C,与6共线的单位向量有两个，为士 √2 2,2 故C错误： 对于D,若d=3,则√V3?+k=3√2，解得k=3,故D正确. 11.AC 【分析】利用诱导公式对x- 进行化简可判断A；利用辅助角公式对 f(x)+81()进 行化简，再结合三角函数的值域可判断B;分别表示出(x),(tx),再根据x的取值范围 比较大小关系，可判断C；分别表示出∫(x)+8（x),(tx)+g(tx),再根据x的取值范围 比较大小关系，可判断D 【详解】对于A,当p=1时，f(x)=cosx,g1(x)=Sinx, 所以(-到ea-到=).故A正确： 对于B,当p=时，)=2cox,8()=2im, 因gy片oan-9n- m引e o斗9 对于C,f(x)=fcoSx,f(tx)=coStx cosx∈ 4 :t∈(0,1] ,fcosx≤cosx,且tx≤x y=cosx在0， 上单调递减，.cosx≤cos(tx) 4 则fcosx≤cosx≤cos,所以f(x)≤f(tx).故C正确： 对于D,令x=0,则(0)+8(0)=t,(0)+8(0)=1, 当t∈(0,1)时，(0)+g(0)<(0)+8(0)与题干矛盾，故D错误. 12.112 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积。 【详解】因为BD=4√2且四边形ABCD为正方形，故BA=4, 而DB=9,故BB2+BD2=81,故BB=7, 故所求体积为7×16=112， 故答案为：112 13.30+30V3 【分析】在△PAB中由正弦定理可求得PB,进而即可求解树的高度 【详解】在△PAB中，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60m, sin15=sin(45-30)=sin 45'cos 30-cos45'sin 301 X 22224 PB AB 在△PAB中，由正弦定理得 in30°sinl5, 1 所以PB=ABsin30° ×60 2 =30(6+V2)」 sin15° V6-√2 4 所以树的高度为PBsi血45-30W6+2)xY5 =30+30Γ3m 故答案为：30+30√5 14. 3 【分析】(1)由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值.(2)由题意得到3a2=3b2+c2, 即3（二？+(）=3，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可： 【详解】(1)当tanB=l时，tanA=2,则 tanc=tan[-(4+B)7=-tan(d+B)=-tan 4+tan B -1+2,=3:(2)由tanA=2tanB得 1-tan Atan B1-1×2 a 2b 到， sin A 2sin B cosA cosB 即2+c2-aa2+c2-b,即3d2=3b2+c2,所以3(2+(9=3，又 2bc 2ac 1 ⑧be sinA=pc1-cosA F+c-a正y,故 2bc 号会，-日--r令-，-，则 S.1 3m+n=3, a2- 件为故 最大值为。，故答案为：3： 3 3 a 15.(1)18 (2)6√5 【详解】(1)因为上(a-b),则-a.b=0,…3 又=3W2,所以18-a.b=0,…5 得到a=18.…6 (2)由(1)知a.6=18,又=32，=6， 则2a-36=4a-12a.6+962=4x18-12×18+9x36=180,…12 所以2i-36=65-13 16骨 (2)√万 【详解】 (1)由余弦定理c0sA= 2+c2-a2 得b+-a =CC0SA…l 2be 2b 所以(2b-a)cosC= 2+c2-a2 =CC0SA…2 2b 由正弦定理得(2sinB-sinA)c0sC=sinCc0sA.3 即2 sin BcosC=sin Ccos 4-+sin AcosC,所以 2 sin B cos C=sin(A+C）.…4 又A+C=元-B,所以sin(A+C）=sinB,… …5 所以2 sin B cosC=sinB. 因为B∈(0，元)，所以$inB>0,…6 1 所以c0sC= ,……7 又C∈(0，元)，所以C=亚 ……8 所以1 (2)因为△ABC的面积为3V5 absinπ-32，即ab=6.10 “32 a=3「b=-3 联立方程 或 b=2a=-2 （舍)…13 由余弦定理，得 c=Va+b-2abcosC=+3-2x3x2x =√万…15 2 17.(1)24元-14V2元： 2717 6 【分析】(1)由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解： (2)由球的体积公式即可求解. 【详解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2,∠ACB=90°， 所以AB=2√2，…2 △BC的内切圆半径r4C+mC02生2252-5，…4 2 圆柱的高h=A4=3,所以圆柱的表面积S=2π2+2πh=2π(+3) =2(2-V2(5-√2=2x(12-7W2)=2414V2m.…7 (2)直三棱柱的外接球球心O位于上下底面外心连线的中点， 设△ABC外接圆的圆心为O,底面直角三角形外心O,是斜边AB的中点D, 则c0=5,44-3,所以00- …10 外芽轻=可 …12 ，…15 8 6 18.【详解】(1)f(x)=cos2x+sinx+l=-sin2x+sinx+1+.…1 令=，则yf+11+m6 +. …2 xe5,te0,.… ……3 当=0时y+1+7 …4 所以因的值议为- ……5 2》令=0，则1+m0.m=f1-1=0:.6 当m<-或m2-1时，j)有0个零点.…7 4 当加=时，)有1个零点 …8 当-m<1时，四有2个零点.，9 (3)函数f(x)在区间 人2π上有两个不相等零点名，书 所以sinx,sinx2是方程-t2+t+l+m=0的两个不相等的实根； sin sinx2 =1, ∴.{sinx·sinx2=-(0m+1),∴(sinx,+sinx2)2=l,.…11 <m<-1 4 1=sin+sin+2sin :sinx2 sin+1-cos-2(m+1) .sin2x1-c0s2y3=2+2<0,.…13 .sinc)csin()5 y=在后动上单调递减，>-名，即气中西> 3 兀..…17 2 19.(1)1012 (②①证明见解折：《m)子 【分析】(1)根据已知等式计算求解函数值即可； (2)()应用函数单调递增定义证明即可；()根据己知等式化简再结合二倍角的正弦及 余弦公式最后应用基本不等式求解得出最大值！ 【详解】(1)由已知f0)+fI)=f(3)=2→fI)=1…1 所以f(x)+f(-)=fx-x+1)=f0)=1…2 ieZ有cos,π.+cos20250r=0,故 2025 2025 i f八cos2025 +fos2025-0元-14 2025」 2025 =1012…5 (2)(i)由已知f(x+y+1)-fy)=f(x)→f(m)-f(m)=f(-n-1) 设5>x,则f(x)-f()=f(x3-为-) 结合f3)=2可知f(:2-x-1)=f(x2-x-1)+f(3)-f(3)=f(x3-,+3)-2 因为5-+3>3，所以f(x2-+3)>2→f(x2-x+3)-2>0→f(x2)-f(3)>0 所以f(s)>f(:),所以f(x)在R上单调递增… …10 (i设uo=f02+4cos48)-22+4an0 1 tane 4 则目标函数为二() 由已知2f(x)=f(x)+f(x)=f(x+x+1)=f(2.x+1),…11 1 所以(0=f12+4cos4θ)-f2+ tan20 2tan日 2 f 4c0s40--1 tan'0 2tanm'02+9 …13 设h(0)=4cos40- 1tam'0+9,则(0=fhe) 2tan20 2 h(0)=4cos48- cos20 sin20 +9 2sin20 2cos20 9=4c0s40-sin0 tcos 2sin2Ocos20 (sin'0+cos20)-2sin20cos20 +9=4cos40- 1 =4c0s40- 2sin20cos20 2sinOcos10 =40-2sm20)s2010=14-24m20 1 …15 sin220 sin220 白装本不其m20+n023428 1 n220 =4 取特m2-是.即0号药，所以M0s14-3x4=6 2 由于f(x)单调递增，所以（Θ）=f(h(Θ)≤f(6),故()的最大值为f(⑥ 由已知f(5)=f0+3+1)=f1)+f3)=1+2=3 @+g=+2-0=f0=3f@-号 所以o=/0+3+0=3+-号2- 2 > 所以（©的最大值为 …16 因为目标函数为@，所以所求函数的最大值为 ……17 4