精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年下学期高二年级第二次阶段性数学学科作业

崇仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶段性数学学科作业 命题人：杨志铭 审题人：邹森 杨鹏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等比数列中，，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 记是等差数列的前项和，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 5. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义为n个正数的“均倒数”．若数列的前n项的“均倒数”为，又，则＝（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算错误的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（ ） A. 存在对称轴 B. 存在极大值 C. 在上单调递增 D. 的单调递减区间为 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为110 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且，则______． 13. 设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； （2）设函数，求函数在点处的切线方程． 16. 已知函数． （1）设是函数的极值点，求a的值； （2）当时，证明：． 17. 在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. （1）求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁一中2026年春季学期高二年级第二次阶段性数学学科作业 命题人：杨志铭 审题人：邹森 杨鹏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等比数列中，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为 ， ，， ，即， ，， . 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，再利用导数的定义可求得的值. 【详解】因为，则，故， 所以 . 3. 记是等差数列的前项和，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】代入等差数列前项和公式求解即可. 【详解】，所以，， 所以，即，所以，所以. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可. 【详解】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 5. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 7. 定义为n个正数的“均倒数”．若数列的前n项的“均倒数”为，又，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“均倒数”定义求出后，代入求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由“均倒数”定义，得：， 前项和， 整理得： 当时，， 代入得： ：，满足， 因此对所有，成立； 由，代入得：， ， . 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算错误的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，是常数，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（ ） A. 存在对称轴 B. 存在极大值 C. 在上单调递增 D. 的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和， 所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为， 所以选项A、C、D正确，选项B错误. 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为110 【答案】AC 【解析】 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 13. 设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的定义可得，，结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，， 可得，即， 所以数列的公比为2. 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； （2）设函数，求函数在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平均变化率定义计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 则， ，， 则函数在点处的切线方程为， 整理得. 16. 已知函数． （1）设是函数的极值点，求a的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，​，原不等式为 ，即只需证明. 构造函数， ，当时，，故， 因此在上单调递增，所以 即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质代入求解，并验证该点是极值点，得到的取值； （2）代入后化简原不等式，将问题转化为证明时恒成立，通过构造函数求下确界完成证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，​ ， 因为是的极值点，所以，即，解得，  验证：当​时，​， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即是的极值点，故. 【小问2详解】 略 17. 在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 18. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. （1）求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 【答案】（1） （2），； （3），. 【解析】 【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列 ，可得的表达式. （3）利用分组求和法求即可. 【小问1详解】 （1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； 【小问2详解】 设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时， 即，即， 所以 是以为公比，为首项的等比数列； 所以，于是，； 【小问3详解】 依题意： ， . 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3） 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 ， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. 【小问2详解】 ， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $