重庆市第一中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 重庆一中高一下期期末数学卷聚焦向量、立体几何、解析几何等核心内容，通过折叠问题、轨迹方程及“曼哈顿距离”创新情境，考查空间观念、推理能力与模型意识，适配高一学段知识整合与素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线距离、向量夹角、外接圆面积|基础概念与空间形式结合，如第4题平面夹角考查几何直观| |多选题|3/18|复数几何意义、立体几何位置关系|选项分层设计，如第11题综合圆的性质与距离最值| |填空题|3/15|向量运算、解三角形、圆锥外接球|强调符号意识，如第14题将空间几何转化为方程求解| |解答题|5/77|向量共线、三角形高最值、折叠问题、轨迹方程、圆综合|注重探究性，如第17题折叠问题考查空间观念，第19题结合“曼哈顿距离”体现创新意识与应用能力|

重庆一中高2028届高一下期期末考试 数学参考答案 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 8 A B D A C B D B 8题：如图1，过点P分别作AB、BCAC的垂线，垂足为M、NQ,分别过M、N、O作ABB,CAC 的垂线，垂足分别为M、N、Q,连接MP NP OP 则MP+Np+l№，PP=8,即MP+NP+l№p=5 K B 图1 图2 图3 如图2，在底面ABC建立平面直角坐标系：设点P七，y, 直线AC,BC方程分别为：√3x-y+3=0,V3x+y-3=0, ww2ygs 化简得+-1- 2V52V5元 如图3，∠HGK=元，故圆在△ABC内部的部分轨迹长为3×号× 3 33 3 二、多选题： 9 10 11 BD BCD ABD 11题： 对A:根据圆的方程，配方得到：（化-4）2+(y-3)2=5,圆心C(4,3),半径r=√5A正确： 对B:直线MN方程：y-1=- 2x宁x+2y-2=0,圆心到直线距离：d=4+2×3-2=8 2 P+225 圆上点P到直线距离的最小值：d-rV5=3 5 。B正确： 1 对C:△SMW的底边MN=√2-0)+(0-1)=√5，面积最大时，高最大，即P到直线MW距离最大： d+75-号技大面积及0d月号5片号 52 C错误： 对D:条件QM=20N,设0(x,),则：√x2+(y-1=2√-22+y 地里-导--5=0，所以0做是，国心0得，米经R 3 要求PQ的最大值，即两圆上点间最大距离：PQx=OC+r+R 先算心离oc令+6百.酒 所以：P0m=229+5+2W5_22+55 3 3 3 D正确。 三、填空题： 12.-6 13. 1416元 4 3 14题：记圆锥的轴截面为等腰△SAB,由题意知：△SAB的外心到该三角形的每条边的距离相等，则外心 与内心重合，△SAB为等边三角形，己知等边三角形边长为2，则其外接圆半径为 5，即为圆锥的外接 3 球半径R,面积s=4rR2=4红25=16r 3 3 四、解答题： 15.解：(1)m=(3,-1),n=(1,2),则m+n=(3k+1,-k+2), 由于m⊥(km+n,所以(km+n=0, 即3x以+1)+1x(+2习=0，解得k=6…6分 (2)己知=(3，-1)，n=(1,2), 则AB=m-n=(3-1,-1-2)=(2,-3),BC=m+pn=(3+p,-1+2p), 由于AB,C三点共线，所以2×(-1+2p)-(-3)×(3+p)=0,解得p=-1.......13分 16.解：(1)根据正弦定理可将已知条件化简为(a-b+c)(a+b+c)=(2+V3)ca, 化简整理，得a2+c2-b=√3ca. 由余弦定理，得cosB=+c2-BV3 2ca 2 因为∠B为三角形内角，故B= 6 6分 1 :记AC边上的高为、由S=二b,三)acsin B,可得 b 又因为a =cb =4. sinA sinC sin B 所以4=4sim4simC=4sin4sin(4+=2sim(2A-+V5, 6 31 在三角形8C中，B=名故4eQ爱. 6 当4沿时.%=25 .15分 法二：记AC边上的高为%，. 由S-号的-cmB,可得4-“B-0 1 =c,由余弦定理b2=2+c2-2 ac cos B, b4 可得4=2+c2-V3ac>≥(2-V3)ac→ac<4(2+V3), 从而有%-ac<2+),即%)s=2+515分 17.解：(1)取CD中点N,连接MN、EN, 则N是△4CD中位线，MWI1AD,MN=1 C E 又BEAD,BE-4D 故NI/BE,MN=BE,四边形MNEB为平行四边形， 所以EN/IBM, 又ENC平面CDE,MBa平面CDE, 故BM1/平面CDE.........5分 (2)由题意得，CD=CE=2,∠DCE=60°，则△CDE为等边三角形，DE=CD=2, 在△ABE中，EB=2,BA=2,∠ABE=180°-60°=120°， 由余弦定理得AE2=AB2+EB-2AB·EB.C0S∠ABE=4+4-2×2×2× 1 所以AE=2√5，由AE=2N3,ED=2,AD=4,则AE2+DE2=AD,故AE⊥DE 又AE⊥CE,DECE=E,DE,CEC平面CDE,所以AE⊥平面CDE, 3 如图，以点E为坐标原点，以ED,EA所在直线分别为x,y轴，过E垂直 于平面ABED的直线为=轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-xz, 则E(0,0,0),D(2,0,0,A0,2V5,0,B(-15,0）,C,0,V3): B 故DA=（-2,2W5,0,AC=1,-2W5,V5), D A v 由AF=AC(0≤K1), DF=DA+AF=DA+Ac=（-2,2W5,0+1,-25,V5)=（2+元，250-)，V52, 因为=轴垂直平面ABED,故可取平面ABED的一个法向量为1=(0,0,1)， 设直线DF与平面ABED所成角为O, cos(m m.DF 3 所以sin6= V30 DF V-2+2+[230-)+(5 10, 化简得32-14九+8=0，解得元=或九=4（舍去） 故当AE⊥CE时，存在入= ?,使直线DF与平面4BD所成角的余弦值为Y0 .....15分 10 18.解：（1)设C(x,y),圆心A(-1,-1),由题意 CA+1=2(CA-1),即CA=3,得到Vx+1)+(y+12=3 所以点C的轨迹方程为(x+1)+(y+1)2=9.…...4分 (2)(1)记(x+1)2+(y+1)2=9的圆心为点A(-1,-1), 记圆B:(x-2)2+(y-2)2=15的圆心为点B(2,2), 因为5-3<4=V2+1+(2+1=32<3+5,所以两圆相交， 故直线P2为圆(x+1)2+(y+1)2=9和圆B:(x-2)2+(y-2)2=15的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得x+y=0,故直线P2的方程为x+y=0. 由B(2,2)、A(-1,-1)得直线BA的方程为y=x, 与x+y=0联立得线段P2的中点坐标为(0,0)， 圆心A到直线x+=0的距离为看，则9--（厅-厅， 4 所以圆H的方程为x2+y2=7...10分 (11)假设y轴上存在点W(0,t)满足题意，设I(x,),J(x2,y2),3≠0. 则km+km=0,即当二+二-0，整理得5（y-)+50-)=0. 将片=+1,2=+1，代入上式可得(+1-t)+5(+1-t)=0, 整理得2kx2+(1-t)(x+x2)=0① y=+1 联立+产=7消y可得(K+r+2-6=0,必有a>0, 2k 6 且+x2=一 +156=R+' 代入①并整理得k(t-7)=0,所以t=7, 故存在点W(0,7),满足题意.…..…17分 19.解：(1)由题意，过点H(-2,1)且斜率为-1的直线方程为x+y+1=0, 1√2 又圆0(0,0)到该直线的距离为 V12+1221 所以该直线被圆O截得的弦长为2,2 =V14,解得2=4， 2 所以圆0的方程为x2+y2=4,圆心坐标为0(0,0)，半径为2， 当过点H(-2,1)的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为x=-2; 当切线斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x+2),即-y+2k+1=0, 电2k+1=2,解得k=3,则切线方程为3x-4y+10=0 由R+1 4 所以过点H的圆o的切线方程为x=-2或3x-4y+10=0.... …….5分 (2)(i)设点P(x,),则x2+y=4,P4=Vx-a2+(y-2),PB=Vx-m+(y-1)2, 因为，时=f.所以o----m旷(-门， 又x2+y2=4,化简得2a+4y-ad2-8=2wmx+2m2y-m2n2-5n2, 2a=2m2 因为P为圆O上任意一点，所以{ 4=2n2 a2+8=m2n2+5n2 [n=V2 又m>0,n>0,解得{a=2,所以常数n=2.…11分 m=1 (1i)由(1)知，a=2,=1,所以点E(2,-t),圆C:x2+y=1, 设M(,),M是线段WE的中点，则N(2x-2,2+), 「x+场=1 又M,N在圆C1上，即关于，的方程组 (2x-2)}+(2y+t)2= 有解， 化简得 号+哈=1 8,-40。-2-7=0有解， 即直线8x-4y-t2-7=0与圆C:x2+y2=1有交点， 则圆心(0,0)到直线的距离d= F+L4, √64+16t2 化简得：4-2r2-15=(2-5)2+3)<0,2-5<0,解得t∈「-V5,V5], 又E(2,-t),F(,1),由“曼哈顿距离”的定义知E,F两点的“曼哈顿距离”为 d(E,)=F-2+t+,因为te[-5,5], r-t-3,te[-5,- --t+1,t∈(-V2,-1 所以d(E,F)= -P+t+3,te（-1,2] t+t-1,te(2,5 解得2-ld(E,F)<4+V5, 所以d(B,)的范围是2-1,4+5….17分秘密★启用前【考试时间：2026年7月6日15：00-17：00】 重庆一中高2028届高一下期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 ·、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.直线l:x-y-1=0与Z2:x-y-2=0间的距离为 A② B.1 C.√2 D.2W2 2 2.已知两向量a,石满足d-=1,且(25-⊥a,则向量a,b的夹角为 A名 B号 C. 3 D.5元 6 3.已知A,B,C,D是同一平面内的四点，且任意三点不共线，P为平面外一点，若 PA=(2-1)PB+PC+PD,则实数的值为 A.1 a号 c 4在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，且AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PM=4 金， 则平面ABCD与平面PBD的夹角大小为 A.30 B.45 C.60 D.75 5.以O(0,0),A(4,0),B(3,3)为顶点的△OAB外接圆的面积为 A B.10z D.10元 3 C.5π 6.在△ABC中AB=1,∠ABC= 2元，D为BC中点，AD=5,则AMBC的面积为 3 B⑤ C.1 D.5 2 7.已知圆0：x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2-4x-2y+4=0相交于A、B两点，若四边形OACB的面 积为r,则AB= A.2 B.4 c.2v5 D. 4 √5 5 5 第1页共4页 8.在正三棱柱ABC-4B,C中，AB=23,A4=1,点P为△MBC内（含边界）一点，且P到AB,AC, BC的距离的平方和为8，则点P的轨迹长为 A.ie B2W5π C. D.2元 3 3 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z+1-21,则 Az的虚部为-2i B.在复平面内对应的点的坐标为L,-2) c.2=25 D.复数名的共轭复数为-+3： 1+i 22 10.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD, PA=2AD,点E为棱PC的中点，则 A正-=+号而+ BPA∥平面BED 2 C.BD⊥AE D.点P到平面BBD的距离为2 11.已知点P是圆C:x2+y2-8x·6v+20=0上一动点，点M(0,1),点N2,0),则 A.圆心C的坐标为(4,3) B.点P到直线MW的距离的最小值为3V5 C.APMW面积的最大值为 2 D.若点2满足0M=20N,则P2的最大值为5V5+229 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设向量a=(-3,4),b=(2,8),若a/6,则1=_； 13.已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin BsinC.+cos2(B+9=1,b+c2=3bc,则 2 cosA= ； 14.已知圆锥的外接球球心为0，点0到圆锥底面的距离等于点0到圆锥母线的距离，圆锥母线的长度为 2,则球0的表面积为_ 第2页 共4页 四、解答题：大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知向量m=(3,-1),n=(1,2). (1)若m⊥(km+n,求实数k的值： (2)已知A,B,C三点共线，若OA=n,OB=m,OC=2m+pn,求实数卫的值. 16.(本题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知(a-b+c)sin4+sinB+sinC)=(2+√3)csin A. (1)求角B的大小； (2)若b=2,求AC边上高的最大值 17.（本题满分15分) 如图1，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4,∠BAD=60°，E为BC的中点.将△CDE沿DE折 起，连接BC与AC,如图2. E D 图1 图2 (1)设M为AC中点，求证：BM/1平面CDE; (2)设AF=1AC(O≤≤)，当AE⊥CE时，是否存在实数%，使得直线DF与平面ABED所成角 的余弦值为而？若存在，求出入的值：若不存在，请说明理由. 10 第3页共4页 18.（本题满分17分) 己知圆A:(x+1)2+(y+1)2=1,圆4上一动点M,圆A外一动点C,满MC的最大值为其最小 值的2倍. (1)求点C的轨迹方程； (2)若圆B:(x-2)2+(y-2)2=15,P,2是圆B与(1)中所求的点C轨迹的交点' (1)求以P2为直径的圆H的方程； (1i)若直线：y=+1与圆H交于I,J两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点 W,使得直线W、WJ的斜率互为相反数？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本题满分17分) 已知过点H(-2,1)且斜率为-1的直线被圆0：x2+y2=r2截得的弦长为√14 (1)求过点H的圆O的切线方程； PA (2)已知两定点A(a2).B(m,1),其中a∈R，,m>0.P为圆0上任意一点， PB =n(n为常数)· (i)求常数n的值； (i)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提 出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C(x,), D(x2,y2),则C、D两点的“曼哈顿距离”为d(C,D)=x2-x+y2-.若过点E(a,-t)作直线l 与圆C:x2+y2=m交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点F(t2,1),求 d(E,F)的取值范围， 重庆一中高 2028 届高一下期期末考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。 1. 直线 与 间的距离为 A. B. 1 C. D. 2. 已知两向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为 A. B. C. D. 3. 已知 是同一平面内的四点，且任意三点不共线， 为平面外一点，若 ,则实数 的值为 A. 1 B. C. D. 4. 在四棱锥 中,底面四边形 是矩形,且 平面 , 则平面 与平面 的夹角大小为 A. 30° B. C. 60° D. 75° 5. 以 为顶点的 外接圆的面积为 A. B. C. D. 6. 在 中 为 中点， ，则 的面积为 A. B. C. 1 D. 7. 已知圆 与圆 相交于 A、 B两点,若四边形 的面积为 ,则 A. 2 B. 4 C. D. 8. 在正三棱柱 中, ,点 为 内 (含边界) 一点,且 到 , 的距离的平方和为 8,则点 的轨迹长为 A. B C. D. 二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知复数 ,则 A 的虚部为 -2 i B. 在复平面内对应的点的坐标为 C. D. 复数 的共轭复数为 10. 如图,四棱锥 的底面 是边长为 1 的正方形, 平面 , ，点 为棱 的中点，则 A B. 平面 C. D. 点 到平面 的距离为 11. 已知点 是圆 上一动点，点 ，点 ，则 A. 圆心 的坐标为 B. 点 到直线 的距离的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 若点 满足 ，则 的最大值为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 设向量 ，若 ，则 _____； 13. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____； 14. 已知圆锥的外接球球心为 ,点 到圆锥底面的距离等于点 到圆锥母线的距离,圆锥母线的长度为 2，则球 的表面积为_____. 四、解答题:大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 13 分) 已知向量 . (1)若 ，求实数 的值； (2)已知 三点共线，若 ， ， ，求实数 的值. 16.(本题满分 15 分) 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 边上高的最大值. 17. (本题满分 15 分) 如图 1,在平行四边形 中, 为 的中点. 将 沿 折起,连接 与 ,如图 2. 图 1 图 2 (1)设 为 中点，求证: 平面 ； (2)设 ，当 时，是否存在实数 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ? 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由. 18.(本题满分 17 分) 已知圆 ，圆 上一动点 ，圆 外一动点 ，满足 的最大值为其最小值的 2 倍. (1)求点 的轨迹方程； (2)若圆 ， ， 是圆 与(1)中所求的点 轨迹的交点。 (i) 求以 为直径的圆 的方程; (ii) 若直线 与圆 交于 ， 两点，探究当 不断变化时，在 轴上是否存在一定点 ,使得直线 的斜率互为相反数? 若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由. 19. (本题满分 17 分) 已知过点 且斜率为 -1 的直线被圆 截得的弦长为 (1)求过点 的圆 的切线方程； (2)已知两定点 、 ，其中 ， . 为圆 上任意一点， ( 为常数). (i) 求常数 的值; (ii) “曼哈顿距离” 也叫 “出租车距离”, 是 19 世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词,用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,即在直角坐标平面内,若 , ,则 两点的 “曼哈顿距离” 为 . 若过点 作直线 与圆 交于 两点,且 点恰好是线段 的中点,又已知点 ,求 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $