重庆市主城区七校联考2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 覆盖高中数学核心知识，通过真实情境题与梯度设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/40|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技前沿情境，如数据分析题考查数据意识；综合题分层设问，基础层检测推理能力，提升层体现创新应用，契合高考命题趋势|

2025—2026学年（下）期末考试高2028届数学试题 考试说明：1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：6页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（ ） A． B．2 C．1 D． 2．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则（ ） A． B． C． D．或 4．边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知事件A，互斥，事件A发生的概率，事件发生的概率，则事件A，都不发生的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 8．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A．4 B．2 C．3 D．1 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为9 B．已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为7 C．用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1 D．已知事件A与事件相互独立，若，，则， 10．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A．复数是纯虚数，则或1 B．若，则的最大值为 C．若，则 D．若是关于的方程（p，）的一个根，则 11．如图，在直三棱柱中，，，，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．直三棱柱的体积是6 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直三棱柱的外接球表面积是 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．某中学高一年级有男生600人，女生400人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样的方法．得到容量为100的样本，则应抽取的女生人数为_______． 13．记的内角，，的对边分别是，，，已知，，的面积为，则_______． 14．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为_______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）某次测试后，从全校成绩中抽取100名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）若落在中的样本数据的平均数为84，方差为3；落在中的样本数据的平均数为92，方差为5，求这两组数据的总平均数和总方差． 16．（本小题15分）如图，在正方体中，是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； 17．（本小题15分）为了普及法律知识，某区组织了一次中学生法律知识的竞赛．在半决赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且每个人回答正确与否相互之间没有影响． （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为的概率． 18．（本小题17分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求的最小值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19．（本小题17分）如图，直三棱柱中，，，为线段上的动点（不含端点）． （1）当为线段上的中点时，证明：面； （2）记平面与平面，平面，平面，平面所成的角分别为，，，，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年（下）期末考试 高2028届数学参考答案及评分标准 一、单项选择题： （本题共8小题，每小题5分，共40分) 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B B 0 不 A 二、多项选择题： (本题共3小题，每小题6分，共18分) 题号 9 10 11 答案 CD BD ABD 三、填空题： (本题共3小题，每小题5分，共15分) 20W5元 12.40 13.214.3 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分，(1)问6分，(2)问7分) 解：1)由(0.004+0.010+0.014+0.032+a+0.010)×10=1, 解得a=0.03 6分 (2)由题意可得，落在[80,90)的样本个数为：0.03×10×100=30，样本平均成绩为元=84，样本方差 为42=3 8分 落在[90,10)的样本个数为：0.01x10×100=10,样本平均成绩为=92，样本方差为，2=5， 10分 30×84+10×92=86 x= 两组数据的总平均数为： 30+10 12分 总方差为： -090544-w]0”0[5+02-s0o]-155 13分 16.(本小题满分15分，(1)问7分，(2)问8分) 解：I)连接AB,在正方体4B,CD-ABCD中，AAIICC且A4=CC,所以四边形AACC为平 行四边形，所以AC1AC,所以∠ACB或其补角即为异面直线AC和B,C所成角，又△AB,C为等边三 角形，所以 1CB=3,所以异面直线4℃和8C所成角为 7分 (2)连接BD,设直线BD交直线AC于点O,连接EO,因为在正方体ABCD-AB,CD中，底面 ABCD是正方形，所以O为BD中点，又因为E为DD的中点，所以D,BIEO,又因为EOC平面 ACE,D,Bc平面ACE,所以直线DB∥平面ACE 15分 D A B B 17.(本小题满分15分，(1)问8分，(2)问7分) 解：(1)记甲队三人回答正确分别为事件A、A、A,则A、A、A相互独立，且 P4)-号.P4)-. 乙队三人回答正确分别为事件B、B、B,则B、B,、B相互独立， P(8)=P(,)=P(a)= R=P(444U444U444)=P(444)+P(444)+P(444) 1x1x11x2x11x1x3_1 =23×4+23×42×3*44 6分 P=P(B,B,B)= 27 125 8分 (2)记乙队得2分的概率为B,甲、乙得分比为：2的概率为P,则 R-Paa+Pa8a)P(⑧aa-3号 15427 P=RB=4X125250 12分 27 即甲队得分与乙队得分为！2的概率为250 15分 18.(本小题满分17分，(1)问5分，(2)问6分，(3)问6分) 解：(1)：a(N53sinB+cosB)=b+ ,∴.由正弦定理得： sinA(3sinB+cosB)=sinB+sinC 展开得： 3sinAsinB+sinAcosB=sinB+sin(4+B)3sinAsinB=sinB+sinBcos4, 后8e@列，sm8≠0，数5n4-eo4=l.2n4-若}- m4-)片.4e0,4-香.分 C B a (2)① ~BD=2C.0=+B0=+号8C=+(aC-) 3 +号花-传丽c-号丽+号ccm -s+号c0-2.48 91 9 9 根据余弦定理： he-cocehe 4b2+c2+2bc 12 36 +29+4 3(t+1) (6 b ,令b ，则 t2+2t+4 -0t2+2t+4 =361- 3 1+143 +1 1+1=3 ,则当且仅当t+1时等号成立， 解：6-1时，疗6-1 N时，BC取最小值为3V3-3. 11分 B ② ,AD为∠ADB的角平分线，在△ABD中，由正弦定理得 2 BD AB AD BD AB sinB 1 元 sinB sin,∠BAD sin.∠ADB,即 sin B+ 2 6 2sinB+π BD=1 、6 AB=- sinB. sinB 2sinB+π +3 6 4cos2sin ∴.AB+3BD= _√3sinB+cosB+3=5+ 2 sinB sinB BB 2sin 2 =V3+2 B B+tan tan B∈0， 2 .又 . 号e 2 B +tang≥2√2 2 B tan 2 tan =√2 ，当且仅当 2 时等号成立，故 AB+3BD∈[22+V3,+∞ 17分 19.(本小题满分17分，(1)问7分，(2)问10分) 【详解】(1)设A4=2AB=2AC=2 ABC-ABCI为直三棱柱，且AB⊥AC,当P为BB的中点时， :在△PA4中，PA=PA=2,AA=2,则PA⊥PA, :AA上平面ABC,ACC平面ABC,A4上AC 又：AB⊥AC,AA∩AB=A,AC⊥平面ABBA, 又：PAC平面ABB4,·AC L PA,PANAC=A,PA,ACc平面PAC, .PA1平面PAC 7分 (2)法（一）：因为AC⊥平面ABB,A,AC在平面PAC内，所以平面PAC⊥平面ABBA,所以 8- 9分 又因为ABC-AB,C1为直三棱柱，所以AA上平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACCA,则 8+8=月 11分 所以8=日+8，+8+8，=π+8，所以cos0=-cos8, 12分 过A作AE垂直于BC交BC于E,过E作EF垂直于PC交PC于F,连接AF 因为CC垂直于平面ABC,所以平面BCCB垂直于平面ABC. 其交线为BC,因为AE⊥BC,所以AE⊥平面BCCB,所以AE⊥PC, 又因为EF⊥PC,所以PC⊥平面AEF,所以AF⊥PC,所以 ∠AFE为平面PAC与平面BCCB所成角的平面角 14分 设14=2AB=2AC=2,又设BP=a(0<a<2),则PC=V2+a 易知E为BC中点，则 反 tan∠AFE=AE 2 V2+a2 2 EF V -a EF=- 2 2 则 2+a2,在△AEF中， V2+a2 因为0<a<2,所以 6 tan∠AFE∈ -,+00 .w0.co..0e 10 17分 法（二）：由(1)知AB，AC,AA两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BP=2BB(0<元<)则4A(0,00),C(10,0).4(0,20),B(0,0,1).P(0,2元，1) AC=(1,00）,CP=(1,21,1).设平面PAC的法向量m=(化少2)，则 ·AC=0, x=0, nCP=0 -x+22y+z=0,令y=1,则m,=(0,1-2A), 同理，平面BAC的法向量”=(0,10），平面ABB,4的法向量元=(L,00),平面4CC4的法向量 %=(0,0,),平面BCCB的法向量”=(L,01), '.cos=cosno, no'n ，同理c0s8=0cos8,= 12 V1+422 V1+422」 2 c0s84= 44玩.0受 日+6= 2 14分 cos0=6os(Q+0,+8+0,)=cos(0+)=-+42 V22 =2+45 V10 ∴.cosB的取值范围为 17分 B B C