第八单元 观察物体（二） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

第八单元 观察物体（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、从不同方向观察立体图形 2 1. 观察对象与观察方向 2 2. 核心结论 2 3. 正确观察的方法 2 4. 视图绘制要点 2 二、根据视图还原立体图形 2 1. 不同视图数量对应的确定性 2 2. 还原立体图形的通用步骤 2 3. 最多、最少个数问题 3 三、观察的范围 3 1. 基础概念 3 2. 影响观察范围的两大因素 3 观察点的高度 3 观察点与障碍物的距离 3 3. 生活常见应用 3 四、易错点总结 3 考点讲练 4 考点一：通过三视图会摆放立体图 4 考点二：通过三视图还原立体图 5 考点三：观察的范围（视野与盲区） 8 考点四：判断连续拍摄一组照片的先后顺序 9 综合训练 10 知识梳理 一、从不同方向观察立体图形 1. 观察对象与观察方向 本单元研究的是由若干个相同小正方体搭成的立体图形，通常从三个固定方向进行观察： 正面：从立体图形的正前方观察； 上面：从立体图形的正上方观察； 左面：从立体图形的正左方观察（也可观察右面，左右视图呈镜像关系）。 这三个方向观察到的平面图形，合称为立体图形的三视图。 2. 核心结论 从不同方向观察同一个立体图形，看到的形状可能相同，也可能不同； 从同一个方向观察不同的立体图形，看到的形状也可能完全相同。 3. 正确观察的方法 观察时视线要与被观察的面保持垂直，正对观察面； 只记录能直接看到的小正方形的数量和排列位置，被遮挡住的小正方体不用画出； 数小正方形时，按 “先数层数、再数列数” 的顺序，避免遗漏或重复。 4. 视图绘制要点 画出的平面图形只保留外轮廓和内部的小正方形分隔，不需要体现立体感，小正方形大小一致、对齐整齐。 二、根据视图还原立体图形 1. 不同视图数量对应的确定性 只给 1 个方向的视图：无法确定立体图形的形状，有无数种搭法，小正方体数量不唯一； 给 2 个方向的视图：搭法数量减少，但通常仍存在多种可能，小正方体数量有范围； 给完整的三视图（正面、上面、左面）：绝大多数情况下可以唯一确定立体图形的形状，小正方体的总个数固定。 2. 还原立体图形的通用步骤 定底层：先根据上面的视图，确定底层小正方体的行列布局，这是还原的基础； 定层数：再结合正面视图确定每一列的最高层数，结合左面视图确定每一行的最高层数； 验总数：逐层统计小正方体数量，最后验证是否符合所有视图的要求。 3. 最多、最少个数问题 当视图信息不完整时： 求最少个数：在符合视图的前提下，尽可能让上层小正方体共用同一列 / 同一行； 求最多个数：在符合视图的前提下，每一列 / 每一行都按最高层数摆放小正方体。 三、观察的范围 1. 基础概念 视点：观察者眼睛所在的位置，也就是视线的出发点； 视线：从视点出发，射向被观察物体的假想射线，视线是直的，不能转弯； 盲区：视线被障碍物遮挡后，观察者无法看到的区域，叫做盲区。 2. 影响观察范围的两大因素 观察点的高度 观察点越高，视线越过障碍物的能力越强，盲区越小，观察到的范围越大； 观察点越低，盲区越大，观察到的范围越小。 生活现象：站在楼顶比站在地面看到的景物更多，即 “站得高，看得远”。 观察点与障碍物的距离 观察点离障碍物越近，盲区越大，能看到的障碍物后方的范围越小； 观察点离障碍物越远，盲区越小，能看到的障碍物后方的范围越大。 生活现象：走到围墙根时，几乎看不到墙内的景物；离围墙越远，能看到的墙内范围越大。 3. 生活常见应用 路灯下影子的长短变化、登山望远、汽车后视镜视野、遮挡物后的视线判断等。 四、易错点总结 观察左面视图时混淆左右方向，误将右面视图当作左面视图。 还原立体图形时，漏数被遮挡的底层小正方体，导致总数算少。 误认为给出两个方向的视图就能唯一确定立体图形，忽略多种搭法的可能。 错误认为 “离物体越近，看到的范围越大”：离观察物体越近看到的物体越大，但离障碍物越近，可视的整体范围越小。 画视图时画出被遮挡的线条，不符合平面视图的规范。 考点讲练 考点一：通过三视图会摆放立体图 【典例精讲】一个用同样大的小正方体搭成的几何体，从正面看到的是，从左面看到的是，搭这个几何体最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【答案】 4 7 【分析】根据给出正面看到的图与左面看到的图利用小正方体还原后数一数。 【详解】 正面看到的是左面看到的是用小正方体摆一摆如下： 最少可以是这样：共4个小正方体， 最多是这样：共7个小正方体。 【变式训练】．在几何体 中添上一个，若使几何体从左面看到的图形不变，有( )种摆法；若从上面看到的图形不变，有( )种摆法；若从正面看到的图形不变，有( )种摆法。（不改变原几何体中小正方体的位置，且添加后每相邻两个小正方体至少有一面重合） 【答案】 4 4 6 【分析】添上1个小正方体，若使从左面、上面或正面看到的形状不变，应让原几何体遮住这个小正方体，或让这个小正方体遮住原几何体中的某个小正方体。 【详解】要使物体从左面看到的形状不变，则添加的一个小正方体可放在几何体左边任意一行的两个位置上，也可放在几何体右边任意一行的两个位置上，共4种摆放方法。 要使物体从上面看到的形状不变，则添加的一个小正方体可放在任意一个小正方体上方，共有4种摆放方法； 要使物体从正面看到的形状不变，则添加的一个小正方体可放在任意一列的前面或后面，共有6种摆放方法。 【变式训练】几何体，在( )号位置上面放一个同样的小正方体，从前面看的图形是；拿走( )号小正方体，从前面看到的图形不变。 【答案】 ④ ① 【分析】原几何体从前面看的图形：底层有3个小正方形，上层只有左边1个小正方形。要让从前面看的图形变成：底层3个，上层左右各1个，那就是考虑下层右边上方放1个；拿走小正方体后前面看到的图形不变，说明拿走的是不影响前面视图的小正方体。 【详解】 在④号位置上方放一个小正方体，这样上层右边就会多出一个小正方形，也就是从前面看到。而①号小正方体在几何体的前一排靠左边，因为①号后面还有一个小正方体，所以拿走①号小正方体，从前面看到的图形不变。 所以，在④号位置上面放一个同样的小正方体，从前面看的图形是； 拿走①号小正方体，从前面看到的图形不变。 【变式训练】用若干个同样的小正方体摆了一个几何体，从前面和上面看到的图形都如图所示，摆这个几何体至少要用______个小正方体，最多可以用______个小正方体。 【答案】 7 9 【分析】从上面看到的图形可知，底层有5个小正方体（分布为前一行3个，后一行2个）。从前面看到的图形可知，该几何体有两层，上层有2个小正方体，分别在第一列和第三列。 上层最多可以在第一列和第三列各放2个小正方体（共4个），底层有5个小正方体。 【详解】上层最少需要2个小正方体，底层有5个小正方体。 5＋2＝7（个） 5＋4＝9（个） 考点二：通过三视图还原立体图 【典例精讲】一个用小正方体摆成的立体图形。从正面、上面看到的都是，摆成这样的图形，最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【答案】 5 6 【分析】根据从上面正面看到的，可以确定底层需要4个；从正面看到的也是，说明这个立体图形有2层，上层左边最少可以放1个小正方体，如图：；上层左边最多可以放2个小正方体，如图：。 【详解】最少：4＋1＝5（个）， 最多：4＋2＝6（个）。 【变式训练】根据下面从不同方向看到的图形判断，这个几何体最少是由( )个小正方体摆成的。 【答案】7 【分析】根据题意，从上面看可知，这个几何体的底层有4个小正方体；从左面看可知，有3层，第二层最少有2个小正方体，第三层最少有1个小正方体。据此解答。 【详解】由分析可知，几何体的底层有4个小正方体，第二层最少有2个小正方体，第三层最少有1个小正方体。 4＋2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 因此，这个几何体最少是由7个小正方体摆成的。 【变式训练】用同样的小正方体搭成一个几何体，从上面看和前面看到的图形如图所示。搭这个几何体最少要( )个小正方体，最多要( )个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】从上面看的图形说明，几何体的底层一共有个小正方体，每个看到的位置都必须有1个小正方体，由此可确定底层数量； 从前面看可知：几何体右列只有1层，因此右列的位置不能再加小正方体；左列最高为2层，左列对应底层一共有3个位置； 最少情况：只需要在左列任意1个位置上方加1个第二层的小正方体，就能满足视图要求； 最多情况：左列3个位置都可以各加1个第二层的小正方体，仍然满足视图要求，据此解答。 【详解】最少情况：4＋1＝5（个） 最多情况：4＋3＝7（个） 【变式训练】用相同的小正方体搭积木。 (1)如果所搭图形从上面、正面和左面看到的形状如图，这个图形是由( )块小正方体搭成的。 (2)如果所搭图形，从上面看到形状是，从左面看到形状是，搭成这样的立体图形最少需要( )块小正方体，最多需要( )块小正方体。（每个小正方体至少有1个面与其他小正方体相连） 【答案】(1)6 (2) 5 7 【分析】（1）从上面视图可知，底层有4个小正方体（前排3个，后排左上角1个）。结合正面视图和左面视图，可知上层有2个小正方体（位于前排）。因此，总数量为4＋2＝6块。 （2）从上面视图可知，底层有4个小正方体（前排1个，后排3个）。从左面视图可知，有两层。 最少情况：上层仅在后排最左边的小正方体上叠1个，总数量为4＋1＝5块。 最多情况：上层在后排的3个小正方体上各叠1个，总数量为4＋3＝7块。 【详解】（1）底层由上面视图确定有4个小正方体，上层结合正面和左面视图可知有2个小正方体，总数量为4＋2＝6（块）。 这个图形是由（6）块小正方体搭成的。 （2）底层由上面视图确定有4个小正方体，结合左视图，上层最少叠1个、最多叠3个小正方体，因此最少4＋1＝5（块），最多4＋3＝7（块）。 搭成这样的立体图形最少需要（5）块小正方体，最多需要（7）块小正方体。 考点三：观察的范围（视野与盲区） 【典例精讲】妈妈晚上在公园散步，她离路灯越来越近，影子会越来越( )。 【答案】短 【分析】根据观察的范围点光源下物体与影子长度的关系：同样高的杆子离路灯越近，它的影子就越短；离路灯越远，它的影子就越长；据此解答。 【详解】妈妈晚上在公园散步，她离路灯越来越近，影子会越来越短。 【变式训练】在《登鹳雀楼》中“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼”告诉我们，站得越高，观察的范围就越( )。 【答案】大 【分析】结合观察范围知识点，先读懂诗句“欲穷千里目，更上一层楼”的含义，再分析观察点高度对视野的影响：高度越高，视线遮挡越少，观察范围越大。 【详解】诗句表达想要看得更远就要登上更高楼层，根据观察范围规律，站得越高，视野越开阔，观察的范围就越大。 【变式训练】中午，大树的影子( )一些；下午，大树的影子( )一些。（填“长”或“短”） 【答案】 短 长 【详解】影子的长短和太阳的高度有关：中午太阳位置高，光线接近直射，大树的影子更短；下午太阳位置降低，光线斜射，大树的影子会变长。 【变式训练】夜晚，当你把拳头向灯靠近时，拳头的影子越来越( )；夜晚路灯下，同样高的杆子，离路灯越近它的影子就越( )。 【答案】 小 短 【分析】根据同一物体距离光源越近，影子就越短；距离光源越远，影子就越长；据此解答。 【详解】夜晚，当你把拳头向灯靠近时，拳头的影子越来越小；夜晚路灯下，同样高的杆子，离路灯越近它的影子就越短。 考点四：判断连续拍摄一组照片的先后顺序 【典例精讲】下面是在比赛的过程中摄影师为跳高运动员拍摄的照片，请你按时间的先后顺序给下面3张照片编号。 ( )        ( )        ( ) 【答案】 3 1 2 【分析】比赛跳高的运动员的跳高过程是：助跑、过杆、落地，据此解答 【详解】 由题意可知，是助跑，排第一，是过杆，排第二，是过杆后落在垫子上，排第三。 【变式训练】乐乐登山看塔，从山脚爬到山腰，再登到山顶看到的景象如图，按照先后顺序排列是( )。 【答案】②③① 【分析】观察点的高度不同时，观察到的物体的范围和样子也不同，乐乐离山顶越近看到塔的范围越大。 【详解】分析可知，乐乐在山脚下时，视角较低，看到的塔相对较小且大部分被山遮挡，此时看到的是②；乐乐爬到山腰时，视角升高，看到的塔比在山脚下看到的大一些，此时看到的是③；乐乐登到山顶时，视角最高，看到的塔最大，只有一小部分被山遮挡，此时看到的是①，所以看到的景象按照先后顺序排列是②③①。 【变式训练】一辆汽车从小勇的面前经过，小勇拍摄了一组照片。（如下图） 上面三张照片按汽车被摄入镜头的先后排序是：_________。 【答案】（1）（3）（2） 【分析】根据汽车行驶的过程判断。小勇会先看到迎面驶来的车头，接着看到的是车身侧面，最后看到车尾。 【详解】汽车从小勇面前经过时，先看到迎面驶来的车头，对应图（1）； 当汽车行驶到正前方经过时，看到的是车身侧面，对应图（3）； 汽车驶离后，看到的是车尾，对应图（2）。 上面三张照片按汽车被摄入镜头的先后排序是（1）（3）（2）。 【变式训练】小凯从点A出发，沿箭头方向行走，途中拍摄了下面的三张照片，拍摄这三张照片的先后顺序是( )、( )、( )。（填序号） 【答案】 ③ ① ② 【分析】从A出发时塔在远处且被山遮挡部分多，先找到对应初始状态的照片；然后根据行走过程中，距离塔越来越近时塔的视觉大小变化、周围山的遮挡变化，依次推导后续照片的顺序。 【详解】小凯从点A出发向右行走，刚开始行走时，塔在画面偏右侧，左侧的山丘完整可见，对应照片③；继续往前走，离塔越来越近，塔在画面中变大，位置更居中，左侧山丘被塔遮挡一部分，对应照片①；走到塔的右侧后，塔出现在画面左侧，右侧山丘开始出现，对应照片②。 途中拍摄了下面的三张照片，拍摄这三张照片的先后顺序是③、①、②。 综合训练 1．一个几何体，从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，从正面看有两行，从底部开始，第一行有3个小正方形，第二行有1个小正方形，居中对齐；从左面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有1个小正方形，左对齐；从上面看有两行，从底部开始，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，居中对齐。 A．从正面看有两行，从底部开始，第一行有3个小正方形，第二行有1个小正方形，居中对齐；从左面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有1个小正方形，左对齐；从上面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有3个小正方形，右对齐。 B．从正面看有两行，从底部开始，第一行有3个小正方形，第二行有1个小正方形，居中对齐；从左面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有1个小正方形，左对齐；从上面看有两行，从底部开始，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，居中对齐。 C．从正面看有两行，从底部开始，第一行有3个小正方形，第二行有1个小正方形，居中对齐；从左面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有2个小正方形，对齐；从上面看有两行，从底部开始，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，居中对齐。 D．从正面看有两行，从底部开始，第一行有3个小正方形，第二行有1个小正方形，居中对齐；从左面看有两行，从底部开始，第一行有2个小正方形，第二行有1个小正方形，右对齐；从上面看有两行，从底部开始，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，居中对齐。 【详解】根据分析： A．：从正面看到的是；从左边看到的是；从上面看到的是，不符合题意； B．：从正面看到的是；从左边看到的是；从上面看到的是，符合题意； C．：从正面看到的是；从左边看到的是；从上面看到的是，不符合题意； D．：从正面看到的是；从左边看到的是；从上面看到的是，不符合题意。 2．一个几何体，从前面、左面、上面看都是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从前面看决定有几列，从左面看决定有几行、从上面看决定第一层的图形的位置。 【详解】 从前面看是，说明这个几何体有2列，而且第一列能看到2个，排除D； 从左面看也是，说明这个几何体有2行，里边一行能看到2个，外边一行能看到1个，排除B； 从上面看还是，说明这个几何体第二列的1个在外边，排除A。 3．改变图中涂色小正方体的位置，使几何体从前面和左面看到的形状都不变，有（    ）个不同的位置可以选择。 A．4 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分析原几何体从前面看到的形状，确定涂色正方体移动后需要满足的前后列、上下层限制，因为要保持从前面看到的形状不变，所以涂色块在前面看到的平面图形不能改变。 再分析原几何体从左面看到的形状，确定涂色正方体移动后需要满足的左右行、上下层限制，因为要保持从左面看到的形状不变，所以涂色块在左面看到的平面图形不能改变。 结合两图的限制，统计所有符合条件的位置，减去涂色块原本的位置，得到可选的位置数量。 【详解】原几何体中，3个白色小正方体固定在中间行（前后方向的中间位置），左右排成三列，涂色小正方体原本在中间行前方（前排）的中间位置，总共有前排3个空位、后排3个空位，仅原来涂色占了1个前排位置，共剩余5个空位。 视图要求验证： 从前面看：三个白色小正方体已经占满左、中、右三列，因此不管涂色放在前排/后排的哪个空位，从前面看到的始终是三个并排正方形，形状不变。 从左面看：三个白色小正方体始终在中间行，因此不管涂色放在前排还是后排任意位置，都始终存在前后两行，从左面看到的始终是两个并排正方形，形状不变。 去掉涂色原来的位置，共有5个符合要求的不同位置。 4．将下图几何体中的①号小正方体拿掉，从（    ）面看到的形状发生了变化。 A．前 B．左 C．右 D．上 【答案】A 【分析】 原几何体从前面看是；从左面看是；从右面看是；上面看是。据此分析解答。 【详解】 A．将①号小正方体拿掉，从前面看是，从前面看到的形状发生了变化； B．将①号小正方体拿掉，从左面看是，从左面看到的形状没有发生变化； C．将①号小正方体拿掉，从右面看是，从右面看到的形状没有发生变化； D．将①号小正方体拿掉，从上面看是，从上面看到的形状没有发生变化。 5．一个立体图形从上面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】立体图形从上面看，可以看到立体图形一共有前后两排，前面一排有3个小正方体，后面一排有1个小正方体； 从右面看，能看到立体图形有两层，下面一层可以看到两个小正方体，即有两排，且右边仅一层，说明立体图形后面一排一层且只有1个小正方体；上层在左边可以看到小正方体，也就是立体图形前面一排有两层，下面一层有3个小正方体，如果上面的一层只放1个小正方体，这样摆成符合三视图的立体图形所用的小正方体最少。 【详解】立体图形前面一排，下层有3个小正方体，上层最少有1个小正方体，后面一排一层且有1个小正方体。 3＋1＋1＝5（个） 所以至少要用5个小正方体。 6．一个几何体是用5个小正方体摆成的，从左面、上面、前面看到的图形分别是、、，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三视图锁定底层摆放：俯视图确定底层小正方体的排布，左视图说明几何体有2层，主视图说明最右侧一列有2个小正方体，一共5个小正方体。逐个验证四个选项三个方向的视图是否全部匹配。 【详解】 A．从左面看到的是，从上面看到的是，从前面看到的是，不符合题意。 B．从左面看到的是，从上面看到的是，从前面看到的是，不符合题意。 C．从左面看到的是，从上面看到的是，从前面看到的是，符合题意。 D．从左面看到的是，从上面看到的是，从前面看到的是，不符合题意。 7．一个由相同的小正方体搭成的几何体，从左面看，从上面看，搭成这个几何体最少需要( )个小正方体，最多需要( )个。 【答案】 5 7 【分析】从上面看：底层布局为前排3个（左、中、右），后排1个（中间），共4个基础位置；从左面看：显示两层结构，下层2个，上层1个且位于右侧，右侧对应的就是前排，说明在前排至少有一个位置需叠加第二层。 【详解】底层固定为4个，第二层只需满足左视图上层右侧有1个的要求，可在前排任一位置加1个，其他位置无需叠加，最少总数：4＋1＝5（个）； 底层固定为4个，第二层可在所有左视图允许的位置叠加，前排左、前排中、前排右均可叠加，最多总数：4＋3＝7（个）。 8．下图是一个立体图形从上面看到的形状，上面的数字表示这个位置上所用的正方体的个数。一共摆了( )个正方体，这个立体图形从左面看到的是( )。（填序号） 【答案】 8 ② 【分析】将每个位置的正方体个数相加，即可得到正方体的总数。 这个立体图形从左面看有3层，最上层1个小正方形，中间层2个小正方形，最下层3个小正方形，左齐，据此解答。 【详解】3＋2＋1＋1＋1＝8（个） 这个立体图形从左面看到的是，即②。 9．用同样的正方体搭立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，搭这个立体图形，最少需要( )个正方体，最多需要( )个正方体。 【答案】 6 9 【分析】根据从上面看到的图形，可知这个立体图形的底层分两行共有5个正方体，第一行有4个正方体，第二行有1个正方体且居右；根据从左面看到的图形，可知这个立体图形有两层，上层至少有1个正方体，且在第一行任意一个正方体的上方；最多有4个正方体，在第一行4个正方体的上方各一个；据此得出搭这个立体图形最少需要（5＋1）个正方体，最多需要（5＋4）个正方体。 【详解】结合从上面、左面看到的图形可得出以下立体图形： 最少需要正方体：5＋1＝6（个） 最多需要正方体：5＋4＝9（个） 10．用棱长是1厘米的小正方体搭成一个立体模型，从正面看是，从左面看是，这个模型最多可以用( )个小正方体搭成，此时它的体积是( )立方厘米。 【答案】 7 7 【分析】从正面看：有3列，第1列高2层，第2、3列高1层。 从左面看：有2列，第1列高1层，第2列高2层。 要让小正方体数量最多，我们可以这样放： 底层：第1列2行都放2个，第2列2行都放2个，第3列2行都放2个，共6个。 上层：只能在第1列，第2行的位置放1个（满足正面和左面的高度要求）。 【详解】2＋2＋2＋1＝7（个）所以最多可以用7个小正方体搭成。 每个小正方体的体积是1×1×1＝1（立方厘米）， 总体积：1×7＝7（立方厘米） 11．一个立体图形，从正面看到的图形是下面图1，从上面看到的图形是图2，这个立体图形最少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。 【答案】 6 7 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定这个立体图形底层一共有5个小正方体；再结合从正面看到的图形可知，只有立体图形最左侧一列可以摆放第二层小正方体，对应俯视图里有2个可选位置。要使小正方体数量最少，只需在这两个位置中任意一处摆1个小正方体；要使数量最多，就在这两个位置都摆上小正方体。据此列式计算总个数。 【详解】5＋1＝6（个） 5＋2＝7（个） 这个立体图形最少由6个小正方体组成，最多由7个小正方体组成。 12．下面三幅图是小明分别从上面、前面、右面观察所得到的图形，那么桌子上一共放着( )只碗。 【答案】10 【分析】根据从上面看的图形可知，桌子上放着3叠碗。结合从前面和右面看到的图形，可知这3叠碗分别有2个、4个、4个。据此利用加法，求出桌子上一共有几个碗即可。 【详解】2＋4＋4＝10（只） 这张桌子上一共放着10只碗。 13．一个几何体是由相同的小正方体搭成的，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。这个几何体最多可以有( )个小正方体。 【答案】10 【分析】已知一个由相同小正方体搭成的几何体的上面视图和左面视图，要求确定该几何体最多可由多少个小正方体组成。依据这两个视图，分析小正方体可能的分布情况，从而找出数量最多时的组合方式。 【详解】从上面看到的形状呈现的样子，这表明该几何体的底层有5个小正方体，它们的分布构成了底层的基本形状。 从左面看到的形状是两层。为了使得小正方体的数量达到最多，在不改变给定视图形状的前提下，我们可以在底层的基础上尽可能多地在第二层放置小正方体。由于从左面看是两层，形成“田”字形状，且结合上面看到的形状，我们可以在底层每个位置的上方再各放置1个小正方体，即上层最多可以有5个小正方体。 底层最多5个小正方体，上层最多5个小正方体，那么这个几何体最多可以有5＋5＝10（个）小正方体。 14．用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 【答案】5 【分析】从上面看是一行4个正方形，说明几何体的底层小正方体，在水平面上的分布为“1行4列”，没有前后排的延伸，因此底层固定有4个小正方体。从前面看，底层是4个正方形（与“上面看”的底层分布一致），第二层只有1个正方形，且位于从左数第2列的正上方。这说明几何体为上下两层，且第二层只有1个小正方体，且只能在底层第2列的上方。从左面看是一列2个正方形，说明几何体只有前后1排（无前后方向的延伸），且仅上下2层，没有第三层，也没有前后错开的小正方体，进一步验证了“第二层只有1个小正方体”的结论。 【详解】根据分析，小正方体有2层，下层有4个小正方体，上层有1个小正方体。 （个） 这个几何体是由5个小正方体摆成的。 15．用棱长2cm的小正方体搭成一个几何体，从上面、前面、左面看到的图形都相同如图。这个几何体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 72 32 【分析】先根据三视图确定几何体的图形；然后确定这个几何体的小正方体数量和露出来的总面数；再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出小正方体一个面的面积、根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出一个小正方体的体积；几何体的表面积＝小正方体一个面的面积×几何体露出来的总面数；几何体的体积＝一个小正方体的体积×小正方体数量。 【详解】由三视图可知，这个几何体如下： 所以这个几何体由4个小正方体搭成。 这个几何体上、下、左、右、前、后各露出3个面，露出的总面数为：3×6＝18（面） 几何体表面积为： 2×2×18 ＝4×18 ＝72（cm2） 几何体体积为： 2×2×2×4 ＝4×2×4 ＝8×4 ＝32（cm3） 16．一个面面相连的立体图形从正面看是，从左面看是，要摆成这样的立体图形最少要用______个小正方体，最多用______个小正方体。 【答案】 【分析】分析视图信息：从正面看，图形有层，底层有个小正方体，上层有个小正方体在最左侧。从左面看，图形也有层，底层有排，上层有个小正方体在最左排。①求最少数量：让小正方体尽可能共享，用最少的块数同时满足正视图和左视图的要求。 ②求最多数量：在不违反视图规则的前提下，把所有可能的位置都填满，得到最大数量。 【详解】①计算最少数量： ②计算最多数量： 所以，最少要用个小正方体，最多要用个小正方体。 17．画一画。分别画出从正面、上面和左面看到的立体图形的形状。 【答案】 【分析】从正面看，可以看到立体图形有2层，下层3个小正方体，上层1个小正方体靠左；从上面看，可以看到立体图形有3层，中层3个小正方体，上层和下层各1个小正方体，均居中；从左面看，可以看到立体图形有2层，下层3个小正方体，上层1个小正方体居中。据此画图。 【详解】略 18．分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状。 【答案】 【分析】它是由5个小正方体组成，前排3个，后排2个，其中前排左侧的小正方体是2层。 【详解】从正面看，底层有2个小正方体，上层在左侧有1个小正方体。 从上面看，能看到前排2个、后排2个，与前排的左对齐，共4个小正方体，呈2×2的正方形形状。 从左面看，底层有2个小正方体，上层在右侧有1个小正方体。 19．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。请在表格中分别画出从这个几何体前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】确定从前面看到的图形：从前面看，列数与从上面看的列数一致，共3列。从左往右依次分析： 第一列：从上面的数字可知该列小正方体个数最多为3，所以从前面看第一列有3个小正方形。 第二列：分为前后两列，每列从上面的数字可知小正方体个数最多为2，从前面看，后列会被前列挡住，所以从前面看第二列有2个小正方形。 第三列：从上面的数字可知该列小正方体个数最多为1，所以从前面看第三列有1个小正方形。 确定从左面看到的图形：从左面看，列数与从上面看的行数一致，共2列。从左往右依次分析： 第一列：从上面的数字可知该列小正方体个数最多为2，后面的1个小正方形会被挡住，所以从左面看第一列有2个小正方形。 第二列：从上面的数字可知该列小正方体个数最多为3，后面的2个小正方形会被挡住，所以从左面看第二列有3个小正方形。 【详解】略 20．分别画出这组积木从前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】从前面看到的图形有三行，下面一行和中间一行各有2个小正方形呈“田”字形摆放，中间这行左边的小正方形的正上方有1个小正方形。 从左面看到的图形有三行，下面一行有3个小正方形并排摆放，中间一行有2个小正方形并排摆放，且左边与下面这行的左边对齐，中间这行左边的小正方形的正上方有1个。 【详解】略 21．下图是一个几何体从上面看到的图形，上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。请你画出这个几何体从前面和右面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】结合从上面看到的平面图以及所用小正方体的个数，从正面看有3列，从左往右，分别是2个、3个、2个，下齐；从右面看有3列，从左往右，分别是1个、3个、2个，下齐；据此画出平面图形。 【详解】根据分析，画图如下： 22．下面的立体图形从上面、正面、左面看，各是什么形状？请画出来。（画出图形，并将所画图形涂上阴影。） 【答案】见详解 【分析】从上面看，看到5个正方形，上下两排，上面一排3个，下面左侧2个； 从正面看，看到4个正方形，上下两层，下层3个，上面左侧1个； 从左面看，看到3个正方形，上下两层，下层2个，上面左侧1个。据此分别画出从上面、正面、左面看到的形状，并涂上阴影。 【详解】如下： 23．创意拼盘，“果”然有趣。某学校在劳动课上举行水果创意拼盘活动，小梦用正方体水果块（大小相同）摆成的组合体从前面和上面看都是，从左面看是。 (1)小梦拼摆这个水果组合体一共用了( )块水果块。 (2)如果在从上面看到的图形中用数字表示各位置上所用的水果块的数量，应该怎样标注？ 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据从上面看到的形状，可知底层摆了4个小正方体，根据从前面和左面看到的形状，可知摆了2层，上层只摆了1个小正方体，将两层小正方体个数相加即可。 （2）根据从上面看到的形状，可知底层摆放如图：，根据从前面和左面看到的形状，可知这个组合体如图：，据此标注数量。 【详解】（1）4＋1＝5（个） 小梦拼摆这个水果组合体一共用了5块水果块。 （2）略 24．一个立体图形，从上面和正面看到的图形如下图所示，这个立体图形有多少个小立方体组成？ 【答案】5个 【分析】根据从上面看到的图形可知，这个几何体最下层至少有4个小正方体；从正面看到的图形可知，这个几何体有2层，最上层最少有1个小正方体，下层有4个小正方体，则个几何体最少有（4＋1）个小正方体，据此解答。 【详解】4＋1＝5（个） 答：这个立体图形有5个小立方体组成。 25．如图是由9个棱长是1厘米的小正方体搭成的几何体。 (1)取走几号小正方体后，从上面和左面看到的图形都不变。 (2)从这个几何体的正面和左面看，看到的图形的面积和是多少？ (3)再增加1个相同的小正方体，使从上面看到的图形不变，有几种摆法？ 【答案】(1)3号 (2)11平方厘米 (3)5种 【分析】（1）从上面看到的图形有两排，上面一排有3个正方形，下面一排有2个正方形，从左面看到的图形有三层，下层有2个正方形，中层有2个正方形，上层有1个正方形，取走3号小正方体后，从上面和左面看到的图形都不变； （2）已知小正方体的棱长是1厘米，则每个面的面积是1×1＝1（平方厘米），从正面看到的图形一共有三层，下层有3个正方形，中层有2个正方形，上层有1个正方形。从左面看到的图形有三层，下层有2个正方形，中层有2个正方形，上层有1个正方形，求出从正面看到的和从左面看到的图形一共有几个小正方形，再用一个正方形的面积乘小正方形的个数即可解答； （3）从上面看到的图形有两排，上面一排有3个正方形，下面一排有2个正方形，要想看到的图形不变那么，可以放在1、2、3、5、6号小正方体的上面，一共有5种摆法。 【详解】（1）答：取走3号小正方体后，从上面和左面看到的图形都不变。 （2）1×1＝1（平方厘米） 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 2＋2＋1 ＝4＋1 ＝5（个） （6＋5）×1 ＝11×1 ＝11（平方厘米） 答：从这个几何体的正面和左面看，看到的图形的面积和是11平方厘米。 （3）答：要想看到的图形不变，可以放在1、2、3、5、6号小正方体的上面，一共有5种摆法。 26．龙龙在放学回家的路上，有一棵树挡住了他的部分视线。    （1）龙龙站在点A时能看到两个楼层，如果他继续往前走，看到的楼层数量有什么变化？ （2）龙龙走到点B时，他还能看到大楼吗？用画图的方法证实你的想法（    ）。 我发现：观测点越近，观测的范围越（    ），盲区越（    ）。 【答案】（1）图见详解； （2）不能；图见详解；小；大 【分析】（1）人离树越远，看到范围越大；人离树越近，看到的范围越小，据此解答； （2）将点A（B）与树顶连线并延长到楼层即可画出图形，接下来根据图形即可得出答案。 【详解】（1）答：龙龙站在点A能看到两个楼层，继续往前走，看到的楼层数量越来越少。 （2）答：龙龙走到点B时，他不能看到大楼。如图所示：    我发现：观测点越近，观测的范围越小，盲区越大。 【点睛】本题主要考查了观察者所处的位置和观察范围之间的关系。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 观察物体（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、从不同方向观察立体图形 2 1. 观察对象与观察方向 2 2. 核心结论 2 3. 正确观察的方法 2 4. 视图绘制要点 2 二、根据视图还原立体图形 2 1. 不同视图数量对应的确定性 2 2. 还原立体图形的通用步骤 2 3. 最多、最少个数问题 3 三、观察的范围 3 1. 基础概念 3 2. 影响观察范围的两大因素 3 观察点的高度 3 观察点与障碍物的距离 3 3. 生活常见应用 3 四、易错点总结 3 考点讲练 4 考点一：通过三视图会摆放立体图 4 考点二：通过三视图还原立体图 4 考点三：观察的范围（视野与盲区） 5 考点四：判断连续拍摄一组照片的先后顺序 5 综合训练 6 知识梳理 一、从不同方向观察立体图形 1. 观察对象与观察方向 本单元研究的是由若干个相同小正方体搭成的立体图形，通常从三个固定方向进行观察： 正面：从立体图形的正前方观察； 上面：从立体图形的正上方观察； 左面：从立体图形的正左方观察（也可观察右面，左右视图呈镜像关系）。 这三个方向观察到的平面图形，合称为立体图形的三视图。 2. 核心结论 从不同方向观察同一个立体图形，看到的形状可能相同，也可能不同； 从同一个方向观察不同的立体图形，看到的形状也可能完全相同。 3. 正确观察的方法 观察时视线要与被观察的面保持垂直，正对观察面； 只记录能直接看到的小正方形的数量和排列位置，被遮挡住的小正方体不用画出； 数小正方形时，按 “先数层数、再数列数” 的顺序，避免遗漏或重复。 4. 视图绘制要点 画出的平面图形只保留外轮廓和内部的小正方形分隔，不需要体现立体感，小正方形大小一致、对齐整齐。 二、根据视图还原立体图形 1. 不同视图数量对应的确定性 只给 1 个方向的视图：无法确定立体图形的形状，有无数种搭法，小正方体数量不唯一； 给 2 个方向的视图：搭法数量减少，但通常仍存在多种可能，小正方体数量有范围； 给完整的三视图（正面、上面、左面）：绝大多数情况下可以唯一确定立体图形的形状，小正方体的总个数固定。 2. 还原立体图形的通用步骤 定底层：先根据上面的视图，确定底层小正方体的行列布局，这是还原的基础； 定层数：再结合正面视图确定每一列的最高层数，结合左面视图确定每一行的最高层数； 验总数：逐层统计小正方体数量，最后验证是否符合所有视图的要求。 3. 最多、最少个数问题 当视图信息不完整时： 求最少个数：在符合视图的前提下，尽可能让上层小正方体共用同一列 / 同一行； 求最多个数：在符合视图的前提下，每一列 / 每一行都按最高层数摆放小正方体。 三、观察的范围 1. 基础概念 视点：观察者眼睛所在的位置，也就是视线的出发点； 视线：从视点出发，射向被观察物体的假想射线，视线是直的，不能转弯； 盲区：视线被障碍物遮挡后，观察者无法看到的区域，叫做盲区。 2. 影响观察范围的两大因素 观察点的高度 观察点越高，视线越过障碍物的能力越强，盲区越小，观察到的范围越大； 观察点越低，盲区越大，观察到的范围越小。 生活现象：站在楼顶比站在地面看到的景物更多，即 “站得高，看得远”。 观察点与障碍物的距离 观察点离障碍物越近，盲区越大，能看到的障碍物后方的范围越小； 观察点离障碍物越远，盲区越小，能看到的障碍物后方的范围越大。 生活现象：走到围墙根时，几乎看不到墙内的景物；离围墙越远，能看到的墙内范围越大。 3. 生活常见应用 路灯下影子的长短变化、登山望远、汽车后视镜视野、遮挡物后的视线判断等。 四、易错点总结 观察左面视图时混淆左右方向，误将右面视图当作左面视图。 还原立体图形时，漏数被遮挡的底层小正方体，导致总数算少。 误认为给出两个方向的视图就能唯一确定立体图形，忽略多种搭法的可能。 错误认为 “离物体越近，看到的范围越大”：离观察物体越近看到的物体越大，但离障碍物越近，可视的整体范围越小。 画视图时画出被遮挡的线条，不符合平面视图的规范。 考点讲练 考点一：通过三视图会摆放立体图 【典例精讲】一个用同样大的小正方体搭成的几何体，从正面看到的是，从左面看到的是，搭这个几何体最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【变式训练】．在几何体 中添上一个，若使几何体从左面看到的图形不变，有( )种摆法；若从上面看到的图形不变，有( )种摆法；若从正面看到的图形不变，有( )种摆法。（不改变原几何体中小正方体的位置，且添加后每相邻两个小正方体至少有一面重合） 【变式训练】几何体，在( )号位置上面放一个同样的小正方体，从前面看的图形是；拿走( )号小正方体，从前面看到的图形不变。 【变式训练】用若干个同样的小正方体摆了一个几何体，从前面和上面看到的图形都如图所示，摆这个几何体至少要用______个小正方体，最多可以用______个小正方体。 考点二：通过三视图还原立体图 【典例精讲】一个用小正方体摆成的立体图形。从正面、上面看到的都是，摆成这样的图形，最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【变式训练】根据下面从不同方向看到的图形判断，这个几何体最少是由( )个小正方体摆成的。 【变式训练】用同样的小正方体搭成一个几何体，从上面看和前面看到的图形如图所示。搭这个几何体最少要( )个小正方体，最多要( )个小正方体。 【变式训练】用相同的小正方体搭积木。 (1)如果所搭图形从上面、正面和左面看到的形状如图，这个图形是由( )块小正方体搭成的。 (2)如果所搭图形，从上面看到形状是，从左面看到形状是，搭成这样的立体图形最少需要( )块小正方体，最多需要( )块小正方体。（每个小正方体至少有1个面与其他小正方体相连） 考点三：观察的范围（视野与盲区） 【典例精讲】妈妈晚上在公园散步，她离路灯越来越近，影子会越来越( )。 【变式训练】在《登鹳雀楼》中“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼”告诉我们，站得越高，观察的范围就越( )。 【变式训练】中午，大树的影子( )一些；下午，大树的影子( )一些。（填“长”或“短”） 【变式训练】夜晚，当你把拳头向灯靠近时，拳头的影子越来越( )；夜晚路灯下，同样高的杆子，离路灯越近它的影子就越( )。 考点四：判断连续拍摄一组照片的先后顺序 【典例精讲】下面是在比赛的过程中摄影师为跳高运动员拍摄的照片，请你按时间的先后顺序给下面3张照片编号。 ( )        ( )        ( ) 【变式训练】乐乐登山看塔，从山脚爬到山腰，再登到山顶看到的景象如图，按照先后顺序排列是( )。 【变式训练】一辆汽车从小勇的面前经过，小勇拍摄了一组照片。（如下图） 上面三张照片按汽车被摄入镜头的先后排序是：_________。 【变式训练】小凯从点A出发，沿箭头方向行走，途中拍摄了下面的三张照片，拍摄这三张照片的先后顺序是( )、( )、( )。（填序号） 综合训练 1．一个几何体，从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个几何体，从前面、左面、上面看都是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 3．改变图中涂色小正方体的位置，使几何体从前面和左面看到的形状都不变，有（    ）个不同的位置可以选择。 A．4 B．4 C．5 D．6 4．将下图几何体中的①号小正方体拿掉，从（    ）面看到的形状发生了变化。 A．前 B．左 C．右 D．上 5．一个立体图形从上面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体。 A．4 B．5 C．6 D．7 6．一个几何体是用5个小正方体摆成的，从左面、上面、前面看到的图形分别是、、，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个由相同的小正方体搭成的几何体，从左面看，从上面看，搭成这个几何体最少需要( )个小正方体，最多需要( )个。 8．下图是一个立体图形从上面看到的形状，上面的数字表示这个位置上所用的正方体的个数。一共摆了( )个正方体，这个立体图形从左面看到的是( )。（填序号） 9．用同样的正方体搭立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，搭这个立体图形，最少需要( )个正方体，最多需要( )个正方体。 10．用棱长是1厘米的小正方体搭成一个立体模型，从正面看是，从左面看是，这个模型最多可以用( )个小正方体搭成，此时它的体积是( )立方厘米。 11．一个立体图形，从正面看到的图形是下面图1，从上面看到的图形是图2，这个立体图形最少由( )个小正方体组成，最多由( )个小正方体组成。 12．下面三幅图是小明分别从上面、前面、右面观察所得到的图形，那么桌子上一共放着( )只碗。 13．一个几何体是由相同的小正方体搭成的，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。这个几何体最多可以有( )个小正方体。 14．用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 15．用棱长2cm的小正方体搭成一个几何体，从上面、前面、左面看到的图形都相同如图。这个几何体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 16．一个面面相连的立体图形从正面看是，从左面看是，要摆成这样的立体图形最少要用______个小正方体，最多用______个小正方体。 17．画一画。分别画出从正面、上面和左面看到的立体图形的形状。 18．分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状。 19．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。请在表格中分别画出从这个几何体前面和左面看到的图形。 20．分别画出这组积木从前面和左面看到的图形。 21．下图是一个几何体从上面看到的图形，上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。请你画出这个几何体从前面和右面看到的图形。 22．下面的立体图形从上面、正面、左面看，各是什么形状？请画出来。（画出图形，并将所画图形涂上阴影。） 23．创意拼盘，“果”然有趣。某学校在劳动课上举行水果创意拼盘活动，小梦用正方体水果块（大小相同）摆成的组合体从前面和上面看都是，从左面看是。 (1)小梦拼摆这个水果组合体一共用了( )块水果块。 (2)如果在从上面看到的图形中用数字表示各位置上所用的水果块的数量，应该怎样标注？ 24．一个立体图形，从上面和正面看到的图形如下图所示，这个立体图形有多少个小立方体组成？ 25．如图是由9个棱长是1厘米的小正方体搭成的几何体。 (1)取走几号小正方体后，从上面和左面看到的图形都不变。 (2)从这个几何体的正面和左面看，看到的图形的面积和是多少？ (3)再增加1个相同的小正方体，使从上面看到的图形不变，有几种摆法？ 26．龙龙在放学回家的路上，有一棵树挡住了他的部分视线。    （1）龙龙站在点A时能看到两个楼层，如果他继续往前走，看到的楼层数量有什么变化？ （2）龙龙走到点B时，他还能看到大楼吗？用画图的方法证实你的想法（    ）。 我发现：观测点越近，观测的范围越（    ），盲区越（    ）。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $