山东青岛市即墨区2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题

2025—2026学年度第二学期教学质量检测 高一数学试题 2026.07 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．对于非零向量，，下列说法错误的是 A．若与平行，与平行，则与平行 B．若与共线，则（） C．若，则 D．若，则，的夹角为90° 3．在中，为的中点，记，，则 A． B． C． D． 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 A． B． C． D． 5．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 6．已知，，，是平面内四个点，满足，，则下列式子一定不成立的是 A． B． C． D． 7．如图，为了测量河对岸的塔高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 A． B． C． D． 8．已知正四面体的各顶点都在球的球面上，该正四面体内有一球，与该正四面体的四个面都相切，则与的表面积之比为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某科技公司推出了，型两款智能商用服务器，公司统计了某地区2025年前6个月这两款服务器月销售量（单位：万台），得到了下面的销售量的折线图，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是 A．型号服务器月销售量的极差比型号服务器月销售量的极差大 B．型号服务器月平均销售量比型号服务器月平均销售量大 C．型号服务器月销售量的上四分位数比型号服务器销售量的上四分位数大 D．型号服务器月销售量的方差比型号服务器月销售量的方差小 10．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则 A． B．面 C．二面角的平面角的正切值为2 D．动点是正方体表面上一点，若面，则动点的轨迹所围成区域的面积为 11．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，为的边上的高，则 A． B． C． D．的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知其中，，则________． 13．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为________． 14．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近点的三等分点，且，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：面面； （2）若，分别为线段，中点，求证：面． 16．（本小题15分） 某交管部门在某路段通过交通摄像系统随机拍摄了100辆正在行驶的汽车，并测算这些汽车的速度数据，整理测算数据得到如下频率分布直方图． （1）已知在内的样本数据的方差，在内的样本数据的方差，请估计这100个样本数据的方差；（每组数据的平均数可用矩形底边中点的横坐标代替） （2）为进一步了解车速较高的车辆的信息，已经从，两组数据中采用分层随机抽样的方法共抽取8个数据，现从这8个数据中随机抽取2个数据，求这两个数据是同一组的概率． 17．（本小题15分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，，点在线段上，，求的面积． 18．（本小题17分） 如图，三棱台中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，设与相交于点，，且平面； ①求三棱锥的体积； ②求与平面所成角的余弦值． 19．（本小题17分） 如图所示，设，是平面内夹角为（）的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，、，若，求的值； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角余弦值为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，点，分别为，中点，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题参考答案 2026.07 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C B B B D ABC AC AC 2、 填空题 12. 13. 14. 三、解答题 15. 证明（1）底面 ,, 面···················2分 ，为线段中点， 面····················4分 面，面面········6分 （2）连接，与交点为，连接 A B C D E P F N O 为各棱中点，底面为正方形 ， 为平行四边形，为中点 为中点，·················10分 面，面 面····················13分 16. 解：（1）内的样本数据的平均数 内的样本数据的平均数 总体平均数 ·······7分 （2）从两组中抽取的数据个数分别为个，分别设为和 实验的样本空间共个样本点····11分 两个数据是同一组事件共个样本点·········13分 所以·························15分 17. 解：（1）由正弦定理得 即 ····························7分 （2）因为是的平分线，， 又，由， 可得，即．①··········10分 由余弦定理可知，，即．②·········13分 由①②可知．所以， 又，则， 所以················15分 18.（1）因为平面平面 平面平面 ；面 C A1 B1 C1 A B D E 面·······················2分 面， ， 平面····················5分 （2）①连接 平面，平面，平面 ，，由因为 ················8分 因为三棱锥的体积 由（1）知面 ······················11分 ②作 由（1）知，， 面 面 就是与平面所成角···············15分 在中，，， 由余弦定理得··················17分 19.（1）解： ····················2分 ·······················5分 （2）在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ，·······8分 因为向量与的夹角为，可得， 解得；·······················10分 （3）在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即·······12分 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得，············15分 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.····················17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $