第二单元 圆（知识清单）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学“圆”单元知识清单系统梳理了圆的认识、周长、面积、扇形及组合图形等核心内容，构建了从概念本质（半径相等、对称性）到公式推导（化曲为直、极限思想）再到实际应用（井盖设计、铜镜修复）的递进式学习支架。 清单以“问题驱动—实验验证—文化渗透”组织知识体系，如通过车轮滚动实验理解半径相等特性，引用《墨经》“一中同长”深化概念，培养数学眼光与思维。题型分类覆盖基础计算到综合应用，标注易错点（如半圆周长含直径），设计“生活案例解析”（如圆形餐桌配转盘），助力学生自主探究，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

第二单元 圆 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：车轮为什么是圆的： 1、 圆的核心特征：半径相等 （1）定义理解：圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离就是半径。 （2）实际应用：当圆形的车轮在平面上滚动时，车轴（位于圆心）到地面的距离始终等于半径。因为半径长度不变，所以车轴到地面的高度保持不变，车辆行驶起来就非常平稳。 对比其他图形： （3）正方形/正多边形：中心到顶点的距离（长）与中心到边中点的距离（短）不相等。滚动时，中心的高度会忽高忽低，导致颠簸。 （4）椭圆：中心到边缘的距离也是时刻变化的，同样会导致颠簸。 2、圆的运动轨迹（摆线概念的初步感知） 通过动手实验，观察不同形状滚动时中心点（或特定点A）留下的痕迹： （1）圆滚动：圆心留下的痕迹是一条平行于地面的直线。这再次印证了圆滚动时高度不变的特性。 （2）正多边形滚动（如正方形、正六边形）：中心点留下的痕迹是波浪线（一段段圆弧组成的曲线）。边数越少，波浪起伏越大；边数越多，波浪越平缓。 3、极限思想的渗透 （1）发现规律：正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆。 （2）趋势推导：随着边数增加，滚动时中心点的起伏越来越小，行驶越来越平稳。当边数无限增加时，正多边形就变成了圆，波动也就消失了。 4、圆的对称性 虽然本课重点在于滚动特性，但也提及了圆的对称性作为辅助验证： 操作验证： 将圆对折，无论怎么折，两边都能完全重合。 结论： 这说明圆具有高度的对称性，这也是它区别于一般多边形的重要特征之一。 5、 数学探究方法 提出问题：车轮为什么是圆的？ 猜想与假设：可能是因为圆没有棱角，容易滚动。 实验验证：剪出不同图形，模拟车轮滚动，描出轨迹。 得出结论：圆因为半径相等，滚动平稳。 拓展延伸：研究边数更多的正多边形，体会极限思想。 知识点02：圆的认识（一）： 1、圆的本质特征 （1）公平性原理：在圆形队形中，每个人站在圆周上，目标（圆心）在中心。因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，所以这种站位对每个人都是公平的。 （2）古语解释：引用《墨经》中的“圆，一中同长也”。 “一中”指一个中心（圆心）。 “同长”指从中心到周边的距离（半径）都相等。 2、圆的各部分名称及符号 结合圆规画圆的过程，认识圆的三个关键要素： 圆心 (O )：圆规针尖固定的点，决定了圆的位置。通常用字母O表示。 半径 (r )：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定了圆的大小。通常用字母r表示。 直径 (d )：通过圆心并且两端都在圆上的线段。通常用字母d表示。 3、同圆内半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中： （1）数量关系：有无数条半径，也有无数条直径。 （2）长度关系： 所有的半径长度都相等。 所有的直径长度都相等。 直径的长度是半径的2倍。 （3）公式表示：d=2r；r=d÷2 4、圆规画圆的原理与步骤 （1）原理： 圆规两脚之间的距离保持不变，相当于固定了半径的长度；针尖固定不动，相当于固定了圆心。这完美体现了“定点（圆心）”和“定长（半径）”画圆的数学定义。 （2）决定因素：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小。 5、生活中的应用与拓展 （1）井盖问题： 井盖做成圆形，是因为圆的直径长度处处相等。无论怎么翻转，井盖的宽度（直径）都大于井口的宽度（略小于直径），这样井盖就不会掉进井里，保障安全。而方形井盖的对角线长于边长，容易掉落。 （2）水波纹： 石子投入水中，波纹向四周扩散的速度是一样的，因此形成的轨迹到中心点的距离相等，形成了圆形。 知识点03：圆的认识（二）： 1、圆的对称性 （1）轴对称图形判定：将圆沿直径对折，两边能完全重合，说明圆是轴对称图形。 （2）对称轴的数量：圆有无数条对称轴。 （3）对称轴的位置：每一条对称轴都是直径所在的直线。所有的对称轴都相交于圆心。 2、圆的旋转不变性 （1）圆的特性： 圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原图形完全重合。这是圆区别于其他正多边形（如正方形需旋转90度、等边三角形需旋转120度才能重合）的重要特征。 （2）应用理解： 这一特性解释了为什么车轮做成圆形行驶最平稳，以及为什么井盖做成圆形不会掉下去（从旋转角度看，无论怎么转，宽度即直径都不变）。 3、找圆心的方法 利用圆的对称性，可以通过折叠的方法找到圆心。 操作步骤： 把圆形纸片对折一次，得到一条折痕（直径）。 换个方向再对折一次，得到另一条折痕（直径）。 两条折痕的交点就是圆心。 原理： 两条直径的交点即为圆心。 4、认识扇形 （1）定义：由圆的两条半径和这两条半径所截的一段圆弧围成的图形叫做扇形。 （2）组成要素：扇形有一个角，角的顶点在圆心（圆心角）；扇形是圆的一部分。 （3）大小关系：在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形越大。 5、常见平面图形的对称轴总结 圆：无数条。 正方形：4条（两条对角线，两条对边中点连线）。 长方形：2条（两条对边中点连线）。 等边三角形：3条。 等腰三角形：1条。 等腰梯形：1条。 平行四边形：0条（一般平行四边形不是轴对称图形）。 知识点04：修复铜镜： 1、核心问题：如何确定圆心和半径 要复原一个残缺的圆，关键在于找到它的圆心和半径。只要确定了这两点，就能画出完整的圆。 2、复原圆的几种数学方法 （1）方法一：利用轴对称性（折纸法/作图法） 原理：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。两条直径的交点即为圆心。 操作： 在残片的圆弧上任取两点连线（弦），作这条弦的垂直平分线（或者如果是纸片可以直接对折），得到一条直径；再换两个点重复操作，得到另一条直径。两条直线的交点就是圆心O 。 适用性：只要有足够长的一段圆弧，能作出两条弦的垂直平分线即可。 （2）方法二：利用旋转不变性 原理：圆绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合。 操作：描出残片的边缘，然后将其绕着推测的中心点旋转，观察边缘是否能吻合。这种方法更多用于验证或直观感受，精确作图较难，但在计算机辅助设计中常用。 （3）方法三：利用圆与外切正方形的关系（妙想的方法） 原理：圆的外切正方形的对角线交点就是圆心，且正方形的边长等于圆的直径。 操作： 利用残片边缘的切线性质，画出圆的外切正方形（即画出四条与圆弧相切的直线，围成正方形）。 连接正方形的对角线。 对角线的交点即为圆心。 优势：即使残片很小，只要能大致判断出切线方向，就能通过外部几何关系锁定圆心。 3、判断残片能否复原的条件 （1）关键条件：残片必须包含一段圆弧。 （2）分析： 如果残片只包含圆内部的一部分（如三角形、多边形碎片），没有圆弧边缘，就无法确定原来的曲率（半径），因此无法复原。 只要残片边缘有一段圆弧，就可以通过“垂径定理”（作弦的中垂线）找到圆心，进而复原。 4、实际测量与应用 测量直径：在为圆桌配保护垫的问题中，需要知道圆桌的大小。实际上就是要测量圆的直径。 测量技巧：对于不能移动的物体（如大圆桌），可以用两块直角三角板夹住圆桌，测量两块三角板直角边之间的距离，这个距离就是直径。 5、数学文化与历史 铜镜历史：介绍了中国铜镜约有4000年的历史，具有极高的艺术和考古价值。 跨学科融合：将数学几何知识与历史文物修复相结合，体现了数学在文物保护中的实际应用价值。 知识点05：设计与欣赏： 1、 图案的构成分析（拆解思维） （1）基本元素：复杂的图案通常是由圆、半圆、圆弧（圆等）以及线段组合而成的。 （2）案例分析： 风车图： 由1个大圆和4个相同的小半圆组成。小半圆的直径通常是大圆的半径。 太极图： 由1个大圆和2个相同的中半圆（或者说是S形曲线分割）组成。 螺旋线/黄金分割图： 由一系列边长递增的正方形和对应的圆弧连接而成。 2、图案的形成原理（变换思维） （1）旋转：许多图案（如风车、花朵）是将一个基本图形绕中心点旋转一定角度（如90° 、60°）后重复得到的。 （2）平移：某些连续的花边图案是通过基本图形沿直线平移得到的。 （3）对称：利用轴对称性质，可以画出图案的一半，然后补全另一半。 3、利用圆规设计图案的步骤 （1）定基准： 先画出一个大圆或正方形网格作为辅助框架，确定圆心的位置。 （2）找圆心： 在辅助线上确定小圆或圆弧的圆心。例如，在大圆的半径中点处定圆心，可以画出相切的小半圆。 （3）画弧线： 保持圆规针尖固定，按照设计的轨迹画出圆弧。注意起笔和收笔的位置要准确衔接。 （4）擦除与美化： 最后擦去辅助线，保留轮廓，并可进行涂色装饰。 4、创意设计与极限思想 （1）创意设计： 鼓励学生利用简单的几何元素（如一个圆、三条线段）组合成有具体含义的图形（如人脸、时钟、交通标志等），培养发散性思维。 极限思想的渗透： 通过观察正方形不断旋转叠加，或者正多边形边数不断增加（如正六边形→正十二边形...），最终趋近于圆的过程。 这让学生直观感受到“曲”与“直”的辩证关系，即圆可以看作是正多边形边数无限增加时的极限状态。 5、数学与生活的联系 自然界中的圆：如鹦鹉螺的螺旋线，展示了数学在自然界中的美感。 文化中的圆：如太极图，体现了中国传统文化中的阴阳平衡思想。 艺术中的圆：心脏线等几何曲线在艺术设计中的应用。 知识点06：圆的周长： 1、圆周长的定义 （1）概念：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 （2）直观理解：车轮滚动一圈的长度，就是车轮的周长。 2、测量圆周长的方法（化曲为直） 由于圆的周长是曲线，无法直接用直尺测量，通常采用以下两种方法将曲线转化为直线进行测量： （1）滚动法： 在圆片边缘做一个标记，让圆片在直尺上滚动一周，标记点再次接触直尺时的距离即为周长。（注意：要在直尺上从0刻度或整数刻度开始滚动）。 （2）绕线法： 用一根细线绕圆片一周，剪去多余部分，拉直后测量线的长度。 3、圆周率 (π)的发现与意义 通过测量不同大小圆片的周长和直径，并计算它们的比值（周长÷直径），可以发现规律： 规律： 无论圆的大小如何，圆的周长总是直径的 3倍多一些。 圆周率定义： 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母 π (读作 pài) 表示。 数值特征：π是一个无限不循环小数。在计算时，通常取近似值 π≈3.14 。 历史背景补充（虽图中未详述但常考）：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人。 4、圆周长的计算公式 根据“圆的周长÷直径 =π ”，可以推导出圆周长的计算公式： 已知直径求周长：C=πd（其中 C 表示周长， d 表示直径） 已知半径求周长：因为d=2r ，所以公式也可以写成：C=2πr（其中r表示半径） 5、组合图形的周长计算 在处理复杂图形（如半圆、组合圆弧）时，需要明确周长的组成部分： 半圆的周长：不仅仅是圆周长的一半，还必须加上一条直径。 公式：或 组合图形： 需要分析图形边界由哪些圆弧和线段组成。例如教材中的第(2)题，其周长 = 大圆周长的一半 + 小圆的周长（或者是两个中圆周长的一半，视具体图形结构而定，关键是看围成图形的线条总和）。 6、数据处理与误差分析 误差来源： 测量过程中（如绕线松紧、读数视线、滚动打滑等）不可避免地会产生误差。 处理方法： 为了减小误差，可以采用多次测量求平均值的方法，或者选取多组数据寻找共同规律（即比值接近3.14）。 知识点07：圆的面积（一）： 1、 圆面积公式的推导过程 （1）转化思路： 将圆转化成以前学过的直线图形（如平行四边形、长方形）。 （2）操作步骤： 等分：把圆分成若干等份（例如8份、16份、32份……）。分的份数越多，每一份就越细。 拼组：将这些小扇形交错拼接起来。 逼近：随着等分份数的增加，拼成的图形越来越接近一个标准的平行四边形（如果分得无限细，甚至接近长方形）。 2、拼成图形与原圆的关系 （1）面积不变：拼成的平行四边形的面积 = 原来圆的面积。 （2）底的对应：平行四边形的底等于圆周长的一半。 即：底=C÷2=πr 高的对应： 平行四边形的高等于圆的半径。 即：高=r 3、圆的面积计算公式 根据平行四边形的面积公式推导圆的面积公式： 推导逻辑：平行四边形的面积=底×高 圆的面积=(πr)×r 最终公式： *S表示圆的面积。 *π表示圆周率（通常取3.14）。 *r表示圆的半径。 4、估算圆面积的方法 在无法精确计算或需要快速判断时，可以使用估算法： 数方格法： 在方格纸上画出圆，数出圆所占的方格数。 满格的算1格。 不满格的通常按半格算，或者通过割补法凑整。 细分方格法： 将大方格细分成更多的小方格，可以提高估算的精确度。 5、圆与外切/内接正方形的关系 通过观察图形对比，可以得出以下大小关系： 外切正方形： 圆外的正方形（边长等于直径2r），其面积大于圆的面积。 面积 = 内接正方形： 圆内的正方形（对角线等于直径2r），其面积小于圆的面积。 面积 =2r×r÷2×2=2r2 结论： 圆的面积介于 2r2和4r2之间（实际上约为3.14r2）。 知识点08：圆的面积（二）： 1、 圆面积计算的两种基本类型 （1）已知半径 (r)： 直接套用公式计算。公式： S=πr2 （2）已知周长 (C)： 需要先通过周长求出半径，再求面积。这是本课的难点和易错点。 第一步求半径： r=C÷π÷2 （或 r=C÷2π ） 第二步求面积：S=πr2 2、 圆的大小与半径的关系（重要规律） （1）直径/半径倍数关系： 如果大圆的直径（或半径）是小圆的n倍。 （2）面积倍数关系： 大圆的面积是小圆面积的n2倍。 3、圆面积公式的另一种推导方法（转化法拓展） 除了将圆转化为平行四边形/长方形外，还可以将圆转化为三角形来理解公式： （1）操作过程：将草绳编织的圆形垫片沿半径剪开，展开拉直，可以近似看作一个等腰三角形。 对应关系： 三角形的底≈圆的周长 (C=2πr )。 三角形的高 ≈ 圆的半径 (r )。 （2） 公式推导验证： ； 4、组合图形的面积计算 运动场模型： 由中间的一个长方形和两端的两个半圆（合起来是一个整圆）组成。 总面积 = 长方形面积 + 圆面积。 环形/阴影部分模型： 涉及大圆减小圆的问题。 题目示例：大圆半径等于小圆直径（即R=2r ），求阴影部分（大圆减小圆）。 计算方法： 题型1：圆的认识 【例1】下图，三个圆的圆心在同一条直线上。长方形的长是( )cm，长方形的面积是( )cm2。 【例2】根据直径和半径的关系填表。 半径（r） 10厘米 1.2米 0.16米 直径（d） 4分米 8.8厘米 题型2：圆的周长 【例3】张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 【例4】如图，把四个直径是8厘米的瓶子用包装绳捆一圈扎在一起。如果接头处用了20厘米长的包装绳，一共需要多少厘米长的包装绳？ 【例5】用一根丝带围成一个正方形，周长正好是37.68分米，如果用这根丝带围成一个圆，半径是( )分米。 【例6】根据半径、直径、周长的关系填表。 半径（r） 3分米 3.5米 直径（d） 8厘米 周长（C） 28.26米 6.28分米 【例7】下图是古代人磨面用的石碾。一个石碾的周长是4.71米，这个石碾的直径是多少米？ 【例8】七星湖公园里有一块圆形草地，周长是31.4米，工人要在草地的正中心安装一个自动喷水装置。现有射程是5米和10米的两种自动喷水装置，请你帮忙算一下，选射程是多少米的自动喷水装置合适？ 【例9】1元硬币的周长是7.85cm。1元硬币能否放进下面这样的储蓄罐？ 【例10】一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 题型3：圆的面积 【例11】某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的面积是多少平方米？（本题π取3计算） 【例12】用47.1米长的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【例13】若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 【例14】一个钟表的分针长10厘米，这根分针的尖端在钟面上转动一圈所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【例15】在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( )cm2。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【例16】张叔叔到蛋糕店想买一个直径12寸（寸是一种长度单位）的蛋糕，可是12寸的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径6寸的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 题型4：扇形的认识 【例17】先填空，然后在涂色部分是扇形的括号里画“√”。 扇形是由圆的两条（    ）和一段（    ）围成的。（    ）的角叫作圆心角。 【例18】如下图，三个圆大小相同，三个扇形的圆心角分别是多少度？ 【例19】图中有( )个扇形，每个扇形的圆心角的度数分别是( )，半径分别是( )。 【例20】如图，李师傅用4个圆铁皮剪下了4个扇形，每个圆的直径都是10厘米。这4个扇形的面积和是( )平方厘米。 题型5：组合图形 【例21】计算涂色部分的面积。（单位：cm） 【例22】先进行必要的测量（结果保留整厘米数），再计算图形中涂色部分的面积。 【例23】如下图，正方形的边长是4厘米，求涂色部分的面积。 【例24】一张圆形餐桌的直径为1.8米，在这张餐桌的中央放着一个圆形转盘。 （1）如果一人需要0.6米长的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？（结果保留整数） （2）如果转盘的边缘距离餐桌的边缘0.3米，那么剩下的桌面面积是多少？ 【例25】设计师小王给直径是20米的圆形花坛外围设计一条宽为2米的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果把这条小路辅上鹅卵石，每平方米大约需要50块这样的鹅卵石，一共大约需要多少块？ 【例26】如图，学校圆形花坛的直径是12米；在花坛的周围有一条2米宽的小路。小路的面积是多少平方米？ 【例27】求图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【例28】下图中每个小扇形的半径都是4厘米，求图中阴影部分面积的和。 【例29】按要求算一算。 求阴影部分的面积。 【例30】下图中左面是正方形，右面圆的半径是4cm，求大长方形的周长。 一、选择题 1．如图，从甲地到乙地有A、B两条路线可以走，这两条路线相比，（    ）。 A．同样长 B．A路线长 C．B路线长 2．用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 3．如图，一个直径为1的圆形铜钱，在直线上从“0”开始向右滚动一周后的位置大概在图（    ）箭头所指处。 A． B． C． D． 4．王小明想从下面的纸中挑选一张，剪出一个面积最大的半圆，他应该选择（    ）。 A．长、宽的长方形 B．长、宽的长方形 C．边长的正方形 D．长，宽的长方形 5．下面（    ）的阴影部分是扇形。 A． B． C． 6．在一个直径为16米的圆形花坛周围有一条宽为1米的小路，则这条小路的面积是（    ）平方米。 A． B． C． D． 7．用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆，（    ）的面积最大。 A．圆 B．长方形 C．正方形 8．如下图，甲、乙两部分的周长相比，（     ）。 A．甲部分的大 B．乙部分的大 C．一样大 9．下列说法正确的有（    ）。 ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆的直径是圆的对称轴。 ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。 ④圆的直径和半径都是一条直线。 ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如下图，大圆的周长与两个小圆周长的和比较，（     ）。 A．大圆的周长大于两个小圆周长的和 B．大圆的周长小于两个小圆周长的和 C．大圆的周长等于两个小圆周长的和 二、判断题 11．大圆的圆周率一定比小圆的圆周率大。( ) 12．一张圆形纸片对折一次后打开，再对折一次，两次折痕的交点就是圆心。( ) 13．两个圆的面积相等，它们的周长也一定相等。( ) 14．将一张圆形纸片对折两次，就能得到一个圆心角是90°的扇形。( ) 15．r＝2时，圆的周长与面积相等。( ) 16．在长6厘米、宽4厘米的长方形里画一个最大的半圆，半圆的半径是3厘米。( ) 17．用铁丝围成一个尽可能大的圆，铁丝越长，围成的圆就越大。( ) 18．周长相等的正方形、长方形和圆，其中圆的面积最大。( ) 19．一个扇形的半径是3分米，圆心角是120°，它的面积是3π平方分米。( ) 20．直径为10厘米的圆形纸片在直尺上滚动一周，圆心移动31.4厘米。( ) 三、填空题 21．用一张长20厘米，宽15厘米的长方形纸剪一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 22．如下图，长方形长8厘米，那么圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 23．如图，正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 24．同一个圆中，扇形的大小与( )有关。下图阴影部分就是一个扇形，它的半径是( )厘米，圆心角是( )度。 25．用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离应为( )厘米，所画圆的面积是( )平方厘米。 26．一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 27．画一个周长是9.42cm的圆，圆规两脚间的距离是( )cm。 28．要画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应定为( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 29．在一个长6厘米、宽5厘米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 30．一个圆形水池，直径400米，沿池边隔4米栽一棵树，一共能栽( )棵树． 31．把一个圆平均分成若干份，然后剪开拼成一个近似的长方形。已知这个长方形的周长比圆的周长多10cm，则原来圆的周长是( )cm，圆的面积是( )cm2。 32．如下图，把一个圆沿半径分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加了20厘米，圆的面积是 ( )平方厘米，长方形的周长是( )厘米。 四、计算题 33．计算下列图形的周长和面积。 34．求下图阴影部分的面积。（单位∶厘米） 35．仔细观察，算一算。（计算下面各图形中阴影部分的面积） 五、解答题 36．景秀小区里有一个圆形花坛，周长为100.48米，中间有一个底座为圆形的雕塑，底座半径为6米。这个花坛中除雕塑外的部分种满了太阳花，太阳花的种植面积是多少平方米？ 37．一张直径120厘米的圆桌，妈妈要给它配上一块圆形桌布，桌布的直径比圆桌的大40厘米，桌布的面积是多少平方厘米？ 38．如图，长方形和圆的面积相等，已知涂色部分的面积是37.68平方厘米。你能算出圆的面积吗？ 39．如图，把2根半径都是12厘米的圆木用铁丝捆在一起，为了更牢固捆了两周，接头处共用去铁丝14厘米。一共需要铁丝多少厘米？ 40．小红先画了一个半径4厘米的大圆，再画4个直径4厘米的小圆并设计成一个风车，最后给风车涂上颜色。 （1）涂色部分的面积是多少平方厘米？ （2）涂色部分的周长是多少厘米？ 41．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图所示）。一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳子长4米，那么这只羊无法吃到的草地面积是多少？（先在图上画一画，再解答。） 42．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 43．有一个水缸，缸壁厚5厘米，从里面量，缸口直径是50厘米，要制作一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属条（接头处不计），这圈金属条长多少厘米？ 44．如图，李大伯把一只羊拴在一块长方形草地顶点处的一棵大树上，拴羊的绳子长4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处的绳子忽略不计） 45．一根长6.28米的绳子正好能绕树干10圈。树干横截面的直径大约是多少米？ 46．一个水缸的缸口直径是0.75m，圆形木盖的直径比缸口直径大5cm．这个木盖的面积是多少平方厘米？如果沿木盖的边缘钉一圈铁皮，至少需要多少厘米长的铁皮？ 47．一个圆形花坛的直径是40米，要在它的外围建设一块5米宽的环形草坪。环形草坪的面积是多少平方米？ 48．公园里有一个周长31.4米的圆形草坪，预备在草坪正中央安装自动旋转喷灌装置。现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？ 49．王叔叔用一段长100米的篱笆围成一个羊圈。 （1）如果围成正方形羊圈，这个羊圈的面积是多少平方米？ （2）如果围成长30米的长方形羊圈，这个羊圈的面积是多少平方米？ （3）如果围成的羊圈是圆形，这个羊圈的面积是多少平方米？（用计算器计算，得数保留一位小数） （4）如果一面靠墙围成半圆形（如下图），这个羊圈的面积是多少平方米？（用计算器计算，得数保留一位小数） 50．石家庄市区东南部的世纪公园是一座大型城市文化休闲娱乐的综合性公园，周长约2.6千米．如果骑一辆车轮直径为70厘米的自行车环行，车轮每分钟转100圈，那么绕公园骑行一周需要多少分钟？(得数保留整数) 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：车轮为什么是圆的： 1、 圆的核心特征：半径相等 （1）定义理解：圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离就是半径。 （2）实际应用：当圆形的车轮在平面上滚动时，车轴（位于圆心）到地面的距离始终等于半径。因为半径长度不变，所以车轴到地面的高度保持不变，车辆行驶起来就非常平稳。 对比其他图形： （3）正方形/正多边形：中心到顶点的距离（长）与中心到边中点的距离（短）不相等。滚动时，中心的高度会忽高忽低，导致颠簸。 （4）椭圆：中心到边缘的距离也是时刻变化的，同样会导致颠簸。 2、圆的运动轨迹（摆线概念的初步感知） 通过动手实验，观察不同形状滚动时中心点（或特定点A）留下的痕迹： （1）圆滚动：圆心留下的痕迹是一条平行于地面的直线。这再次印证了圆滚动时高度不变的特性。 （2）正多边形滚动（如正方形、正六边形）：中心点留下的痕迹是波浪线（一段段圆弧组成的曲线）。边数越少，波浪起伏越大；边数越多，波浪越平缓。 3、极限思想的渗透 （1）发现规律：正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆。 （2）趋势推导：随着边数增加，滚动时中心点的起伏越来越小，行驶越来越平稳。当边数无限增加时，正多边形就变成了圆，波动也就消失了。 4、圆的对称性 虽然本课重点在于滚动特性，但也提及了圆的对称性作为辅助验证： 操作验证： 将圆对折，无论怎么折，两边都能完全重合。 结论： 这说明圆具有高度的对称性，这也是它区别于一般多边形的重要特征之一。 5、 数学探究方法 提出问题：车轮为什么是圆的？ 猜想与假设：可能是因为圆没有棱角，容易滚动。 实验验证：剪出不同图形，模拟车轮滚动，描出轨迹。 得出结论：圆因为半径相等，滚动平稳。 拓展延伸：研究边数更多的正多边形，体会极限思想。 知识点02：圆的认识（一）： 1、圆的本质特征 （1）公平性原理：在圆形队形中，每个人站在圆周上，目标（圆心）在中心。因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，所以这种站位对每个人都是公平的。 （2）古语解释：引用《墨经》中的“圆，一中同长也”。 “一中”指一个中心（圆心）。 “同长”指从中心到周边的距离（半径）都相等。 2、圆的各部分名称及符号 结合圆规画圆的过程，认识圆的三个关键要素： 圆心 (O )：圆规针尖固定的点，决定了圆的位置。通常用字母O表示。 半径 (r )：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定了圆的大小。通常用字母r表示。 直径 (d )：通过圆心并且两端都在圆上的线段。通常用字母d表示。 3、同圆内半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中： （1）数量关系：有无数条半径，也有无数条直径。 （2）长度关系： 所有的半径长度都相等。 所有的直径长度都相等。 直径的长度是半径的2倍。 （3）公式表示：d=2r；r=d÷2 4、圆规画圆的原理与步骤 （1）原理： 圆规两脚之间的距离保持不变，相当于固定了半径的长度；针尖固定不动，相当于固定了圆心。这完美体现了“定点（圆心）”和“定长（半径）”画圆的数学定义。 （2）决定因素：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小。 5、生活中的应用与拓展 （1）井盖问题： 井盖做成圆形，是因为圆的直径长度处处相等。无论怎么翻转，井盖的宽度（直径）都大于井口的宽度（略小于直径），这样井盖就不会掉进井里，保障安全。而方形井盖的对角线长于边长，容易掉落。 （2）水波纹： 石子投入水中，波纹向四周扩散的速度是一样的，因此形成的轨迹到中心点的距离相等，形成了圆形。 知识点03：圆的认识（二）： 1、圆的对称性 （1）轴对称图形判定：将圆沿直径对折，两边能完全重合，说明圆是轴对称图形。 （2）对称轴的数量：圆有无数条对称轴。 （3）对称轴的位置：每一条对称轴都是直径所在的直线。所有的对称轴都相交于圆心。 2、圆的旋转不变性 （1）圆的特性： 圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原图形完全重合。这是圆区别于其他正多边形（如正方形需旋转90度、等边三角形需旋转120度才能重合）的重要特征。 （2）应用理解： 这一特性解释了为什么车轮做成圆形行驶最平稳，以及为什么井盖做成圆形不会掉下去（从旋转角度看，无论怎么转，宽度即直径都不变）。 3、找圆心的方法 利用圆的对称性，可以通过折叠的方法找到圆心。 操作步骤： 把圆形纸片对折一次，得到一条折痕（直径）。 换个方向再对折一次，得到另一条折痕（直径）。 两条折痕的交点就是圆心。 原理： 两条直径的交点即为圆心。 4、认识扇形 （1）定义：由圆的两条半径和这两条半径所截的一段圆弧围成的图形叫做扇形。 （2）组成要素：扇形有一个角，角的顶点在圆心（圆心角）；扇形是圆的一部分。 （3）大小关系：在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形越大。 5、常见平面图形的对称轴总结 圆：无数条。 正方形：4条（两条对角线，两条对边中点连线）。 长方形：2条（两条对边中点连线）。 等边三角形：3条。 等腰三角形：1条。 等腰梯形：1条。 平行四边形：0条（一般平行四边形不是轴对称图形）。 知识点04：修复铜镜： 1、核心问题：如何确定圆心和半径 要复原一个残缺的圆，关键在于找到它的圆心和半径。只要确定了这两点，就能画出完整的圆。 2、复原圆的几种数学方法 （1）方法一：利用轴对称性（折纸法/作图法） 原理：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。两条直径的交点即为圆心。 操作： 在残片的圆弧上任取两点连线（弦），作这条弦的垂直平分线（或者如果是纸片可以直接对折），得到一条直径；再换两个点重复操作，得到另一条直径。两条直线的交点就是圆心O 。 适用性：只要有足够长的一段圆弧，能作出两条弦的垂直平分线即可。 （2）方法二：利用旋转不变性 原理：圆绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合。 操作：描出残片的边缘，然后将其绕着推测的中心点旋转，观察边缘是否能吻合。这种方法更多用于验证或直观感受，精确作图较难，但在计算机辅助设计中常用。 （3）方法三：利用圆与外切正方形的关系（妙想的方法） 原理：圆的外切正方形的对角线交点就是圆心，且正方形的边长等于圆的直径。 操作： 利用残片边缘的切线性质，画出圆的外切正方形（即画出四条与圆弧相切的直线，围成正方形）。 连接正方形的对角线。 对角线的交点即为圆心。 优势：即使残片很小，只要能大致判断出切线方向，就能通过外部几何关系锁定圆心。 3、判断残片能否复原的条件 （1）关键条件：残片必须包含一段圆弧。 （2）分析： 如果残片只包含圆内部的一部分（如三角形、多边形碎片），没有圆弧边缘，就无法确定原来的曲率（半径），因此无法复原。 只要残片边缘有一段圆弧，就可以通过“垂径定理”（作弦的中垂线）找到圆心，进而复原。 4、实际测量与应用 测量直径：在为圆桌配保护垫的问题中，需要知道圆桌的大小。实际上就是要测量圆的直径。 测量技巧：对于不能移动的物体（如大圆桌），可以用两块直角三角板夹住圆桌，测量两块三角板直角边之间的距离，这个距离就是直径。 5、数学文化与历史 铜镜历史：介绍了中国铜镜约有4000年的历史，具有极高的艺术和考古价值。 跨学科融合：将数学几何知识与历史文物修复相结合，体现了数学在文物保护中的实际应用价值。 知识点05：设计与欣赏： 1、 图案的构成分析（拆解思维） （1）基本元素：复杂的图案通常是由圆、半圆、圆弧（圆等）以及线段组合而成的。 （2）案例分析： 风车图： 由1个大圆和4个相同的小半圆组成。小半圆的直径通常是大圆的半径。 太极图： 由1个大圆和2个相同的中半圆（或者说是S形曲线分割）组成。 螺旋线/黄金分割图： 由一系列边长递增的正方形和对应的圆弧连接而成。 2、图案的形成原理（变换思维） （1）旋转：许多图案（如风车、花朵）是将一个基本图形绕中心点旋转一定角度（如90° 、60°）后重复得到的。 （2）平移：某些连续的花边图案是通过基本图形沿直线平移得到的。 （3）对称：利用轴对称性质，可以画出图案的一半，然后补全另一半。 3、利用圆规设计图案的步骤 （1）定基准： 先画出一个大圆或正方形网格作为辅助框架，确定圆心的位置。 （2）找圆心： 在辅助线上确定小圆或圆弧的圆心。例如，在大圆的半径中点处定圆心，可以画出相切的小半圆。 （3）画弧线： 保持圆规针尖固定，按照设计的轨迹画出圆弧。注意起笔和收笔的位置要准确衔接。 （4）擦除与美化： 最后擦去辅助线，保留轮廓，并可进行涂色装饰。 4、创意设计与极限思想 （1）创意设计： 鼓励学生利用简单的几何元素（如一个圆、三条线段）组合成有具体含义的图形（如人脸、时钟、交通标志等），培养发散性思维。 极限思想的渗透： 通过观察正方形不断旋转叠加，或者正多边形边数不断增加（如正六边形→正十二边形...），最终趋近于圆的过程。 这让学生直观感受到“曲”与“直”的辩证关系，即圆可以看作是正多边形边数无限增加时的极限状态。 5、数学与生活的联系 自然界中的圆：如鹦鹉螺的螺旋线，展示了数学在自然界中的美感。 文化中的圆：如太极图，体现了中国传统文化中的阴阳平衡思想。 艺术中的圆：心脏线等几何曲线在艺术设计中的应用。 知识点06：圆的周长： 1、圆周长的定义 （1）概念：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 （2）直观理解：车轮滚动一圈的长度，就是车轮的周长。 2、测量圆周长的方法（化曲为直） 由于圆的周长是曲线，无法直接用直尺测量，通常采用以下两种方法将曲线转化为直线进行测量： （1）滚动法： 在圆片边缘做一个标记，让圆片在直尺上滚动一周，标记点再次接触直尺时的距离即为周长。（注意：要在直尺上从0刻度或整数刻度开始滚动）。 （2）绕线法： 用一根细线绕圆片一周，剪去多余部分，拉直后测量线的长度。 3、圆周率 (π)的发现与意义 通过测量不同大小圆片的周长和直径，并计算它们的比值（周长÷直径），可以发现规律： 规律： 无论圆的大小如何，圆的周长总是直径的 3倍多一些。 圆周率定义： 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母 π (读作 pài) 表示。 数值特征：π是一个无限不循环小数。在计算时，通常取近似值 π≈3.14 。 历史背景补充（虽图中未详述但常考）：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人。 4、圆周长的计算公式 根据“圆的周长÷直径 =π ”，可以推导出圆周长的计算公式： 已知直径求周长：C=πd（其中 C 表示周长， d 表示直径） 已知半径求周长：因为d=2r ，所以公式也可以写成：C=2πr（其中r表示半径） 5、组合图形的周长计算 在处理复杂图形（如半圆、组合圆弧）时，需要明确周长的组成部分： 半圆的周长：不仅仅是圆周长的一半，还必须加上一条直径。 公式：或 组合图形： 需要分析图形边界由哪些圆弧和线段组成。例如教材中的第(2)题，其周长 = 大圆周长的一半 + 小圆的周长（或者是两个中圆周长的一半，视具体图形结构而定，关键是看围成图形的线条总和）。 6、数据处理与误差分析 误差来源： 测量过程中（如绕线松紧、读数视线、滚动打滑等）不可避免地会产生误差。 处理方法： 为了减小误差，可以采用多次测量求平均值的方法，或者选取多组数据寻找共同规律（即比值接近3.14）。 知识点07：圆的面积（一）： 1、 圆面积公式的推导过程 （1）转化思路： 将圆转化成以前学过的直线图形（如平行四边形、长方形）。 （2）操作步骤： 等分：把圆分成若干等份（例如8份、16份、32份……）。分的份数越多，每一份就越细。 拼组：将这些小扇形交错拼接起来。 逼近：随着等分份数的增加，拼成的图形越来越接近一个标准的平行四边形（如果分得无限细，甚至接近长方形）。 2、拼成图形与原圆的关系 （1）面积不变：拼成的平行四边形的面积 = 原来圆的面积。 （2）底的对应：平行四边形的底等于圆周长的一半。 即：底=C÷2=πr 高的对应： 平行四边形的高等于圆的半径。 即：高=r 3、圆的面积计算公式 根据平行四边形的面积公式推导圆的面积公式： 推导逻辑：平行四边形的面积=底×高 圆的面积=(πr)×r 最终公式： *S表示圆的面积。 *π表示圆周率（通常取3.14）。 *r表示圆的半径。 4、估算圆面积的方法 在无法精确计算或需要快速判断时，可以使用估算法： 数方格法： 在方格纸上画出圆，数出圆所占的方格数。 满格的算1格。 不满格的通常按半格算，或者通过割补法凑整。 细分方格法： 将大方格细分成更多的小方格，可以提高估算的精确度。 5、圆与外切/内接正方形的关系 通过观察图形对比，可以得出以下大小关系： 外切正方形： 圆外的正方形（边长等于直径2r），其面积大于圆的面积。 面积 = 内接正方形： 圆内的正方形（对角线等于直径2r），其面积小于圆的面积。 面积 =2r×r÷2×2=2r2 结论： 圆的面积介于 2r2和4r2之间（实际上约为3.14r2）。 知识点08：圆的面积（二）： 1、 圆面积计算的两种基本类型 （1）已知半径 (r)： 直接套用公式计算。公式： S=πr2 （2）已知周长 (C)： 需要先通过周长求出半径，再求面积。这是本课的难点和易错点。 第一步求半径： r=C÷π÷2 （或 r=C÷2π ） 第二步求面积：S=πr2 2、 圆的大小与半径的关系（重要规律） （1）直径/半径倍数关系： 如果大圆的直径（或半径）是小圆的n倍。 （2）面积倍数关系： 大圆的面积是小圆面积的n2倍。 3、圆面积公式的另一种推导方法（转化法拓展） 除了将圆转化为平行四边形/长方形外，还可以将圆转化为三角形来理解公式： （1）操作过程：将草绳编织的圆形垫片沿半径剪开，展开拉直，可以近似看作一个等腰三角形。 对应关系： 三角形的底≈圆的周长 (C=2πr )。 三角形的高 ≈ 圆的半径 (r )。 （2） 公式推导验证： ； 4、组合图形的面积计算 运动场模型： 由中间的一个长方形和两端的两个半圆（合起来是一个整圆）组成。 总面积 = 长方形面积 + 圆面积。 环形/阴影部分模型： 涉及大圆减小圆的问题。 题目示例：大圆半径等于小圆直径（即R=2r ），求阴影部分（大圆减小圆）。 计算方法： 题型1：圆的认识 【例1】下图，三个圆的圆心在同一条直线上。长方形的长是( )cm，长方形的面积是( )cm2。 【答案】 5.4 10.8 【分析】从图意可知：长方形的长等于3个圆的直径之和，即0.8×2＋1×2＋0.9×2＝5.4cm，长方形的宽等于以O2为圆心的圆的直径，即1×2＝2cm。根据长方形的面积＝长×宽，用5.4×2即可。 【详解】0.8×2＋1×2＋0.9×2 ＝1.6＋2＋1.8 ＝5.4（cm） 5.4×（1×2） ＝5.4×2 ＝10.8（cm2） 长方形的长是5.4cm，长方形的面积是10.8cm2。 【例2】根据直径和半径的关系填表。 半径（r） 10厘米 1.2米 0.16米 直径（d） 4分米 8.8厘米 【答案】见详解 【分析】在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍。据此用半径乘2可以求出直径，用直径除以2即可求出半径。 【详解】10×2＝20（厘米） 4÷2＝2（分米） 1.2×2＝2.4（米） 8.8÷2＝4.4（厘米） 0.16×2＝0.32（米） 填表如下： 半径（r） 10厘米 2分米 1.2米 4.4厘米 0.16米 直径（d） 20厘米 4分米 2.4米 8.8厘米 0.32米 题型2：圆的周长 【例3】张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 【答案】1228米 【分析】由图可知，跑道的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，“”把图中数据代入公式求出跑道的周长，再乘张爷爷跑的圈数，即可求得。 【详解】40×3.14＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 245.6×5＝1228（米） 答：张爷爷每天慢跑1228米。 【例4】如图，把四个直径是8厘米的瓶子用包装绳捆一圈扎在一起。如果接头处用了20厘米长的包装绳，一共需要多少厘米长的包装绳？ 【答案】77.12厘米 【分析】根据图示可知，包装绳的绳长等于4个瓶子直径的长度和加上一个圆的周长最后加上接头处的20厘米长即可，结合圆的周长公式：，代入数据，计算即可。 【详解】4×8＋3.14×8＋20 ＝32＋25.12＋20 ＝57.12＋20 ＝77.12（厘米） 答：一共需要77.12厘米长的包装绳。 【例5】用一根丝带围成一个正方形，周长正好是37.68分米，如果用这根丝带围成一个圆，半径是( )分米。 【答案】6 【分析】根据题意，丝带的长度正好是围成的圆的周长。圆周长＝2πr，将周长37.68分米除以3.14再除以2，即可求出圆的半径。 【详解】37.68÷3.14÷2＝6（分米） 所以，这个圆的半径是6分米。 【例6】根据半径、直径、周长的关系填表。 半径（r） 3分米 3.5米 直径（d） 8厘米 周长（C） 28.26米 6.28分米 【答案】见详解 【分析】根据直径＝半径×2，圆的周长：C＝2πr＝πd，分别计算即可。 【详解】直径：3×2＝6（分米）   周长：6×3.14＝18.84（分米） 半径：8÷2＝4（厘米）   周长：8×3.14＝25.12（厘米） 直径：28.26÷3.14＝9（米）   半径：9÷2＝4.5（米） 直径：3.5×2＝7（米）   周长：7×3.14＝21.98（米） 直径：6.28÷3.14＝2（分米）   半径：2÷2＝1（分米） 根据计算，填表如下： 半径（r） 3分米 4厘米 4.5米 3.5米 1分米 直径（d） 6分米 8厘米 9米 7米 2分米 周长（C） 18.84分米 25.12厘米 28.26米 21.98米 6.28分米 【例7】下图是古代人磨面用的石碾。一个石碾的周长是4.71米，这个石碾的直径是多少米？ 【答案】1.5米 【分析】根据圆的直径＝周长÷圆周率，列式解答即可。 【详解】4.71÷3.14＝1.5（米） 答：这个石碾的直径是1.5米。 【例8】七星湖公园里有一块圆形草地，周长是31.4米，工人要在草地的正中心安装一个自动喷水装置。现有射程是5米和10米的两种自动喷水装置，请你帮忙算一下，选射程是多少米的自动喷水装置合适？ 【答案】5米 【分析】圆周长＝2πr，那么将圆周长除以3.14再除以2，即可求出圆的半径。根据圆的半径，选出合适射程的自动喷水装置。 【详解】31.4÷3.14÷2＝5（米） 答：选射程是5米的自动喷水装置合适。 【例9】1元硬币的周长是7.85cm。1元硬币能否放进下面这样的储蓄罐？ 【答案】能放进 【分析】根据圆的周长公式C＝π×d，则d=C÷π，用7.85÷3.14即可计算出1元硬币的直径，再把硬币的直径与储蓄罐的直径进行比较即可。 【详解】7.85÷3.14＝2.5（厘米） 2.5＜2.6，则能放进。 答：1元硬币能放进这样的储蓄罐。 【例10】一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 【答案】502.4米 【分析】前轮是圆形的，根据圆周长＝2πr列式求出前轮的周长，再将周长乘8，求出每分钟前轮压过的路程。速度×时间＝路程，将前轮每分钟压过的路程乘20，即可求出20分钟的路程，即这条路约长多少米。 【详解】2×3.14×0.5×8×20 ＝3.14×8×20 ＝25.12×20 ＝502.4（米） 答：这条路约长502.4米。 题型3：圆的面积 【例11】某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的面积是多少平方米？（本题π取3计算） 【答案】30000平方米 【分析】根据总路程＝速度和×相遇时间，求出广场的周长，再根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（90＋110）×3 ＝200×3 ＝600（米） 600÷3÷2＝100（米） 3×1002 ＝3×10000 ＝30000（平方米） 答：这个圆形广场的面积是30000平方米。 【例12】用47.1米长的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】353.25平方米 【分析】篱笆长相当于圆周长的一半，养鸡场的形状是个半圆，根据圆的半径＝圆周长的一半÷圆周率，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式解答即可。 【详解】3.14×（47.1÷3.14）2÷2 ＝3.14×152÷2 ＝3.14×225÷2 ＝353.25（平方米） 答：这个养鸡场的面积是353.25平方米。 【例13】若每平方米草地每天能释放氧气15克，一块周长94.2米的圆形草地一天能释放氧气多少克？ 【答案】10597.5克 【分析】根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，先求出草地面积，草地面积×每平方米草地每天能释放氧气质量＝这块草地一天释放的氧气质量，据此列式解答。 【详解】3.14×（94.2÷3.14÷2）2×15 ＝3.14×152×15 ＝3.14×225×15 ＝10597.5（克） 答：一天能释放氧气10597.5克。 【例14】一个钟表的分针长10厘米，这根分针的尖端在钟面上转动一圈所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】圆的周长公式为C＝2πr，面积公式为S＝πr²，分针的长度就是圆的半径，分针转动一圈，尖端走过的路程就是圆的周长，扫过的面积就是圆的面积，将数据代入公式计算即可。 【详解】求分针尖端转动一圈所走的路程（即圆的周长）分针长10厘米，即圆的半径，r＝10厘米。圆的周长： C＝2πr ＝2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 求分针扫过的面积（即圆的面积）圆的面积： S＝πr² ＝3.14×10² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 转动一圈所走的路程是62.8厘米，分针扫过的面积是314平方厘米。 【例15】在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( )cm2。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】(1) 周长的一半 半径 (2) 25.12 200.96 (3) 5 78.5 【分析】（1）把圆转化成长方形，面积不变。长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。据此解答即可； （2）由（1）可知长方形的长等于圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝，结果除以2就得这个长方形的长；再根据圆的面积公式S＝，把数据代入公式即可解答； （3）由图可知，圆的周长比长方形的周长少10cm，即少了2条半径的长度，用10除以2即可求得半径长度，再根据圆的面积公式S＝求得圆的面积。 【详解】（1）拼成的长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。 （2）2×3.14×8× ＝6.28×8× ＝25.12（cm） 3.14× ＝3.14×64 ＝200.96（cm2） 则这个长方形的长是25.12cm，面积是200.96cm2。 （3）10÷2＝5（cm） 3.14×5×5＝78.5（cm2） 则圆的半径是5cm，面积是78.5cm2。 【点睛】此题考查利用转化思想来推导圆的面积公式。 【例16】张叔叔到蛋糕店想买一个直径12寸（寸是一种长度单位）的蛋糕，可是12寸的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径6寸的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 【答案】不同意；因为两个直径6寸的蛋糕面积小于一个直径12寸的蛋糕面积。 【分析】根据半径＝直径÷2、圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数据计算，求出一个直径为12寸的蛋糕的面积以及两个直径为6寸的蛋糕的面积和，再进行大小比较，据此解答。 【详解】3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方寸） 3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（平方寸） 113.04＞56.52，所以两个直径6寸的蛋糕面积小于一个直径12寸的蛋糕面积。 答：如果我是张叔叔，我不会同意这种换法。 题型4：扇形的认识 【例17】先填空，然后在涂色部分是扇形的括号里画“√”。 扇形是由圆的两条（    ）和一段（    ）围成的。（    ）的角叫作圆心角。 【答案】见详解 【分析】扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角。 【详解】根据分析可知，扇形是由圆的两条半径和一段弧围成的，顶点在圆心的角叫做圆心角。 【例18】如下图，三个圆大小相同，三个扇形的圆心角分别是多少度？ 【答案】三个扇形的圆心角都是60°。 【分析】观察图形可知，图中是三个等圆，则三角形的三角边的长度等于两条半径的和，所以三角形的三条边都相等，这个三角形是等边三角形；再根据等边三角形的特征进行解答。 【详解】因为图中的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°。所以三个扇形的圆心角都是60°。 【例19】图中有( )个扇形，每个扇形的圆心角的度数分别是( )，半径分别是( )。 【答案】 3 180°；180°；90° 2cm；2cm；4cm 【例20】如图，李师傅用4个圆铁皮剪下了4个扇形，每个圆的直径都是10厘米。这4个扇形的面积和是( )平方厘米。 【答案】78.5 【分析】通过观察知道这4个扇形的半径相等，又因为四边形的内角和为360度，所以这4个扇形拼在一起能得到直径是10厘米的圆，根据圆的面积，求出这4个扇形的面积和即可。 【详解】这4个扇形的面积和： （平方厘米） 所以这4个扇形的面积和是78.5平方厘米。 题型5：组合图形 【例21】计算涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】3.44cm2 【分析】观察图形可知，两个直径为4cm的半圆可以组成一个圆，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 涂色部分的面积是3.44cm2。 【例22】先进行必要的测量（结果保留整厘米数），再计算图形中涂色部分的面积。 【答案】4.71平方厘米 【分析】先测量，量出大半圆的直径和空白部分半圆的直径，涂色部分面积＝大半圆的面积－小半圆的面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】测量大半圆的直径是4厘米，空白半圆的直径是2厘米。 3.14×（4÷2）2÷2－3.14×（2÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2－3.14×12÷2 ＝3.14×4÷2－3.14×1÷2 ＝12.56÷2－3.14÷2 ＝6.28－1.57 ＝4.71（平方厘米） 涂色部分面积是4.71平方厘米。 【例23】如下图，正方形的边长是4厘米，求涂色部分的面积。 【答案】3.44平方厘米 【分析】观察可知，圆的直径与正方形的边长相等，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆形的面积，根据正方形面积和圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 涂色部分的面积是3.44平方厘米。 【例24】一张圆形餐桌的直径为1.8米，在这张餐桌的中央放着一个圆形转盘。 （1）如果一人需要0.6米长的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？（结果保留整数） （2）如果转盘的边缘距离餐桌的边缘0.3米，那么剩下的桌面面积是多少？ 【答案】（1）9人 （2）1.413平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出圆形桌面的周长，再用圆形桌面的周长除以0.6即可。 （2）剩下的面积实际上是一个环形，根据环形面积＝外圆面积－内圆面积计算即可解答。 【详解】（1）3.14×1.8÷0.6 ＝5.652÷0.6 ≈9（人） 答：这张餐桌大约能坐9人。 （2）3.14×[（1.8÷2）2－（1.8÷2－0.3）2] ＝3.14×[0.92－（0.9－0.3）2] ＝3.14×[0.81－0.36] ＝3.14×0.45 ＝1.413（平方米） 答：那么剩下的桌面面积是1.413平方米。 【例25】设计师小王给直径是20米的圆形花坛外围设计一条宽为2米的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果把这条小路辅上鹅卵石，每平方米大约需要50块这样的鹅卵石，一共大约需要多少块？ 【答案】138.16平方米；6908块 【分析】求小路的面积就是求外圆半径是（20÷2＋2）米，内圆半径是（20÷2）米的圆环的面积，将数据代入圆环的面积公式：S＝π（R2－r2）即可求出小路的面积；用小路的面积×每平方米需要的块数即可求出共大约需要多少块。 【详解】3.14×（20÷2＋2）2－3.14×（20÷2）2 ＝3.14×（10＋2）2－3.14×102 ＝3.14×122－3.14×102 ＝3.14×144－3.14×100 ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 138.16×50＝6908（块） 答：这条小路的面积是138.16平方米，一共大约需要6908块。 【例26】如图，学校圆形花坛的直径是12米；在花坛的周围有一条2米宽的小路。小路的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】求小路的面积即求圆环的面积，内圆半径是12÷2＝6（米），内圆半径加上小路的宽即外圆半径，根据环形面积公式S＝π（－），代入公式计算即可。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（－） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：小路的面积是87.92平方米。 【例27】求图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】70.88cm2 【分析】涂色部分的面积＝长方形面积－半圆面积，长方形面积＝长×宽，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，据此列式计算。 【详解】12×8－3.14×（8÷2）2÷2 ＝96－3.14×42÷2 ＝96－3.14×16÷2 ＝96－25.12 ＝70.88（cm2） 涂色部分的面积是70.88cm2。 【例28】下图中每个小扇形的半径都是4厘米，求图中阴影部分面积的和。 【答案】50.24平方厘米 【分析】由于图中阴影部分刚好是梯形的四个角，梯形的内角和是360°，而他们又是4个都是半径是4厘米的扇形，所以通过拼组就会得到一个半径4厘米的整圆，根据圆的面积＝πr2，代入数据解答即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 图中阴影部分面积的和是50.24平方厘米。 【例29】按要求算一算。 求阴影部分的面积。 【答案】39.25cm2 【分析】三角形的内角和是180°，由此可知三个小扇形的圆心角之和等于180°，圆的圆心角是360°，360°÷180°＝2，因此可得阴影部分的面积是半径为5cm圆面积的一半，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】阴影部分的面积： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 【例30】下图中左面是正方形，右面圆的半径是4cm，求大长方形的周长。 【答案】 80cm 【分析】根据在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，可求出圆的直径为：4×2＝8（cm），由上图可知，大长方形的宽相当于2条直径，所以大长方形的宽为：8×2＝16（cm），即正方形的边长为16cm，大长方形的长相当于“正方形的边长＋一条直径”，即8＋16＝24（cm），再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可求出大长方形的周长。 【详解】由分析可知： 直径：4×2＝8（cm） 宽：8×2＝16（cm） 长：16＋8＝24（cm） 周长： （16＋24）×2 ＝40×2 ＝80（cm） 所以大长方形的周长为80cm。 【点睛】本题考查圆的半径和直径的应用，注意：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 一、选择题 1．如图，从甲地到乙地有A、B两条路线可以走，这两条路线相比，（    ）。 A．同样长 B．A路线长 C．B路线长 【答案】A 【分析】由图知道小圆的直径是大圆的半径，利用圆的周长公式C＝2πr或πd分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可。 【详解】假设小圆的直径为d，则大圆的半径为d， A路线的长度为：2πd÷2＝πd， B路线的长度为：πd÷2×2＝πd； 所以A、B两条路的长度一样长； 故答案为：A。 【点睛】本题主要是灵活利用圆的周长公式解决问题。 2．用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 【答案】C 【分析】计算一个圆向前滚动一周的距离，实际就是求圆的周长；3米长的铁丝围成一个圆，圆的周长等于3米；所以圆在地上滚动一周所前进的距离是3米，据此解答。 【详解】根据分析可知，用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离正好是3米。 故答案为：C 3．如图，一个直径为1的圆形铜钱，在直线上从“0”开始向右滚动一周后的位置大概在图（    ）箭头所指处。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆形铜钱，在直线上从“0”开始向右滚动一周后的位置，就是圆形铜钱的周长。根据圆的周长C＝πd，代入数据求出圆的周长，再判断即可。 【详解】3.14×1＝3.14 此圆在直线上从“0”开始向右滚动一周后的位置大概在3到4之间并靠近3。 A．箭头所指处在2和3之间，不符合题意； B．箭头所指处在3和4之间，接近3，符合题意； C．箭头所指处在3和4之间，接近4，不符合题意； D．箭头指向4，不符合题意； 故答案为：B 4．王小明想从下面的纸中挑选一张，剪出一个面积最大的半圆，他应该选择（    ）。 A．长、宽的长方形 B．长、宽的长方形 C．边长的正方形 D．长，宽的长方形 【答案】B 【分析】在长方形中剪出最大的半圆，如果以长边为直径，则长方形的宽需大于或等于半径；如果宽小于半径，则要以长方形的宽为半径，才能剪出最大的半圆。确定了半圆的半径后，根据圆的面积＝πr2，半径越大，半圆的面积越大。 【详解】A．以长边为直径，则半径是6÷2＝3（厘米），等于长方形的宽，那么剪出的半圆是长方形中最大的半圆，半径是3厘米； B．以长边为直径，则半径是8÷2＝4（厘米），5厘米＞4厘米，那么剪出的半圆是长方形中最大的半圆，半径是4厘米； C．以正方形的边长为直径可以剪出最大的半圆，半径是4÷2＝2（厘米）； D．以长边为直径，则半径是7÷2＝3.5（厘米），6厘米＞3.5厘米，那么剪出的半圆是长方形中最大的半圆，半径是3.5厘米。 4＞3.5＞3＞2，则在长、宽的长方形中剪出的半圆最大。 故答案为：B 【点睛】在长方形中剪最大的半圆，一般长为直径，但长方形的宽需大于或等于半径。 5．下面（    ）的阴影部分是扇形。 A． B． C． 【答案】C 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形图形就是扇形。 【详解】如图所示： A、B图中都不是由半径和圆弧组成的，不是扇形； C图阴影部分是扇形。 故选：C。 【点睛】解答此题的关键在于需要理解扇形的定义。 6．在一个直径为16米的圆形花坛周围有一条宽为1米的小路，则这条小路的面积是（    ）平方米。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：小路的面积等于内圆直径是16米、外圆直径是（16＋1）米的环形的面积；带入圆环的面积公式计算即可。 【详解】π×（）2－π×（16÷2）2 ＝81π－64π ＝17π 故答案为：B 【点睛】本题主要考查圆环的面积公式，牢记公式是解题的关键。 7．用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆，（    ）的面积最大。 A．圆 B．长方形 C．正方形 【答案】A 【分析】根据题意可知，铁丝的长度是围成图形的周长，此题用举例法解答，先假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米； 则圆的面积为：π×（）2≈20.38（平方米） 正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米） 长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为5米、宽为3米，面积为：5×3＝15（平方米） 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16平方米；所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。 故答案为：A 【点睛】本题考查平面图形周长相等的情况下，比较面积的大小，注意：周长相等时，圆面积＞正方形面积＞长方形面积。 8．如下图，甲、乙两部分的周长相比，（     ）。 A．甲部分的大 B．乙部分的大 C．一样大 【答案】C 【分析】根据正方形的4条边都相等的特点，及观察可知，甲乙共用一条弧线，因此甲、乙的周长都等于正方形的两条边长加圆的周长，据此解答。 【详解】据分析可知，甲、乙的周长都等于正方形的两条边长加圆的周长，即甲、乙两部分的周长一样长。 故答案为：C 9．下列说法正确的有（    ）。 ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆的直径是圆的对称轴。 ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。 ④圆的直径和半径都是一条直线。 ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍，半径是直径的； 圆的直径和半径都是一条线段，圆的对称轴是一条直线； 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径； 据此逐项分析即可解答。 【详解】①圆的直径是半径的2倍。此说法错误，要加前提“在同圆或等圆中”； ②圆的直径是圆的对称轴。此说法错误，圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线； ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。此说法错误，如图，线段AB经过圆心O是圆的直径，线段CD不经过圆心O不是圆的直径； ④圆的直径和半径都是一条直线。此说法错误，圆的直径和半径都是一条线段； ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。此说法正确，在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍，即半径是直径的。 只有⑤说法是正确的。 故答案为：A 10．如下图，大圆的周长与两个小圆周长的和比较，（     ）。 A．大圆的周长大于两个小圆周长的和 B．大圆的周长小于两个小圆周长的和 C．大圆的周长等于两个小圆周长的和 【答案】C 【分析】观察图形发现两个小圆的直径之和等于大圆的直径，可以设这三个圆的直径从大到小分别是d1、d2、d3，且d2＋ d3＝ d1；然后根据圆的周长公式C＝πd，分别求出大圆的周长、两个小圆周长的和，再比较，得出结论。 【详解】设这三个圆的直径从大到小分别是d1、d2、d3，且d2＋ d3＝ d1； 大圆的周长：πd1； 两个小圆周长的和： πd2＋πd3 ＝π（d2＋ d3） ＝πd1 所以，大圆的周长等于两个小圆周长的和。 故答案为：C 二、判断题 11．大圆的圆周率一定比小圆的圆周率大。( ) 【答案】× 【分析】圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。 【详解】任意一个圆的周长都是它的直径的倍，所以不管是大圆还是小圆，圆周率都相同。 故答案为× 【点睛】掌握圆周率的意义是解答题目的关键。 12．一张圆形纸片对折一次后打开，再对折一次，两次折痕的交点就是圆心。( ) 【答案】√ 【分析】圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，无论折多少次，所有的折痕都一定相交于圆的中心。 【详解】如图： 一张圆形纸片对折一次后打开，再对折一次，两次折痕的交点就是圆心。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．两个圆的面积相等，它们的周长也一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】圆的面积与半径有关，当两个圆的面积相等时，它们的半径和直径都相等，所以周长也相等，据此解答即可。 【详解】两个圆的面积相等，它们的周长也一定相等，原题说法正确； 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握圆的周长和面积公式是解答本题的关键。 14．将一张圆形纸片对折两次，就能得到一个圆心角是90°的扇形。( ) 【答案】√ 【分析】一张圆形纸片的圆心角是一个360°的周角，对折一次，就是把周角平均分成了两个180°的平角，再对折一次即可得到4个90°的直角，据此判断。 【详解】如图： 将一张圆形纸片对折两次，得到的角的度数是90°，原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了周角、平角及直角的定义。 15．r＝2时，圆的周长与面积相等。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式是：C＝2πr，圆的面积公式是：S＝πr2；计量圆的周长用长度单位，计量圆的面积是用面积单位，因此无法比较大小。 【详解】圆的周长： 2×3.14×2 ＝4×3.14 ＝12.56（厘米） 面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 两个数相同，所带单位不同，因此无法比较大小。 故答案为：× 16．在长6厘米、宽4厘米的长方形里画一个最大的半圆，半圆的半径是3厘米。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，在一个长方形里画一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长，以此解答。 【详解】由于在一个长方形里画一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长，那么半圆的半径就等于6÷2＝3（厘米） 所以原题说法正确。 【点睛】此题关键在于理解长方形内最大的半圆的直径等于长方形的长。 17．用铁丝围成一个尽可能大的圆，铁丝越长，围成的圆就越大。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径；圆的周长与半径有关，当铁丝越长，圆的半径越大，所以围成的圆就越大，据此解答。 【详解】根据分析可知，用铁丝围成一个尽可能大的圆，铁丝越长，围成的圆就越大。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．周长相等的正方形、长方形和圆，其中圆的面积最大。( ) 【答案】√ 【分析】先假设正方形、长方形和圆的周长都是25.12，先根据长方形的长＝周长÷2－宽计算出长方形的长，再根据长方形的面积＝长×宽列式求出长方形的面积即可；根据正方形的边长＝周长÷4求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长列式求出正方形的面积；根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆的半径，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可，最后比较长方形、正方形、圆的面积并解答即可。 【详解】假设正方形、长方形和圆的周长都是25.12，长方形的宽是4。 25.12÷2－4 ＝12.56－4 ＝8.56 8.56×4＝34.24 25.12÷4＝6.28 6.28×6.28＝39.4384 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24 50.24＞39.4384＞34.24 所以周长相等的正方形、长方形和圆，其中圆的面积最大；原说法正确。 故答案为：√ 19．一个扇形的半径是3分米，圆心角是120°，它的面积是3π平方分米。( ) 【答案】√ 【分析】圆的圆心角＝360°，而这个扇形的圆心角＝120°，说明扇形的面积占圆形面积的，已知圆的半径r＝3分米，根据圆的面积＝π，求出圆的面积，再用圆形的面积乘，即可求出扇形的面积。 【详解】120÷360＝ r＝3分米 ＝π＝9π（平方分米） ＝＝×9π＝3π（平方分米） 故答案为：√ 【点睛】根据圆心角能够准确判断圆和扇形的关系是解决此题的关键，掌握圆的面积公式：＝π。 20．直径为10厘米的圆形纸片在直尺上滚动一周，圆心移动31.4厘米。( ) 【答案】√ 【分析】直径为10厘米的圆形纸片在直尺上滚动一周，则圆心移动的距离等于圆的周长，然后利用圆的周长公式计算即可。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了圆的周长公式：圆的周长＝πd，解题关键在于理解圆心移动的距离等于圆的周长。 三、填空题 21．用一张长20厘米，宽15厘米的长方形纸剪一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 51.4 157 【分析】在长20厘米，宽15厘米的长方形纸剪一个最大的半圆，只能以长方形的长为半圆的直径，再根据半圆的周长公式和面积公式求解。 【详解】半圆的半径：20÷2＝10（厘米） 半圆周长： ＝51.4（厘米） 半圆面积： ＝157（平方厘米） 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式。 22．如下图，长方形长8厘米，那么圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 【答案】 4 2 4 【分析】观察图形可知，长方形的宽等于圆的直径，长方形的长等于圆的直径的2倍，用长除以2，即可求出圆的直径；再根据r＝d÷2，求出圆的半径。 【详解】8÷2＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 那么圆的直径是4厘米，半径是2厘米，长方形的宽是4厘米。 23．如图，正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【分析】通过观察图形可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的面积公式：边长×边长，得出圆的半径，再根据圆的面积公式：求出面积即可。 【详解】正方形的面积是8平方厘米，即边长×边长＝8（厘米），也就是半径的平方为8厘米。圆的面积：3.14×8＝25.12（平方厘米） 【点睛】此题关键是理解正方形面积等于圆的半径平方，即可解答。 24．同一个圆中，扇形的大小与( )有关。下图阴影部分就是一个扇形，它的半径是( )厘米，圆心角是( )度。 【答案】 圆心角的大小 8 45 【分析】根据扇形面积公式可知，扇形面积的大小与圆心角大小有关；观察图形，找出扇形的半径，观察图形可知，这是个直角三角形，两条直角边相等，这是一个等腰直角三角形，两个底角相等，是45°其中底角是扇形圆心角，圆心角是45°，即可解答。 【详解】根据分析可知，同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。下图阴影部分就是一个扇形，它的半径是8厘米，圆心角是45度。 【点睛】本题考查扇形面积大小圆心角的关系，及等腰直角三角形的特点。 25．用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离应为( )厘米，所画圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 2 12.56 【分析】圆规两脚间的距离即为圆的半径，根据C＝2πr，则r＝C÷2÷π，再根据圆的面积S＝πr2，代入数据即可算出圆的面积。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 所以圆规两脚间的距离应为2厘米，所画圆的面积是12.56平方厘米。 26．一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2以及积的变化规律可得：一个圆的半径扩大到原来的n倍，这个圆的周长就扩大到原来的n倍，面积就扩大到原来的n2倍，据此解答。 【详解】由分析可得：一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式与面积公式的灵活运用。 27．画一个周长是9.42cm的圆，圆规两脚间的距离是( )cm。 【答案】1.5 【分析】求圆规两脚间的距离，就是求所画圆的半径；根据圆的半径r＝C÷π÷2，代入数据计算即可。 【详解】圆的半径： 9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（cm） 画一个周长是9.42cm的圆，圆规两脚间的距离是1.5cm。 【点睛】本题考查圆的周长公式的灵活运用，明确圆规两脚间的距离等于所画圆的半径。 28．要画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应定为( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 3 28.26 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离对应所画圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 圆规两脚间的距离是3厘米，面积是28.26平方厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 29．在一个长6厘米、宽5厘米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 15.7 19.625 【分析】根据题意，在一个长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，分别求出这个圆的周长和面积。 【详解】3.14×5＝15.7（厘米） 3.14×（5÷2）2 ＝3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 这个圆的周长是15.7厘米，面积是19.625平方厘米。 30．一个圆形水池，直径400米，沿池边隔4米栽一棵树，一共能栽( )棵树． 【答案】314 【分析】已知圆形水池直径为400米，根据圆的周长公式C＝πd（C表示周长，d表示直径，π取3.14），可计算出周长；因为是封闭图形，根据封闭型植树问题公式，树的总数等于间隔数；沿池边每隔4米栽一棵树，那么用总长度除以4米可求出间隔数。 【详解】400×3.14÷4 ＝1256÷4 ＝314（棵） 所以，一共能栽314棵树。 31．把一个圆平均分成若干份，然后剪开拼成一个近似的长方形。已知这个长方形的周长比圆的周长多10cm，则原来圆的周长是( )cm，圆的面积是( )cm2。 【答案】 31.4 78.5 【分析】根据题意，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么近似长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度，用增加的周长除以2，即可求出圆的半径；再根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出原来圆的周长和面积。 【详解】圆的半径：10÷2＝5（cm） 圆的周长：2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 则原来圆的周长是31.4cm，圆的面积是78.5cm2。 32．如下图，把一个圆沿半径分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加了20厘米，圆的面积是 ( )平方厘米，长方形的周长是( )厘米。 【答案】 314 82.8 【分析】根据题意得出圆的面积就是长方形的面积，由“把一个圆沿半径分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加了20厘米”，得出圆的半径是20÷2＝10厘米，由此根据圆的面积公式S＝πr2，列式求出圆的面积；得到长方形的周长是圆的周长再加上圆的2个半径。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 3.14×10×2＋10×2 ＝3.14×20＋20 ＝62.8＋20 ＝82.8（厘米） 所以，圆的面积是314平方厘米，长方形的周长是82.8厘米。 四、计算题 33．计算下列图形的周长和面积。 【答案】（1）251.2厘米，5024平方厘米 （2）254.2米，3106.5平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式C＝πd，代入数据解答即可；根据圆的面积公式S＝πr²，代入数据解答； （2）先根据圆的周长公式C＝πd求出直径是30米的圆的周长，再加上2个80米求出此图形的周长；根据圆的面积公式S＝πr²，求出直径是30米的圆的面积，再加上长是80米，宽是30米的长方形的面积即可。 【详解】（1）3.14×80＝251.2（厘米） 3.14×（80÷2）² ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） （2）3.14×30＋80×2 ＝94.2＋160 ＝254.2（米） 3.14×（30÷2）²＋80×30 ＝3.14×225＋2400 ＝3106.5（平方米） 34．求下图阴影部分的面积。（单位∶厘米） 【答案】25.75平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积；据此解答。 【详解】（5×2＋16）×5÷2－3.14×52÷2 ＝26×5÷2－3.14×25÷2 ＝65－39.25 ＝25.75（平方厘米） 35．仔细观察，算一算。（计算下面各图形中阴影部分的面积） 【答案】6.88dm2；57m2；30.375dm2 【分析】 ，阴影部分面积＝长是（4＋4）dm，宽是4dm的长方形面积－直径是4dm的圆的面积×2；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答； ，阴影部分面积＝半径是10m的圆的面积一半－底是（10＋10）m，高是10m的是三角形面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答； ，阴影部分面积＝长是（5＋5）dm，宽是5dm的长方形面积－直径是5dm的圆的面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】（4＋4）×4－3.14×（4÷2）2×2 ＝8×4－3.14×22×2 ＝32－3.14×4×2 ＝32－12.56×2 ＝32－25.12 ＝6.88（dm2） 3.14×102÷2－（10＋10）×10÷2 ＝3.14×100÷2－20×10÷2 ＝314÷2－200÷2 ＝157－100 ＝57（m2） （5＋5）×5－3.14×（5÷2）2 ＝10×5－3.14×2.52 ＝50－3.14×6.25 ＝50－19.625 ＝30.375（dm2） 阴影部分面积分别是：6.88dm2，57m2，30.375dm2。 五、解答题 36．景秀小区里有一个圆形花坛，周长为100.48米，中间有一个底座为圆形的雕塑，底座半径为6米。这个花坛中除雕塑外的部分种满了太阳花，太阳花的种植面积是多少平方米？ 【答案】690.8平方米 【分析】根据圆的周长＝，则周长÷3.14÷2，求出周长是100.48米圆形花坛的半径，再根据圆的面积＝，分别求出花坛和雕塑的面积，用花坛的面积减去雕塑的面积就是太阳花的种植面积。 【详解】100.48÷3.14÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 3.14×162－3.14×62 ＝3.14×（162－62） ＝3.14×（256－36） ＝3.14×220 ＝690.8（平方米） 答：太阳花的种植面积是690.8平方米。 37．一张直径120厘米的圆桌，妈妈要给它配上一块圆形桌布，桌布的直径比圆桌的大40厘米，桌布的面积是多少平方厘米？ 【答案】20096平方厘米 【分析】根据题意，桌布的直径比圆桌的大40厘米，已知圆桌直径120厘米，桌布直径：120＋40＝160厘米，进而求出桌布半径，根据圆的面积公式：即可解答。 【详解】桌布半径：（120＋40）÷2 ＝160÷2 ＝80（厘米） 桌布面积：3.14×80 ＝3.14×6400 ＝20096（平方厘米） 答：桌布的面积是20096平方厘米。 【点睛】此题关键在于理解圆桌的直径加上40厘米是桌布的直径，以此解答。 38．如图，长方形和圆的面积相等，已知涂色部分的面积是37.68平方厘米。你能算出圆的面积吗？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】根据观察图形可知，长方形和圆的面积相等，其中涂色部分的面积是37.68平方厘米，长方形和圆共用了的圆面积，即的圆面积等于阴影部分的面积，用37.68÷即可解答。 【详解】37.68÷＝37.68×＝50.24（平方厘米） 答：圆的面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题关键在于找出长方形和圆共用了的圆面积，即的圆面积等于阴影部分的面积，然后通过部分量除以该量所占总量的分率，求出总面积。 39．如图，把2根半径都是12厘米的圆木用铁丝捆在一起，为了更牢固捆了两周，接头处共用去铁丝14厘米。一共需要铁丝多少厘米？ 【答案】260.72厘米 【分析】通过分析图形可知，铁丝长度＝（两条直径＋一个圆周长）×2＋14，即通过圆的周长公式：，即可解答。 【详解】（3.14×12×2＋12×2×2）×2＋14 ＝（75.36＋48）×2＋14 ＝246.72＋14 ＝260.72（厘米） 答：一共需要铁丝260.72厘米。 【点睛】此题关键要注意铁丝捆了两周，需要组合周长乘2，最后加上接头长度。 40．小红先画了一个半径4厘米的大圆，再画4个直径4厘米的小圆并设计成一个风车，最后给风车涂上颜色。 （1）涂色部分的面积是多少平方厘米？ （2）涂色部分的周长是多少厘米？ 【答案】（1）25.12平方厘米；（2）41.12厘米 【分析】（1）通过观察图形可知，涂色部分面积等于两个小圆的面积，已知小圆直径4厘米，通过圆的面积公式：即可解答； （2）通过观察图形可知，涂色部分的周长等于两个小圆周长＋4条大圆的半径，已知大圆半径为4厘米，通过圆的周长公式：即可解答。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方厘米） 答：涂色部分的面积是25.12平方厘米。 （2）3.14×4×2＋4×4 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 答：涂色部分的周长是41.12厘米。 【点睛】此题关键在于理解组合图形的面积和周长由哪几部分组成，从而解答。 41．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图所示）。一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳子长4米，那么这只羊无法吃到的草地面积是多少？（先在图上画一画，再解答。） 【答案】；41.44平方米 【分析】根据题意可知，羊无法吃到的草地的面积，就是长方形的面积减去半径是4米的圆的面积的 ，据此列式解答即可。 【详解】画图如下： 9×6－3.14×42÷4 ＝54－12.56 ＝41.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是41.44平方米。 【点睛】此题考查了有关圆的组合图形的面积计算，理解题意，画出图形进而解决问题。 42．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 【答案】11304平方米 【分析】因为体育馆的围墙是圆形的，要求这座体育馆的占地面积是多少，应求出圆形体育馆的半径．根据题意，体育馆的周长是0.6×628＝376.8（米），然后求出半径，再运用圆的面积公式解答即可。 【详解】体育馆的周长： 0.6×628＝376.8（米） 体育馆的占地面积： 3.14×（376.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积是11304平方米。 【点睛】此题考查了运用圆的周长和面积公式解答实际问题的能力。 43．有一个水缸，缸壁厚5厘米，从里面量，缸口直径是50厘米，要制作一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属条（接头处不计），这圈金属条长多少厘米？ 【答案】2826平方厘米；188.4厘米 【分析】根据题意可知，缸壁厚5厘米．从里面量，缸口直径是50厘米。这个缸盖的半径等于缸口里面的半径加上缸壁的厚度，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（50÷2＋5）2 ＝3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 答：这个缸盖的面积是2826平方厘米。 3.14×（50＋5×2） ＝3.14×60 ＝188.4（厘米） 答：这个金属条长188.4厘米。 【点睛】此题主要考查圆的面积公式、周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 44．如图，李大伯把一只羊拴在一块长方形草地顶点处的一棵大树上，拴羊的绳子长4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处的绳子忽略不计） 【答案】12.56平方米 【分析】如下图，求这只羊最多可以吃到草的面积，就是求一个半径为4米的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方米） 答：这只羊最多可以吃到12.56平方米的草。 45．一根长6.28米的绳子正好能绕树干10圈。树干横截面的直径大约是多少米？ 【答案】0.2米 【分析】先用6.28÷10，求出树干的周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，即可解答。 【详解】6.28÷10÷3.14 ＝0.628÷3.14 ＝0.2（米） 答：树干横截面的直径大约是0.2米。 46．一个水缸的缸口直径是0.75m，圆形木盖的直径比缸口直径大5cm．这个木盖的面积是多少平方厘米？如果沿木盖的边缘钉一圈铁皮，至少需要多少厘米长的铁皮？ 【答案】5024平方厘米；251.2厘米 【详解】0.75×100+5=80(cm) 3.14×(80÷2)2＝5024(cm2) 3.14×80＝251.2 (cm) 答：这个木盖的面积是5024平方厘米；至少需要251.2厘米长的铁皮． 47．一个圆形花坛的直径是40米，要在它的外围建设一块5米宽的环形草坪。环形草坪的面积是多少平方米？ 【答案】706.5平方米 【分析】用花坛的直径÷2，先求出圆形花坛的半径，也就是小圆的半径，再用花坛的半径＋5米，求出花坛与环形草坪组成圆的半径，也就是大圆的半径，根据圆环的面积公式：S＝π×（R2－r2），代入数据，即可解答。 【详解】40÷2＋5 ＝20＋5 ＝25（米） 40÷2＝20（米） 3.14×（252－202） ＝3.14×（625－400） ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：环形草坪的面积是706.5平方米。 48．公园里有一个周长31.4米的圆形草坪，预备在草坪正中央安装自动旋转喷灌装置。现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？ 【答案】射程为5米的装置比较合适 【分析】喷灌装置喷射面为圆形，射程为圆的半径，根据草坪的周长计算出半径，再选择合适的。 【详解】 ＝5（米） 答：我认为选择射程为5米的装置较合适。 【点睛】根据圆的周长求圆的半径，特别注意射程是指圆的半径。 49．王叔叔用一段长100米的篱笆围成一个羊圈。 （1）如果围成正方形羊圈，这个羊圈的面积是多少平方米？ （2）如果围成长30米的长方形羊圈，这个羊圈的面积是多少平方米？ （3）如果围成的羊圈是圆形，这个羊圈的面积是多少平方米？（用计算器计算，得数保留一位小数） （4）如果一面靠墙围成半圆形（如下图），这个羊圈的面积是多少平方米？（用计算器计算，得数保留一位小数） 【答案】（1）625平方米 （2）600平方米 （3）796.8平方米 （4）1592.6平方米 【分析】（1）如果用一段长100米的篱笆围成一个正方形羊圈，那么篱笆的长度等于正方形的周长；根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形羊圈的边长；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个羊圈的面积。 （2）如果用一段长100米的篱笆围成一个长30米的长方形羊圈，那么篱笆的长度等于长方形的周长；根据长方形的宽＝周长÷2－长，求出长方形羊圈的宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出这个羊圈的面积。 （3）如果用一段长100米的篱笆围成一个圆形羊圈，那么篱笆的长度等于圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个羊圈的面积。 （4）如果用一段长100米的篱笆围成一个一面靠墙围成半圆形羊圈，那么篱笆的长度等于圆的周长的一半；根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以2，即是半圆的半径；再根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出这个羊圈的面积。 【详解】（1）100÷4＝25（米） 25×25＝625（平方米） 答：如果围成正方形羊圈，这个羊圈的面积是625平方米。 （2）100÷2－30 ＝50－30 ＝20（米） 30×20＝600（平方米） 答：如果围成长30米的长方形羊圈，这个羊圈的面积是600平方米。 （3）100÷3.14÷2≈15.93（米） 3.14×15.932 ＝3.14×253.7649 ≈796.8（平方米） 答：如果围成的羊圈是圆形，这个羊圈的面积是796.8平方米。 （4）100×2÷3.14÷2≈31.85（米） 3.14×31.852÷2 ＝3.14×1014.4225÷2 ≈1592.6（平方米） 答：如果一面靠墙围成半圆形，这个羊圈的面积是1592.6平方米。 【点睛】理解用篱笆围成平面图形，篱笆的长度等于这个图形的周长；灵活运用平面图形的周长公式、面积公式进行解答。 50．石家庄市区东南部的世纪公园是一座大型城市文化休闲娱乐的综合性公园，周长约2.6千米．如果骑一辆车轮直径为70厘米的自行车环行，车轮每分钟转100圈，那么绕公园骑行一周需要多少分钟？(得数保留整数) 【答案】12分钟 【详解】2.6千米＝260000厘米 260000÷(70×3.14×100)≈12(分钟) 答：绕公园骑行一周需要12分钟． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $