第二单元 三角形的再认识（知识清单）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学第二单元知识清单系统梳理了“三角形的再认识”内容，涵盖三角形内角和定理、三边关系及多边形内角和规律三大核心范畴，搭建了从“结论探索”到“方法验证”再到“实际应用”的递进式学习支架。 清单以“核心结论—探索方法—知识应用”三级结构呈现知识体系，如内角和通过测量、拼角、折角法验证培养几何直观，三边关系总结“较短边之和大于最长边”快捷判定法发展运算能力。题型分类设计（内角和计算、三边关系判断等）助力学生针对性练习，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第二单元 三角形的再认识 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：探索三角形的内角和： 1、核心结论 （1）三角形内角和定理：任意三角形的三个内角相加，和总是等于 180°。 （2）无关性：三角形内角和的大小与三角形的大小、形状（锐角、直角、钝角）无关。大三角形和小三角形的内角和都是180°。 2、探索与验证方法 （1）测量法（量一量）： 用量角器分别量出三角形三个角的度数，然后相加。 （2）拼角法（撕一撕/剪一剪）： 把三角形的三个角撕下来（或剪下来）。 将三个角的顶点重合，拼在一起。 （3）折角法（折一折）： 通过折叠的方式，将三个角向内折叠，也能拼成一个平角。 3、知识应用 （1）求未知角的度数： 已知两个角，求第三个角：180° −∠1−∠2=∠3 。 （2）判断三角形的形状： 算出第三个角后，根据角的大小判断它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。 （3）特殊三角形的计算： 等边三角形：三个角相等，每个角都是60°（180°÷3）。 等腰三角形：两个底角相等。如果知道顶角，可以用(180°−顶角)÷2求底角；如果知道底角，可以用180°−底角×2求顶角。 直角三角形： 两个锐角的和是90°。 知识点02：探索三角形的三边关系： 1、核心结论：三角形的三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边。 （2）通俗理解：并不是任意三条线段都能围成三角形。如果两条短线段加起来还没有最长的那条线段长（或者一样长），它们就无法在中间“碰头”，也就围不成三角形。 （3）几何原理：基于“两点之间线段最短”。从一点到另一点，直接走直线（第三边）肯定比绕道走另外两边要近。 2、判断三条线段能否围成三角形的方法 在实际解题中，不需要把三个不等式都列出来，有一个简便的判断技巧： 快捷判定法： 只要两条较短边的长度之和大于最长边，这三条线段就能围成三角形。 3、已知两边求第三边的范围 如果已知三角形的两条边长分别为a和b（假设 a>b ），那么第三边c的长度范围是： 公式：a−b<c<a+b 解释：第三边必须小于两边之和，同时必须大于两边之差。 4、尺规作图与特殊三角形 等边三角形： 以线段长为半径画弧，交点即为顶点。三边长度相等。 等腰三角形： 确定底边后，分别以底边两端点为圆心，以腰长为半径画弧，交点即为顶点。 5、实践操作中的发现 吸管/小棒实验： 通过折吸管或摆小棒，学生会发现，如果把一根吸管对折（即两边之和等于第三边），是无法拱起来形成三角形的，必须是“拱起来”的状态（两边之和大于第三边）才行。 知识点03：探索内角和的奥秘： 1、核心结论 四边形的内角和： 任意四边形（包括长方形、正方形、平行四边形、梯形及不规则四边形）的内角和都等于360°。 2、 探索与验证方法 （1）特殊图形推导法： 长方形和正方形的四个角都是直角（90° ）。 （2）测量求和法： 用量角器分别量出四边形四个内角的度数，然后相加。 （3）拼角法（剪拼）： 将四边形的四个角剪下来。 将四个角的顶点重合拼在一起。 现象： 四个角正好拼成一个周角（360°）。 （4）分割法（转化法 —— 最重要）： 操作： 连接四边形的一条对角线。 原理： 一条对角线将四边形分割成了 2个三角形。 推导： 因为每个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和=180°×2=360°。 3、数学思想方法：转化 新知转旧知： 将未知的“四边形内角和”问题，转化为已知的“三角形内角和”问题来解决。 化繁为简： 把复杂的图形拆解成简单的、熟悉的基本图形（三角形）。 4、拓展延伸（多边形内角和规律） 规律：从n边形的一个顶点出发，可以引出(n−3)条对角线，将多边形分成(n−2) 个三角形。 公式：n 边形的内角和 =(n−2)×180°。 五边形：(5−2)×180°=540° 六边形：(6−2)×180°=720° 题型1：三角形内角和 【例1】三角形的内角和是多少度？ 分析与解答： (1)拿出你剪下来的三角形，把3个角剪下来，再把这3个角拼在一起，你发现了什么？ 我们把3个角拼在一起，发现这3个角组成了一个( )角，所以，这个三角形的内角和是( )。 (2)拿出你剪下来的三角形，再按下面的方法折一折，你发现了什么？ 我们把∠1、∠2、∠3按上图折，发现这3个角组成了一个( )角，所以，这个三角形的内角和是( )。 【例2】求下列角的度数。    ∠C＝( )。 【例3】如图，被挡住的角是( )度，这个三角形是( )三角形。    【例4】一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这是一个( )角三角形。 【例5】求下列各角的度数。 ∠A＝( )°        ∠B＝( )°            ∠C＝( )° 【例6】一个三角形中，一个角是70°，另一个角是80°，第三个角的度数是( )°，这是一个( )三角形。 题型2：三角形三边关系 【例7】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是( )厘米。 【例8】如果一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【例9】如下图所示，把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在几厘米处？ 【例10】有两根长度分别为2cm和5cm的木棒。 （1）用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （2）用长度为1cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （3）要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【例11】刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 题型3：探索内角和的奥秘 【例12】根据三角形内角和，探究多边形的内角和。 (1)三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？小明想到了分割求和的方法（如图），根据他的方法，四边形内角和＝180°×( )＝( )°。 (2)五边形、六边形的内角和又是多少度？请你仿照小明求四边形内角和的方法，在下图中分别画一画，再算一算。          （    ）×（    ）＝（    ）°    （    ）×（    ）＝（    ）° (3)根据以上求四边形、五边形、六边形内角和时发现的规律，小明猜测八边形的内角和＝( )×( )＝( )°。 【例13】一个多边形可以分成4个三角形，这个多边形是( )边形，内角和是( )°。 【例14】一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 【例15】若一个多边形的内角和是720°，则它是一个( )边形。 【例16】三角形的内角和是( )°，平行四边形的内角和是( )°五边形的内角和是( )°。 一、选择题 1．下面四句话中，错误的是（    ）。 A．平行四边形的四条边一定相等 B．平行四边形的对边平行且相等 C．长方形是特殊的平行四边形 D．平行四边形对角一定相等 2．下面说法正确的有（    ）个。 ①一个三角形中，最大的角一定不小于60°。 ②把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和都是180°。 ③将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这时它们的形状变了，周长不变。 ④把一个平行四边形分成两个梯形，两个梯形的周长相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列选项中，不是同一个三角形的三个内角的是（    ）。 A．90°、43°、57° B．60°、60°、60° C．80°、20°、80° D．160°、10°、10° 4．以下各组小棒中，不能搭成三角形的是（    ）。 A．2cm、2cm、5cm B．3cm、3cm、3cm C．3cm、4cm、5cm D．4cm、2cm、5cm 5．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是（     ）三角形。   A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 6．一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个三角形的顶角是（    ）。 A．36° B．120° C．108° D．148° 7．足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为五边形，白皮为六边形。小明尝试用三角形内角和的知识探索五边形的内角和，下面四种方法中，错误的是（    ）。 A．用四边形的内角和加上三角形的内角和。 B．用5个三角形的内角和减去360°。 C．把2个四边形的内角和加起来。 D．把3个三角形的内角和加起来。 8．下面说法中，正确的有（    ）句。 ①用四舍五入法求出的近似数一定比原数大。 ②三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数。 ③五边形可以分为3个三角形，所以内角和可以用180°×3来计算。 ④大于0.1而小于0.2的两位小数有无数个。 A．1 B．2 C．3 D．4 9．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．以上都可能 10．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 11．在三角形ABC中，。三角形AB'C'是三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，并且。三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转了（    ）。 A．35° B．40° C．55° D．75° 12．一个三角形的三个内角不相等，最小的一个内角是45度，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角 13．下面说法正确的有（    ）个。 （1）用6cm、9cm、3cm长的三根小棒，可以拼成一个三角形 （2）长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算 （3）一瓶矿泉水的包装上标有净含量为560mL，是指瓶内水的体积就是560mL （4）正方形的周长和边长成正比例 A．1 B．2 C．3 D．4 14．柳州桥梁博物馆的展陈中有一个三角形钢结构桥梁模型，其中两条钢条分别长5分米和8分米，第三条钢条的长度取整分米数，最短是（    ）分米。 A．3 B．4 C．5 D．12 二、判断题 15．三角形的任意两边的和都大于第三边。( ) 16．三角形按边分为等腰三角形和等边三角形。( ) 17．在直角三角形中一个锐角是60度，另一个锐角是40度。( ) 18．自行车的车架是三角形，它为的是美观和骑起来舒服。( ) 19．在等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角一定是70°。( ) 20．一个大三角形和一个小三角形的三个内角和是不相等的。( ) 21．用下面的三根小棒能拼成一个三角形。( ) 22．等边三角形也可能是钝角三角形。( ) 23．长8.6厘米、8.6厘米、16厘米的三条线段可以围成一个等腰三角形。( ) 24．一个三角形中，其中两个角的度数分别是15°和85°，按角分，这是一个钝角三角形。( ) 三、填空题 25．一个三角形中，至少有( )个锐角，最多有( )个钝角，最多有( )个直角。 26．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，那么第三条边的长度是( )厘米。 27．把一根9分米长的铁丝剪成3段（每段都是整分米数），围成一个等边三角形，边长是( )分米；如果围成等腰三角形，它的一条腰长( )分米。 28．如图，已知AC＝BC，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 29．一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边的长度是12厘米，与它相邻的另一条边的长度是( )厘米。 30．三角形中，∠1的度数是110°，∠2的度数是35°，那么∠3的度数是______°，这个三角形是______三角形。 31．一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )米。 32．先填出下面各角的度数，再判断三角形的形状。（按角分） ∠1＝( )    ∠2＝( )    ∠3＝( )   ( )三角形  ( )三角形  ( )三角形 33．一个等腰梯形的周长为23厘米，上底和下底分别为5厘米和8厘米，这个等腰梯形的腰长是( )厘米；如果将这个梯形的上底增加3厘米，下底不变，会变成一个( )。 34．如果一个三角形两条边分别长6厘米和11厘米。如果第三条边的长度也为整数厘米数，第三条边的长度有( )种可能。 四、计算题 35．已知∠1＝28°，求∠2、∠3和∠4的度数。 36．算出下面和的度数。 五、解答题 37．一个等腰三角形的周长是30厘米，其中有一条边的长是12厘米，那么另外两条边的长各是多少厘米？ 38．求下边五边形的内角和。 39．做风筝。 （1）做一个等腰三角形风筝。它的一个顶角是80°，它的一个底角是多少度？ （2）做一个等腰三角形风筝，它的一腰长是6分米，它的底边长的取值范围应在多少厘米之间？你的根据是什么？（取整厘米数，只考虑能否做成的因素，不考虑其它因素） 40．一个四边形如何变成三角形呢？ 小明想到了一种方法，连接对点（如图所示），此时分成两个三角形。 （1）其中一个为等边三角形，一边长为2cm，请问其它两条边长和三个角分别为多少？ （2）另一个三角形中，已知最大角的度数是最小角的3倍，另外一个角的度数是最小角的2倍，你知道这个三角形每个角的度数吗？它是什么三角形？ 41．学校举行风筝比赛，李东做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是48°，其它两个角各是多少度？ 42．已知∠1＝95°，∠4＝137°，∠2、∠3的度数各是多少？ 43．一个三角形的两条边分别是7厘米和13厘米，那么第三条边的长最短是多少厘米？最长是多少厘米？（取整厘米数） 44．一个等腰三角形，淘气量一量它的两条相邻边，长度分别为5.2厘米和8厘米，这个三角形的周长是多少厘米呢？ 45．小明用一根铁丝刚好围成一个边长是15厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，三角形的边长是多少厘米？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：探索三角形的内角和： 1、核心结论 （1）三角形内角和定理：任意三角形的三个内角相加，和总是等于 180°。 （2）无关性：三角形内角和的大小与三角形的大小、形状（锐角、直角、钝角）无关。大三角形和小三角形的内角和都是180°。 2、探索与验证方法 （1）测量法（量一量）： 用量角器分别量出三角形三个角的度数，然后相加。 （2）拼角法（撕一撕/剪一剪）： 把三角形的三个角撕下来（或剪下来）。 将三个角的顶点重合，拼在一起。 （3）折角法（折一折）： 通过折叠的方式，将三个角向内折叠，也能拼成一个平角。 3、知识应用 （1）求未知角的度数： 已知两个角，求第三个角：180° −∠1−∠2=∠3 。 （2）判断三角形的形状： 算出第三个角后，根据角的大小判断它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。 （3）特殊三角形的计算： 等边三角形：三个角相等，每个角都是60°（180°÷3）。 等腰三角形：两个底角相等。如果知道顶角，可以用(180°−顶角)÷2求底角；如果知道底角，可以用180°−底角×2求顶角。 直角三角形： 两个锐角的和是90°。 知识点02：探索三角形的三边关系： 1、核心结论：三角形的三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边。 （2）通俗理解：并不是任意三条线段都能围成三角形。如果两条短线段加起来还没有最长的那条线段长（或者一样长），它们就无法在中间“碰头”，也就围不成三角形。 （3）几何原理：基于“两点之间线段最短”。从一点到另一点，直接走直线（第三边）肯定比绕道走另外两边要近。 2、判断三条线段能否围成三角形的方法 在实际解题中，不需要把三个不等式都列出来，有一个简便的判断技巧： 快捷判定法： 只要两条较短边的长度之和大于最长边，这三条线段就能围成三角形。 3、已知两边求第三边的范围 如果已知三角形的两条边长分别为a和b（假设 a>b ），那么第三边c的长度范围是： 公式：a−b<c<a+b 解释：第三边必须小于两边之和，同时必须大于两边之差。 4、尺规作图与特殊三角形 等边三角形： 以线段长为半径画弧，交点即为顶点。三边长度相等。 等腰三角形： 确定底边后，分别以底边两端点为圆心，以腰长为半径画弧，交点即为顶点。 5、实践操作中的发现 吸管/小棒实验： 通过折吸管或摆小棒，学生会发现，如果把一根吸管对折（即两边之和等于第三边），是无法拱起来形成三角形的，必须是“拱起来”的状态（两边之和大于第三边）才行。 知识点03：探索内角和的奥秘： 1、核心结论 四边形的内角和： 任意四边形（包括长方形、正方形、平行四边形、梯形及不规则四边形）的内角和都等于360°。 2、 探索与验证方法 （1）特殊图形推导法： 长方形和正方形的四个角都是直角（90° ）。 （2）测量求和法： 用量角器分别量出四边形四个内角的度数，然后相加。 （3）拼角法（剪拼）： 将四边形的四个角剪下来。 将四个角的顶点重合拼在一起。 现象： 四个角正好拼成一个周角（360°）。 （4）分割法（转化法 —— 最重要）： 操作： 连接四边形的一条对角线。 原理： 一条对角线将四边形分割成了 2个三角形。 推导： 因为每个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和=180°×2=360°。 3、数学思想方法：转化 新知转旧知： 将未知的“四边形内角和”问题，转化为已知的“三角形内角和”问题来解决。 化繁为简： 把复杂的图形拆解成简单的、熟悉的基本图形（三角形）。 4、拓展延伸（多边形内角和规律） 规律：从n边形的一个顶点出发，可以引出(n−3)条对角线，将多边形分成(n−2) 个三角形。 公式：n 边形的内角和 =(n−2)×180°。 五边形：(5−2)×180°=540° 六边形：(6−2)×180°=720° 题型1：三角形内角和 【例1】三角形的内角和是多少度？ 分析与解答： (1)拿出你剪下来的三角形，把3个角剪下来，再把这3个角拼在一起，你发现了什么？ 我们把3个角拼在一起，发现这3个角组成了一个( )角，所以，这个三角形的内角和是( )。 (2)拿出你剪下来的三角形，再按下面的方法折一折，你发现了什么？ 我们把∠1、∠2、∠3按上图折，发现这3个角组成了一个( )角，所以，这个三角形的内角和是( )。 【答案】(1) 平 180° (2) 平 180° 【分析】（1）将这3个内角拼在一起，可以拼成一个平角，平角是180°的角，所以三角形的内角和是180°。 （2）同样道理，将∠1、∠2、∠3这3个角拼在一起，也可以拼成一个平角，能得出三角形的内角和是180°。 【详解】（1）我们把3个角拼在一起，发现这3个角组成了一个平角，所以，这个三角形的内角和是180°。 （2）我们把∠1、∠2、∠3按上图折，发现这3个角组成了一个平角，所以，这个三角形的内角和是180°。 【点睛】本题考查三角形内角和的定理，需熟练掌握。 【例2】求下列角的度数。    ∠C＝( )。 【答案】122° 【分析】由图可知，∠A＝20°，∠B＝38°，三角形的内角和为180°，所以用三角形的内角和减去∠A和∠B的和，即可求解。 【详解】根据题意得： 180°－（20°＋38°） ＝180°－58° ＝122° 所以∠C＝122°。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和是180°是解答本题的关键。 【例3】如图，被挡住的角是( )度，这个三角形是( )三角形。    【答案】 70 锐角 【分析】三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的两个角即可求出第三个角，根据角的特征判断三角形的种类。代入数据计算即可。 【详解】180°－40°－70°＝140°－70°＝70° 被挡住的角是70度，三个角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题考查了三角形内角和的应用及三角形的分类方法。 【例4】一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这是一个( )角三角形。 【答案】 70 锐角 【分析】已知等腰三角形的三个内角度数和是180°，一个底角是55°，因为两个底角相等，则用180°减去2个55°即得到顶角的度数70°；再根据三个角都是锐角，确定这是一个锐角三角形。据此解答。 【详解】180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 所以，它的顶角是70°； 因为三个内角的度数为55°、55°、70°，都是锐角，所以这是一个锐角三角形。 【例5】求下列各角的度数。 ∠A＝( )°       ∠B＝( )°           ∠C＝( )° 【答案】 75 67 40 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。 第二个图形是一个直角三角形，最大的一个角是90°，用180°减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。 【详解】∠A＝180°－55°－50°＝75° ∠B＝180°－90°－23°＝67° ∠C＝180°－100°－40°＝40° 【例6】一个三角形中，一个角是70°，另一个角是80°，第三个角的度数是( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 30 锐角 【分析】180°减两个已知角的度数等于第三个角的度数，再根据三个角的度数判断是什么三角形，据此即可解答。 【详解】180°－80°－70° ＝100°－70° ＝30° 70°、80°、30°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和和三角形的分类知识的掌握。 题型2：三角形三边关系 【例7】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是( )厘米。 【答案】10 【分析】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；求第三条边最长是多少，那么先用4厘米加上7厘米，再减去1厘米即可；据此解答。 【详解】根据分析：4＋7－1＝10（厘米），所以第三条边最长是10厘米。 【例8】如果一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 15 5 【分析】三角形的三边关系为两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，6＋10＝16（厘米），10－6＝4（厘米），则第三条边的长度要小于16厘米，大于4厘米。 【详解】6＋10＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 4厘米＜第三边的长度＜16厘米 则一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是15厘米，最短是5厘米。 【例9】如下图所示，把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在几厘米处？ 【答案】4厘米 【分析】如果第一刀从中间位置剪开，第二刀不管如何剪，都会形成较短的两段之和等于最长的一段，不符合三角形任意两边之和大于第三边要求，所以第一刀不能从中间位置剪开，据此即可解答。 【详解】8÷2＝4（厘米），所以把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在4厘米处。 答：第一刀不能剪在4厘米处。 【例10】有两根长度分别为2cm和5cm的木棒。 （1）用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （2）用长度为1cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （3）要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【答案】（1）不能，因为两根木棒之和等于第三根木棒长度，所以无法构成三角形。 （2）不能，因为两根木棒之和小于第三根木棒长度，所以无法构成三角形。 （3）第三边的长度需要大于3cm，小于7cm。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】（1）2＋3＝5（cm） 答：不能，因为两根木棒之和等于第三根木棒长度。 （2）1＋2＝3（cm）＜5（cm） 答：不能，因为两根木棒之和小于第三根木棒长度。 （3）5－2＝3（cm）       5＋2＝7（cm） 答：第三边的长度需要大于3cm，小于7cm。 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 【例11】刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【详解】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 题型3：探索内角和的奥秘 【例12】根据三角形内角和，探究多边形的内角和。 (1)三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？小明想到了分割求和的方法（如图），根据他的方法，四边形内角和＝180°×( )＝( )°。 (2)五边形、六边形的内角和又是多少度？请你仿照小明求四边形内角和的方法，在下图中分别画一画，再算一算。          （    ）×（    ）＝（    ）°    （    ）×（    ）＝（    ）° (3)根据以上求四边形、五边形、六边形内角和时发现的规律，小明猜测八边形的内角和＝( )×( )＝( )°。 【答案】(1) 2 360 (2) （画法不唯一） 180；3；540；180；4；720 (3) 180° 6 1080 【分析】（1）将四边形分为2个三角形，1个三角形的内角和是180°，2个三角形的和就是2个180°，据此即可求出四边形的内角和。 （2）按照（1）中的方法，将五边形的一个顶点与它不相邻的两个顶点相连，即可将其分为3个三角形，180°乘3，即可求出这个五边形的内角和。再按照一样的方法将六边形正对的两个顶点相连，将其分为2个四边形，再将两个四边形的一组相对的顶点相连，即可将这个六边形分为4个三角形，180°乘4，即可求出这个六边形的内角和。 （3）五边形的内角和是180°乘3的积，六边形的内角和是180°乘4的积，即多边形的内角和＝180°×（边数－2），8减2得6，据此180°乘6，即可求出这个八边形的内角和。 【详解】（1）四边形内角和＝180°×2＝360°。 （2）图略 五边形内角和＝180°×3＝540° 六边形内角和＝180°×4＝720° （3）八边形的内角和＝180°×6＝1080°。 【例13】一个多边形可以分成4个三角形，这个多边形是( )边形，内角和是( )°。 【答案】 六 720 【分析】从一个多边形的一个顶点出发，画线段把它分成三角形，三角形的个数＝多边形的边数－2。三角形的内角和是180°，用180°乘三角形的个数即可算出多边形的内角和。 【详解】4＋2＝6 这个多边形是六边形。 180°×4＝720° 【例14】一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 【答案】 65 九 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去50°，再除以2，求出底角的度数即可。 多边形内角和公式为：内角和＝（边数－2）×180°，代入内角和1260°，用1260°除以180°，再加上2，求出多边形的边数即可。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是65°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是九边形。 【例15】若一个多边形的内角和是720°，则它是一个( )边形。 【答案】 六 【分析】多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°；用内角和除以180°再加上2就是多边形的边数。 【详解】720°÷180°＝4，4＋2＝6，所以一个多边形的内角和是720°时，它是六边形。 【例16】三角形的内角和是( )°，平行四边形的内角和是( )°五边形的内角和是( )°。 【答案】 180° 360° 540° 【分析】根据三角形的内角和是180°，推测平行四边形和五边形的内角和，只需看平行四边形和五边形分别由几个三角形组成，然后用180°去乘三角形的个数即可求出它们的内角和。 【详解】平行四边形可以分成两个三角形，五边形可以分成三个三角形，如下图所示： 180°×2＝360° 180°×3＝540° 三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°。 一、选择题 1．下面四句话中，错误的是（    ）。 A．平行四边形的四条边一定相等 B．平行四边形的对边平行且相等 C．长方形是特殊的平行四边形 D．平行四边形对角一定相等 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断各项正误即可。 【详解】A．根据平行四边形的性质可知，平行四边形对边相等，四条边不一定相等，原说法错误； B．根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，原说法正确； C．根据平行四边形的性质可知，长方形是特殊的平行四边形，原说法正确； D．根据平行四边形的性质可知，平行四边形对角一定相等，原说法正确。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是理解并掌握平行四边形的性质。 2．下面说法正确的有（    ）个。 ①一个三角形中，最大的角一定不小于60°。 ②把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和都是180°。 ③将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这时它们的形状变了，周长不变。 ④把一个平行四边形分成两个梯形，两个梯形的周长相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】三角形三个内角的度数和是180°，当三个角大小相等时，则每个角的度数是180°÷3＝60°；如果最大的角小于60°，则说明三个角的度数都小于60°，这时三个内角的度数和将小于180°，不符合三角形的特征； 任意三角形的内角和为180°； 平行四边形和长方形的周长就是围成它们的所有的线段的和，把一个长方形拉成一个平行四边形，在这个过程中，四条边长度不变，长方形和平行四边形的周长相等； 把一个平行四边形分成两个梯形，这两个梯形有一条公共边（分割线），长度相等。平行四边形的对边相等，但分割后，两个梯形其余各边的长度和不一定相等，因此两个梯形的周长不一定相等。 【详解】① 一个三角形中，最大的角一定不小于60°。说法正确； ②把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和都是180°。说法正确； ③将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这时它们的形状变了，周长不变。说法正确； ④把一个平行四边形分成两个梯形，两个梯形的周长相等。说法错误，正确的说法为：把一个平行四边形分成两个梯形，两个梯形的周长不一定相等。 说法正确的有①、②、③，共3个。 3．下列选项中，不是同一个三角形的三个内角的是（    ）。 A．90°、43°、57° B．60°、60°、60° C．80°、20°、80° D．160°、10°、10° 【答案】A 【分析】三角形的内角和等于。解题思路是分别计算各选项中三个角的度数之和，若和等于，则能组成三角形；若和不等于，则不能组成三角形。 【详解】A．90°＋43°＋57°＝190°，，不能组成三角形，即不是同一个三角形的三个内角； B．60°＋60°＋60°＝180°，，能组成三角形，即是同一个三角形的三个内角； C．80°＋20°＋80°＝180°，，能组成三角形，即是同一个三角形的三个内角； D．160°＋10°＋10°＝180°，，能组成三角形，即是同一个三角形的三个内角。 4．以下各组小棒中，不能搭成三角形的是（    ）。 A．2cm、2cm、5cm B．3cm、3cm、3cm C．3cm、4cm、5cm D．4cm、2cm、5cm 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。若较短两边之和大于最长边，则能围成三角形；若较短两边之和小于或等于最长边，则不能围成三角形。 【详解】A．两条较短边长度为和，最长边长度为。因为，，即较短两边之和小于最长边，不能搭成三角形，此选项正确； B．三条边长度均为。因为，，即较短两边之和大于最长边，能搭成三角形，此选项错误； C．两条较短边长度为和，最长边长度为。因为，，即较短两边之和大于最长边，能搭成三角形，此选项错误； D．两条较短边长度为和，最长边长度为。因为，，即较短两边之和大于最长边，能搭成三角形，此选项错误。 5．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是（     ）三角形。   A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 【答案】A 【分析】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和－已知两个内角的和＝第三个内角，然后根据3个内角的大小关系判断是什么三角形。 【详解】180°－（46°＋67°） ＝180°－113° ＝67° 67°＝67° 这个三角形是等腰三角形. 故答案为：A. 6．一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个三角形的顶角是（    ）。 A．36° B．120° C．108° D．148° 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形两底角相等，而顶角又是底角的3倍，所以180°为底角的5倍，180°除以5即可求出底角的度数，再给底角的度数乘3即可求出顶角的度数。 【详解】180°÷（3＋1＋1） ＝180°÷5 ＝36° 36°×3＝108° 所以，这个三角形的顶角是108°。 故答案为：C 【点睛】活用较小的数＝和÷（倍数＋1），来求底角。 7．足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为五边形，白皮为六边形。小明尝试用三角形内角和的知识探索五边形的内角和，下面四种方法中，错误的是（    ）。 A．用四边形的内角和加上三角形的内角和。 B．用5个三角形的内角和减去360°。 C．把2个四边形的内角和加起来。 D．把3个三角形的内角和加起来。 【答案】C 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，把五边形分成三角形和四边形的形式，计算出五边形的内角和，逐项分析即可。 【详解】A．将五边形分成1个四边形＋1个三角形，内角和为四边形的内角和加上三角形的内角和，方法正确。 B．从五边形内部一点连接5个顶点，得到5个三角形，内角和为5个三角形的内角和减去360°，方法正确。 C．将五边形分成2个四边形，直接相加两个四边形的内角和（分割线在五边形边上的端点多算了1个平角），方法错误。 D．从五边形一个顶点引对角线，分成3个三角形，内角和为3个三角形的内角和加起来，方法正确。 8．下面说法中，正确的有（    ）句。 ①用四舍五入法求出的近似数一定比原数大。 ②三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数。 ③五边形可以分为3个三角形，所以内角和可以用180°×3来计算。 ④大于0.1而小于0.2的两位小数有无数个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①四舍五入法求近似数需要看需要保留位数的后一位，如果后一位是0－4，将后面的数舍去，前面的数字保持不变，如果后一位是5－9，需要将后面的数舍去，保留部分的最后一位数字＋1； ②求出三位数乘两位数的最大和最小的数，此时乘积肯定位于两数之间； ③将五边形分割为3个三角形，一个三角形的内角和是180°，求五边形的内角和将180°×3即可； ④两位小数是指小数点后有两位数字的小数。大于0.1而小于0.2的两位小数，其整数部分为0，十分位为1，百分位可以是1到9的任意整数。因此，符合条件的两位小数只有9个，并非无数个。 【详解】① 用四舍五入法求近似数，如果是“四舍”，近似数比原数小；如果是“五入”，近似数比原数大。所以近似数不一定比原数大。此选项错误； ②三位数乘两位数最小结果：100×10＝1000，积是四位数， 三位数乘两位数最大结果：999×99＝98901，积是五位数，所以三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数。此选项正确； ③ 从五边形的一个顶点出发，可以将五边形分成 3 个三角形，三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。此选项正确； ④ 大于0.1而小于0.2的两位小数有：0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、0.19，共9个，不是无数个。此选项错误。 综上所述，正确的说法有②和③，共 2 句。 9．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．以上都可能 【答案】B 【分析】多边形内角和公式是内角和＝（边数－2）×180°，先用内角和除以180，再加2求出边数。 【详解】900÷180＝5 5＋2＝7 所以，这是个七边形。 10．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，据此解答即可。 【详解】密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即。 A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； B．四边形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此四边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； D．正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，不能整除，因此正五边形不可以单独进行密铺；不能选，此选项正确。 11．在三角形ABC中，。三角形AB'C'是三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，并且。三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转了（    ）。 A．35° B．40° C．55° D．75° 【答案】D 【分析】三角形内角和为180°，已知∠B＝90°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－90°－55°＝35°，旋转前后对应角相等，所以∠B′AC′＝∠BAC＝35°；旋转角度就是三角形绕点A旋转的角度，等于AB旋转到对应边AB′的夹角，即∠BAB′的度数，∠BAB′＝∠B′AC－∠BAC＝110°－35°＝75°。 【详解】∠BAC＝180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠B′AC′＝∠BAC＝35° ∠BAB′＝∠B′AC－∠BAC ＝110°－35° ＝75° 所以三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转了75°。 12．一个三角形的三个内角不相等，最小的一个内角是45度，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角 【答案】A 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。三角形的内角和为180°，据此解答。 【详解】由题意得，三角形最小的一个内角是45°，那么第二大的内角的度数应该比45°大。45°＋45°＝90°，即较小的两个角的度数之和比90°大。180°－90°＝90°，那么第三个角的度数就小于90°。所以这个三角形的三个内角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。 13．下面说法正确的有（    ）个。 （1）用6cm、9cm、3cm长的三根小棒，可以拼成一个三角形 （2）长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算 （3）一瓶矿泉水的包装上标有净含量为560mL，是指瓶内水的体积就是560mL （4）正方形的周长和边长成正比例 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于三角形三边关系，要明确任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；对于体积公式，要明确长方体、正方体和圆柱体积的计算方法；对于净含量，要知道它指的是除去包装容器和其他包装材料后内装商品的量；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。根据相关定义和定理逐一判断四个说法的正误，统计正确的个数后选择对应的选项。 【详解】（1）根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边。因为，两边之和等于第三边，不满足大于第三边的条件，所以不能拼成一个三角形，此说法错误； （2）长方体、正方体统称为棱柱，圆柱也是柱体。柱体的体积统一计算公式为：体积＝底面积×高，用字母表示为。所以长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算，此说法正确； （3）净含量是指除去包装容器和其他包装材料后内装商品的量。对于液体商品，净含量通常指体积。所以包装上标有净含量为，是指瓶内水的体积就是，此说法正确； （4）正方形的周长公式为：周长＝边长×4。则（一定）。根据正比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，因为正方形周长与边长的比值是4，是一定的，所以正方形的周长和边长成正比例。此说法正确。 综上所述，说法正确的有（2）、（3）、（4），共3个。 14．柳州桥梁博物馆的展陈中有一个三角形钢结构桥梁模型，其中两条钢条分别长5分米和8分米，第三条钢条的长度取整分米数，最短是（    ）分米。 A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过题目中已知两条边的和与差确定第三条边的取值范围，且还知道第三条钢条的长度取整分米数，据此确定第三条边最短的长度。 【详解】（分米） 则第三条边的长度比13分米小。 （分米） 则第三条边的长度比3分米大。 综上，第三条边的长度大于3分米，且小于13分米。 比3大且比13小的整数有4、5、6、7、8、9、10、11、12，其中最小的是4。 所以第三条边最短是4分米。 二、判断题 15．三角形的任意两边的和都大于第三边。( ) 【答案】√ 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答。 【详解】根据分析：三角形的任意两边的和都大于第三边，这个说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。 16．三角形按边分为等腰三角形和等边三角形。( ) 【答案】× 【详解】三角形按边分为：三角形分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。三条边不相等的叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。原题说法错误。 故答案为：× 17．在直角三角形中一个锐角是60度，另一个锐角是40度。( ) 【答案】× 【分析】三角形的内角和＝180°，直角三角形其中一个角是直角是90°，把三个角的度数相加，看是否等于180度即可。 【详解】90°＋60°＋40°＝150°＋40°＝190°≠180°，所以判断错误。 【点睛】此题考查三角形内角的以及直角三角形的度数特点。 18．自行车的车架是三角形，它为的是美观和骑起来舒服。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形具有稳定性，解答此题即可。 【详解】自行车的车架是三角形，是利用三角形的稳定性特点，它为的是稳固； 所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握三角形的特性，是解答此题的关键。 19．在等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角一定是70°。( ) 【答案】× 【分析】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立。 【详解】分情况讨论： （1）若等腰三角形的顶角为40°时， 另外两个内角：（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° （2）若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°， 顶角：180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 这个等腰三角形另外两个角分别是70°、70°或40°、100°；所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键。 20．一个大三角形和一个小三角形的三个内角和是不相等的。( ) 【答案】× 【分析】三角形的内角和等于180度，据此即可解答。 【详解】根据分析可知， 一个大三角形和一个小三角形的三个内角和都等于180度，原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握和灵活运用。 21．用下面的三根小棒能拼成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】2＋3＝5（cm） 5cm＝5cm 5－3＝2（cm） 2cm＝2cm 不能拼成三角形，原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查三角形的三边的关系，学生应熟练掌握。 22．等边三角形也可能是钝角三角形。( ) 【答案】× 【分析】因为三角形的内角和是180度，根据等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个角也相等，都是60度，由此判断。 【详解】等边三角形3个角都是60°，所以是锐角三角形； 故答案为：× 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形的分类，牢记等边三角形的特点是解题的关键。 23．长8.6厘米、8.6厘米、16厘米的三条线段可以围成一个等腰三角形。( ) 【答案】√ 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。据此解答。 【详解】8.6厘米＝8.6厘米，8.6＋8.6＝17.2（厘米），17.2厘米＞16厘米，即这三条线段可以围成一个等腰三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 24．一个三角形中，其中两个角的度数分别是15°和85°，按角分，这是一个钝角三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，求出第三个角的度数，再判断三角形，据此解答。 【详解】180°－15°－85° ＝165°－85° ＝80° 最大角是85°，这个三角形为锐角三角形。 一个三角形中，其中两个角的度数分别是15°和85°，按角分，这是一个锐角三角形。 原题干说法错误。 故答案为：× 三、填空题 25．一个三角形中，至少有( )个锐角，最多有( )个钝角，最多有( )个直角。 【答案】 2 1 1 【分析】根据三角形的内角和等于180°，如果三角形中有2个或3个钝角或直角，这个三角形的内角和一定大于180°，所以一个三角形中最多有一个钝角或直角，至少有2个锐角。 【详解】一个三角形中，至少有2个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角。 【点睛】熟练掌握三角形内角和定理并灵活应用是解决本题的关键。 26．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，那么第三条边的长度是( )厘米。 【答案】11 【分析】根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形为等腰三角形，因此这个等腰三角形的第三边可能为11厘米或5厘米，根据三角形的任意两边之和大于第三边，若5厘米为腰长，11厘米为底边长，由于5＋5＜11，两边之和小于第三边，则三角形不存在；若11厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，据此解答。 【详解】根据分析得：第三条边的长度是11厘米。 【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征及三角形的三边关系是解答本题的关键。 27．把一根9分米长的铁丝剪成3段（每段都是整分米数），围成一个等边三角形，边长是( )分米；如果围成等腰三角形，它的一条腰长( )分米。 【答案】 3 4 【分析】根据等边三角形三条边都相等，可以计算出这个等边三角形的边长；把一根9分米长的铁丝剪成3段，可以围成的三角形有三种，分别是①1、4、4；②2、3、4；③3、3、3；据此解答。 【详解】9÷3＝3（分米） 把一根9分米长的铁丝剪成3段，可以围成的三角形有三种，分别是①1、4、4；②2、3、4；③3、3、3； 其中符合题干中的等腰三角形是①，所以它的一条腰长是4分米。 【点睛】本题主要考查等边三角形的特点和等腰三角形的特点，要注意等边三角形是特殊的等腰三角形。 28．如图，已知AC＝BC，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 70 40 【分析】AC＝BC，说明这是等腰三角形，∠1＝∠2＝180°－110°，用180°减去∠1和∠2的度数就是∠3的度数。 【详解】∠1＝∠2＝180°－110°＝70° ∠3＝180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握平角的概念，以及三角形的内角和等于180°。 29．一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边的长度是12厘米，与它相邻的另一条边的长度是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据“平行四边形的周长＝相邻两条边长度和乘2”可得，相邻两条边的长度和是：36÷2＝18（厘米），再减去12厘米，即可求出与它相邻的另一条边的长度。 【详解】36÷2－12 ＝18－12 ＝6（厘米） 所以，与它相邻的另一条边的长度是6厘米。 【点睛】要明确，平行四边形相邻两条边的长度和是平行四边形周长的一半，是解答此题的关键。 30．三角形中，∠1的度数是110°，∠2的度数是35°，那么∠3的度数是______°，这个三角形是______三角形。 【答案】 35 等腰 【分析】根据三角形的内角和是180°和其中两个角的度数可求出另外一个角的度数；有两个角相等的三角形是等腰三角形。 【详解】∠3＝180°－110°－35°＝35° 所以，这个三角形是等腰三角形。 31．一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )米。 【答案】30 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，该绳子的长度是（23＋22）×2米。等边三角形的周长＝边长×3，则该等边三角形的边长＝（23＋22）×2÷3米。 【详解】（23＋22）×2÷3 ＝45×2÷3 ＝90÷3 ＝30（米） 则这个等边三角形的边长是30米。 故答案为：30。 【点睛】熟练掌握长方形和等边三角形的周长公式，灵活运用公式解决问题。 32．先填出下面各角的度数，再判断三角形的形状。（按角分） ∠1＝( )    ∠2＝( )    ∠3＝( )   ( )三角形  ( )三角形  ( )三角形 【答案】 90°/90度 100°/100度 81°/81度 直角 钝角 锐角 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形，是直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；根据三角形的内角和是180°，用180°减去三角形中已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数，据此分别列式解答即可。 【详解】根据分析： ∠1＝180°－35°－55° ∠1＝145°－55° ∠1＝90° 直角三角形； ∠2＝180°－40°－40° ∠2＝140°－40° ∠2＝100° 钝角三角形； ∠3＝180°－35°－64° ∠3＝145°－64° ∠3＝81° 锐角三角形。 如图： 33．一个等腰梯形的周长为23厘米，上底和下底分别为5厘米和8厘米，这个等腰梯形的腰长是( )厘米；如果将这个梯形的上底增加3厘米，下底不变，会变成一个( )。 【答案】 5 平行四边形 【分析】梯形的周长，就是梯形4条边的长度之和，而等腰梯形的两腰是相等的，用23减5再减8，所得的差就是两腰的和，再除以2即可求出腰长。如果将这个梯形的上底增加3厘米，那么此时的上底是8厘米，与下底相等，此时这个四边形就是平行四边形。 【详解】（23－5－8）÷2 ＝（18－8）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 一个等腰梯形的周长为23厘米，上底和下底分别为5厘米和8厘米，这个等腰梯形的腰长是5厘米；如果将这个梯形的上底增加3厘米，下底不变，会变成一个平行四边形。 34．如果一个三角形两条边分别长6厘米和11厘米。如果第三条边的长度也为整数厘米数，第三条边的长度有( )种可能。 【答案】11 【分析】三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答即可。 【详解】6＋11＝17 （厘米） 11－6＝5 （厘米） 那么第三条边要大于5厘米小于17厘米，6~16厘米都可以，因此有11种可能。 四、计算题 35．已知∠1＝28°，求∠2、∠3和∠4的度数。 【答案】∠2＝152°；∠3＝28°；∠4＝62° 【分析】∠1和∠2组成一个平角，180°减∠1等于∠2；∠1和∠4组成一个直角，90°减∠1等于∠4；∠3和∠2组成一个平角，180°减∠2等于∠3；据此即可解答。 【详解】∠2＝180°－∠1 ＝180°－28° ＝152° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－152° ＝28° ∠4＝90°－∠1 ＝90°－28° ＝62° 36．算出下面和的度数。 【答案】∠A＝42°；∠D＝115° 【分析】（1）∠ACB等于180°减80°，∠A等于180°减去∠B和∠ACB，据此即可解答； （2）四边形内角和等于360°，用360°减90°，再减∠A和∠C，即等于∠D的度数，据此即可解答。 【详解】（1）∠ACB＝180°－80°＝100° ∠A＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－38°－100° ＝142°－100° ＝42° （2）∠D ＝360°－90°－∠A－∠C ＝270°－40°－115° ＝230°－115° ＝115° 五、解答题 37．一个等腰三角形的周长是30厘米，其中有一条边的长是12厘米，那么另外两条边的长各是多少厘米？ 【答案】12厘米、6厘米或者9厘米、9厘米 【分析】等腰三角形的两条腰相等，若长是12厘米的边是腰，另外两条边为12厘米，（30－12－12）厘米。若长是12厘米的边是底，另外两条边都是（30－12）÷2厘米。再根据三角形的三边关系判断解答。 【详解】30－12－12＝6（厘米） 12＋6＞12 则长为12厘米、12厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （30－12）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 则长为12厘米、9厘米、9厘米的三条线段能围成一个三角形。 答：另外两条边的长各是12厘米、6厘米或者9厘米、9厘米。 【点睛】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，关键是将长12厘米的边分别按照腰或底这两种情况解答。 38．求下边五边形的内角和。 【答案】540° 【分析】由题意可得，先将五边形分成3个三角形，再根据三角形的内角和为180°计算即可。 【详解】 180°×3＝540° 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，熟记过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成（n－2）个三角形。 39．做风筝。 （1）做一个等腰三角形风筝。它的一个顶角是80°，它的一个底角是多少度？ （2）做一个等腰三角形风筝，它的一腰长是6分米，它的底边长的取值范围应在多少厘米之间？你的根据是什么？（取整厘米数，只考虑能否做成的因素，不考虑其它因素） 【答案】（1）50度； （2）0厘米和12厘米之间 【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，180°减去顶角的度数，再除以2即等于一个底角的度数。 （2）根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边进行解答。 【详解】（1）（180－80）÷2 ＝100÷2 ＝50（度） 答：它的一个底角是50度。 （2）6－6＝0（厘米） 6＋6＝12（厘米） 0厘米＜底边＜12厘米 答：它的底边长的取值范围应在0厘米和12厘米之间。 【点睛】本题主要考查学生对三角形的内角和、三角形的分类和三角形三边间的关系的掌握。 40．一个四边形如何变成三角形呢？ 小明想到了一种方法，连接对点（如图所示），此时分成两个三角形。 （1）其中一个为等边三角形，一边长为2cm，请问其它两条边长和三个角分别为多少？ （2）另一个三角形中，已知最大角的度数是最小角的3倍，另外一个角的度数是最小角的2倍，你知道这个三角形每个角的度数吗？它是什么三角形？ 【答案】（1）其它两条边长都是2cm；三个角都是60° （2）30°；60°；90°；直角三角形 【分析】（1）等边三角形的特点是三条边都相等，三个角也相等，因此用180°除以3就是每个角的度数。 （2）可将最小的角看成是1份，因此另一个角就是2份，最大的角就是3份，那么这个三角形一共是6份，一个三角形的内角和是180°，因此用180°除以6就是每一份的度数，然后用每一份的度数乘相应的份数就是对应角的度数，最后根据三角形分类的标准分类即可。 【详解】（1）等边三角形，一边长为2cm，因此另外两条边都是2cm； 180°÷3＝60°，因此三个角都是60°。 答：这个等边三角形的其它两条边都是2cm，三个角都是60°。 （2）1＋2＋3＝6（份） 180°÷6＝30° 30°×1＝30° 30°×2＝60° 30°×3＝90° 90°＝90°，因此这是一个直角三角形 答：这个三角形最大的角是90°，最小的角是30°，另一个角是60°，这是一个直角三角形。 【点睛】熟记三角形的内角和度数与掌握等边三角形的特点是解答此题的关键。 41．学校举行风筝比赛，李东做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是48°，其它两个角各是多少度？ 【答案】66°，66°或48°，84° 【分析】（1）如果48°的角为顶角，则一个底角的度数等于180°减去顶角的度数差，再除以2； （2）如果48°的角为底角，另一个底角也为48°，顶角度数等于180°减去两个底角的度数。 【详解】（1）48°的角为顶角： （180°－48°）÷2 ＝132°÷2 ＝66° （2）48°的角为底角： 180°－48°×2 ＝180°－96° ＝84° 答：两个角都为66°，或者一个角为48°，另一个角为84°。 【点睛】48°的角可以顶角，也可以是底角，这是解答本题的关键。 42．已知∠1＝95°，∠4＝137°，∠2、∠3的度数各是多少？ 【答案】∠2是42°，∠3是43° 【分析】三角形的内角和是180°，平角也是180°，先根据∠4求出∠3，然后根据∠3和∠1的度数求出∠2。 【详解】180°－137°＝43° 180°－43°－95°＝42° 答：∠2是42°，∠3是43°。 【点睛】三角形的内角等于与它不相邻的两个内角的和，这里∠4可以看成是∠1和∠2的和。 43．一个三角形的两条边分别是7厘米和13厘米，那么第三条边的长最短是多少厘米？最长是多少厘米？（取整厘米数） 【答案】最短：7厘米；最长：19厘米 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】两边之差＜第三条边＜两边之和 13－7＜第三条边＜13＋7 6＜第三条边＜20 第三条边的长度是整厘米数，那么第三条边最短是7厘米，最长是19厘米。 答：第三条边的长最短是7厘米，最长是19厘米。 44．一个等腰三角形，淘气量一量它的两条相邻边，长度分别为5.2厘米和8厘米，这个三角形的周长是多少厘米呢？ 【答案】18.4厘米或21.2厘米 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边。等腰三角形的两腰相等，因为5.2＋5.2＞8，如果5.2厘米是等腰三角形的腰，三角形的周长是（5.2＋5.2＋8）厘米。又因为8＋8＞5.2，如果8厘米是等腰三角形的腰，三角形的周长是（5.2＋8＋8）厘米。 【详解】5.2＋5.2＋8 ＝10.4＋8 ＝18.4（厘米） 5.2＋8＋8 ＝13.2＋8 ＝21.2（厘米） 答：这个三角形的周长18.4厘米或21.2厘米。 45．小明用一根铁丝刚好围成一个边长是15厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，三角形的边长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】等边三角形的三条边都相等，先根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长。 【详解】15×4÷3 ＝60÷3 ＝20（厘米） 答：三角形的边长是20厘米。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $