第8讲 功和功率—【划重点】-2026-2027学年高三物理暑假复习提升讲义

第8讲 功和功率 【考点1：功的定义及公式】 【考点2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功】 考向1：功的正负及其计算 考向2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 【考点3：变力做功】 考向1：微元法求变力做功 考向2：等值法求变力做功 考向3：图像法求变力做功 考向4：平均力法求变力做功 考向5：动能定理求变力做功 【考点4：功率的定义及公式】 考向1：平均功率和瞬时功率的基本计算 【考点5：机车启动模型】 考向1：以恒定加速度启动 考向2：以恒定功率启动 考点1：功的定义及公式 1.功的定义 力与在力的方向上位移的乘积。 2.功的两个要素 ①作用在物体上的力；②物体在力的方向上发生的位移。 3.物理意义 功是能量转化的量度。 4.标矢性 功是标量，虽有正负之分，但无方向，功的运算遵循代数运算法则。 5.功是过程量 描述了力的作用效果在空间上的累积，它总与一个具体过程相联系。 6.功的单位 在国际单位制中，是焦耳，简称焦，符号是J。另外还有电子伏、千瓦时等。它们之间的换算关系1eV=1.6×10-19J，1KWh=3.6×106J。 7.恒力做功的公式 W＝Flcosα，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功）。 对cosα的两种理解角度 把力按沿位移方向与垂直位移方向分解，垂直位移方向的力不做功： W＝F∥l＝Fcos α·l 把位移按沿力方向与垂直力方向分解．在垂直力方向的位移上力不做功： W＝Fl∥＝Flcos α 应用公式注意 ①式中的F一定是恒力（大小、方向都不变），即此式是求恒力做功的公式。 ②式中的位移l一般是相对地面而言的。 ③力F与位移l具有同时性：只与有力作用的那一段位移有关，若力取消后物体仍在运动，则与力取消后物体发生的位移无关。 ④力F对物体做的功只与F、l和α三者有关，与物体的运动状态等因素无关。 8.合力功 方法一 当合力F为恒力时，先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二 先求各个分力做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 9.正功和负功 夹角 功的正负 0≤α＜90° 力对物体做正功 90°＜α≤180° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体不做功 10.判断力是否做功及做正、负功的方法 恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断 曲线运动中功的判断 若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断。当0≤α<90°，力对物体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功 根据动能的变化 动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝Ek末－Ek初，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功 依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断 ①功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小。既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8J的功要比5J的功多。 ②正功表示物体在这个过程中的力是动力，对物体起推动作用，使物体的能量增加。负功表示物体在这个过程中的力是阻力，对物体的运动起阻碍作用，使物体的能量减少。 ③一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值），这两种说法在意义上是等同的。如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了6 J的功。 考点2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 1．静摩擦力做功分析 总结 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②一对静摩擦力做功的代数和一定为0。 功能关系 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量。 2．滑动摩擦力做功的特点 总结 ①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②一对滑动摩擦力做的总功一定是负功。 功能关系 ①一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ⅰ．机械能全部转化为内能； ⅱ．有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。 ②一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功总为负值，系统损失的机械能转变成内能。 ③摩擦生热的计算：ΔQ＝Fs相对。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程。 ①无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都代入物体相对于地面的位移。 ②摩擦生热ΔQ＝Fs相对中，若物体做往复运动时，则s相对为总的相对路程。 3．作用力、反作用力做功的特点 ①作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。 ②由W＝Flcosα可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即不一定是一正一负，绝对值也不一定相等。即一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正，可能为负，也可能为零。 4.一对平衡力做功的特点 一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功在数值上一定相等，一正一负或均为零。 考向1：功的正负及其计算 【针对训练1】（2026·四川成都·二模）“耍花盘”是中国杂技最具代表性的项目之一。如图所示，小物块放在水平瓷盘边缘，杂技演员用竿顶住瓷盘圆心A，小物块随瓷盘一起在水平面内绕圆心A做圆周运动。在小物块的线速度从零均匀增大到刚要相对瓷盘滑动的过程中，小物块受到的静摩擦力（　　） A．对小物块做正功 B．对小物块不做功 C．方向指向圆心A D．方向指向所在位置的切线方向 【答案】A 【详解】AB．小物块随瓷盘做加速圆周运动，线速度增大，动能增加。重力和支持力在竖直方向上，与运动方向垂直，不做功。根据动能定理，合外力做正功。小物块在水平面内只受静摩擦力作用，故静摩擦力对小物块做正功，故A正确，B错误； CD．小物块做变速圆周运动，静摩擦力提供合外力。该力可分解为指向圆心的向心力和沿切线方向的切向力。由于线速度均匀增大，切向加速度不为零，故静摩擦力方向指向圆心偏前方向，既不指向圆心，也不沿切线方向，故CD错误。 故选A。 【针对训练2】（多选）（2026·湖南长沙·三模）如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 【答案】BD 【详解】A．由题意可知，竖直方向力对物体做功为0，水平方向根据功的定义式，故A错误； B．如图所示 物体受重力、支持力、拉力及摩擦力，由于物体做匀速直线运动，所以摩擦力，方向与位移相反，做负功，故B正确； C．位移水平，重力竖直向下，两者垂直，重力做功为零，故C错误； D．物体匀速，合外力为零，总功为零，故D正确。 故选BD。 【针对训练3】（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一质量为m的人正用水平恒力F向前推车厢在车以恒定加速度a向前水平加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为FL C．车对人的摩擦力做的功为(F+ma)L D．车对人的作用力大小为ma 【答案】AC 【详解】A．根据功的定义可知，人对车的推力F做的功为W=FL，故A正确； B．水平方向上，人受到车的反作用力F及脚与地面间的摩擦力Ff作用，人的加速度水平向前，根据牛顿第二定律可知，车对人的合力为 方向向前，所以车对人做的功为 因合力大小Ff−F不一定恰好等于F，故车对人做的功只表示为(Ff−F)L，故B错误； C．由B选项分析可知，车对人的摩擦力大小 摩擦力方向和位移同向，因此车对人的摩擦力做的功为，故C正确； D．水平方向上车对人的合力满足 竖直方向上车对人的合力为平衡重力的支持力，即 因此，车对人的作用力大小为，故D错误。 故选AC。 考向2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 【针对训练4】（多选）下列说法正确的是（　　） A．当作用力做正功时，反作用力可能也做正功 B．一对平衡力做功的总和一定为零 C．一对相互作用的滑动摩擦力做功的总和一定为零 D．当人从蹲在地上至站起来的过程中，地面对人脚的支持力做正功 【答案】AB 【详解】A．当作用力做正功时，反作用力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功，故A正确； B．一对平衡力等大反向共线，由于作用在同一个对象上，故两个力的位移相同，其合力为零，则合力做功一定为零，故B正确； C．一对相互作用的滑动摩擦力做功的总和为负，因为一对相互作用的滑动摩擦力做功的效果总是使系统内的机械能转化为内能，故C错误； D．当人从蹲在地上至站起来的过程中，地面给人的支持力没有做功，因为在支持力作用点方向上没位移的，故D错误。 故选AB。 【针对训练5】（多选）关于物体所受摩擦力对物体做功的问题，以下说法中正确的是（　　） A．物体运动过程中所受滑动摩擦力总是对物体做负功 B．物体运动过程中所受滑动摩擦力可能对物体不做功 C．物体运动过程中所受滑动摩擦力做的功不一定等于因摩擦而产生的热 D．物体运动过程中所受静摩擦力有可能对物体做功 【答案】BCD 【详解】AB．滑动摩擦力可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不做功，故A错误，B正确； C．一个物体所受滑动摩擦力做的功在数值上等于该摩擦力与此物体对地位移大小的乘积，而因摩擦产生的热量在数值上等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积，二者只有在其中一个物体静止时才相等，一般情况不相等，因此做功不一定等于摩擦生热，故C正确； D．静摩擦力可以对物体做功。例如倾斜传送带向上匀速运送货物，静摩擦力沿位移方向，对货物做正功，因此静摩擦力是可以做功的，D正确。 故选 BCD。 考点3：变力做功 ①利用“微元法”求变力的功 物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 ②等值法求变力做功 若通过转换研究的对象，有时可化变力为恒力做功。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 ③利用F–x图象求变力的功 在F–x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形） ④利用平均力求变力的功 在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcosα求此力所做的功。 ⑤利用动能定理求变力的功 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。 考向1：微元法求变力做功 【针对训练6】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄上施加方向总与垂直、大小为的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知点到转轴的距离为，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力则微元功为 根据 可知摩擦力所做的功约为-18J。故选D。 【针对训练7】（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将力分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力做的功为 故选A。 考向2：等值法求变力做功 【针对训练8】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【答案】50 J 【详解】由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F做的功。 由几何关系知,绳的端点的位移为 l=-=h=0.5 m 在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为 W=Fl=100×0.5 J=50 J 故绳的拉力对物体所做的功为50 J。 【针对训练9】人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【详解】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 考向3：图像法求变力做功 【针对训练10】图甲为用无人机吊运脐橙的情境，一段时间内，无人机从距地面处沿竖直方向上升到距地面处。该段时间内，连接无人机的主绳上拉力F随高度x变化的图像如图乙所示，主绳始终竖直，则这段时间，主绳上拉力F做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知这段时间，主绳上拉力F做功为 故选B。 【针对训练11】如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 【答案】B 【详解】根据 图像与坐标轴所围成的面积可知，B正确。 故选B。 考向4：平均力法求变力做功 【针对训练12】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阻力随深度线性变化，利用平均力法可得平均力 则 故选C。 【针对训练13】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 【答案】B 【详解】初始时系统处于静止状态，设此时弹簧压缩量为x0，对小滑块A和B组成的系统，根据胡克定律和平衡条件得 解得弹簧压缩量 小滑块A、B分离瞬间，两者之间的弹力恰好为零，且有相同的加速度a，设此时弹簧的压缩量为x1，则对小滑块A由牛顿第二定律得 解得 在小滑块A、B分离之前，设A、B的位移为x，对A、B整体，根据胡克定律和牛顿第二定律有 解得 则拉力做功 将各量代入上式可解得 故B正确。 故选B。 考向5：动能定理求变力做功 【针对训练14】（2026·湖南长沙·三模）某校高一年级某班同学做了如图所示实验，长为的木板水平放置，在木板的端放置一个质量为的小物块，现缓慢地抬高端，使木板以左端为轴转动，转至与水平面的夹角为（弧度） ，在整个过程中，小物块与木板保持相对静止。下列说法正确的是（     ） A．摩擦力对小物块做功为零 B．摩擦力对小物块做功为 C．支持力对小物块做功为零 D．支持力对小物块做功为 【答案】A 【详解】AB．在木板从水平位置开始转动到与水平面的夹角为的过程中，静摩擦力与物体运动的方向垂直，所以静摩擦力对小物块做功为零，故A正确，B错误； CD．在木板从水平位置开始转动到与水平面的夹角为的过程中，小物块的动能保持不变，根据动能定理可得 解得支持力对小物块做功为，故CD错误。 故选A。 【针对训练15】（2026·陕西商洛·模拟预测）如图所示，一质量为m的物块（视为质点）静置于水平放置的转盘上，物块所处的位置到转盘中心轴的距离为r。现使转盘绕中心轴转动，转动的角速度ω从0开始逐渐增加至ω0过程中，物块与转盘始终相对静止，则在此过程中，转盘对物块的作用力对物块所做的功为（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】由动能定理可知，转盘对物块的作用力对物块所做的功，选项B正确。 故选B。 考点4：功率的定义及公式 1.定义 功与完成这些功所用时间的比值。 2.物理意义 标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。 3.定义式 P＝，P为时间t内的平均功率。 4.单位 国际单位是瓦特，符号是W，常用的单位还有kW。 平均功率和瞬时功率 区别 平均功率 瞬时功率 定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率 意义 反映物体在某一段时间内做功的快慢 反映物体在某一时刻做功的快慢 计算 ①利用＝。 ②利用＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。 ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。 ②P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 ③P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 5.额定功率和实际功率 额定功率 实际功率 定义 发动机正常条件下长时间工作时的最大功率 机械实际工作时输出的功率 特点 不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定功率不变 同一机械实际功率随工作情况而变化 联系 为了机械的安全，P额≥P实。 6．公式P =Fv的制约关系 定值 各量的关系 应用 F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 P一定 F与v成反比 汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；反之则必须减小牵引力 考向1：平均功率和瞬时功率的基本计算 【针对训练16】（2026·湖北襄阳·二模）某城市广场喷泉喷出水柱的场景，从远处看，喷泉喷出的水柱约有30层楼的高度；走近看，喷管的直径约为，重力加速度取，水的密度为。据此可估算用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】喷管直径约为10cm，则半径r＝5cm＝0.05m，根据实际情况，每层楼高约为h＝3m，所以喷水的高度 则根据竖直上抛运动，水离开管口的速度为 设给喷管喷水的电动机输出功率为P，在接近管口很短一段时间内水柱的质量为 根据能量关系得 联立以上解得 故选C。 【针对训练17】（2026·河北邢台·三模）如图甲为一玩具竹筒水车，用长度相同的竹竿将竹筒固定在同一个转轴上，水流冲击竹筒时，所有竹筒在竖直平面内做半径相等的匀速圆周运动，不计空气阻力及竹筒中水的质量，简化如图乙所示，A、B分别为最高点和最低点，下列说法正确的是（     ） A．竹筒转动一圈，重力对其做的功不为零 B．竹筒经过A点时，所受重力的瞬时功率不为零 C．从B到A的过程竹竿对竹筒做的功小于竹筒重力势能的增加量 D．从A到B的过程，水流速度越大，竹筒重力对竹筒做功的平均功率越大 【答案】D 【详解】A．竹筒转动一圈，高度的变化为零，此时重力对其做的功为零，A错误； B．竹筒经过A点时，速度的竖直分量为零，根据PG=mgvy可知，所受重力的瞬时功率为零，B错误； C．从B到A的过程，根据动能定理，即，则竹竿对竹筒做的功等于竹筒重力势能的增加量，C错误； D．从A到B的过程，水流速度越大，则时间变短，根据，可知竹筒重力对竹筒做功的平均功率越大，D正确。 故选D。 【针对训练18】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由点削出，从到与从到的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该面片从到的速度变化率比到的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从到P与从到过程，重力做功的平均功率之比为4：13 【答案】CD 【详解】A．面片做平抛运动，只受重力作用，加速度恒为重力加速度，根据加速度定义可知，速度变化率保持不变，故A错误； B．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，运动时间由高度决定，即 落到锅里的面片，若下落高度相同，则在空中运动时间相同，飞得远说明水平初速度较大，故B错误； C．设从到的时间为，则从到的时间为，从到的总时间为。面片在竖直方向做自由落体运动，点竖直分速度 点竖直分速度 重力做功的瞬时功率 则该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为，故C正确； D．从到过程，竖直方向平均速度 重力做功的平均功率 从到过程，竖直方向平均速度 重力做功的平均功率 则从到与从到过程，重力做功的平均功率之比为，故D正确。 故选CD。 考点5：机车启动模型 1.以恒定功率启动[ 汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式P = Fv知：牵引力F较大，因而由牛顿第二定律F– f = ma知，汽车的加速度较大。随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将减小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断增大，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力F和阻力f相平衡为止。汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F–f = 0，加速度a＝0，汽车的速度达到最大值vm。汽车的运动形式是做加速度越来越小的变加速直线运动，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。 2.以恒定牵引力启动 由于牵引力F恒定，根据牛顿第二定律F–f = ma，可知：加速度a恒定，汽车作匀加速直线运动，随着时间的推移，实际功率将不断增大．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的最大速度v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，速度达到最终的最大速度vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加速直线运动阶段，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。 3.三个重要关系式 （1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 （式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）。 （2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度v′m＝，时间t＝。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即v＝＜vm＝。 （3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk．此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 ①汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率Pt=Fvt＜P额。在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率Pt等于额定功率P额，且满足Pt=P额=Fv1。在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率。 ②从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有 （W牵、s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功W'牵= P额t2（t2表示变加速直线运动阶段所经历的时间）， （s2为变加速直线运动阶段的位移）。 ③在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也不是阻力。 考向1：以恒定加速度启动 【针对训练19】（2026·四川资阳·三模）如图甲所示，电动机通过绕过定滑轮的轻细绳，与放在倾角为足够长的光滑斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在时间内物体运动的图像如图乙所示，其中除时间段图像为曲线外，其余时间段的图像均为直线，后电动机的输出功率保持不变；已知物体的质量为，不计一切摩擦，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．在内电动机牵引力大小处于范围内 B．后电动机的输出功率为 C．物体达到的最大速度大于 D．内物体沿斜面向上运动了 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，物体在内的加速度大小为 设在内电动机牵引力大小为，由牛顿第二定律解得 解得，故A错误； B．后电动机的输出功率为 ，故B错误； C．根据题意可知，当物体速度最大时有 物体达到的最大速度，故C错误； D．物体在 内运动的距离为 物体在内，由动能定理有 解得 则在内物体沿斜面向上运动了，故D正确。 故选D。 【针对训练20】（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）如图为牵引力和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，设其最大车速为，下列说法正确的是（    ） A．汽车所受阻力为 B．汽车车速为时，功率为 C．汽车匀加速运动时的加速度为 D．汽车匀加速所需时间为 【答案】AB 【详解】A．结合图像分析：汽车从静止启动，先做匀加速直线运动，牵引力恒定，对应图像的水平段； 当功率达到额定功率后，功率保持不变 随线性变化，对应图像的斜线段，取斜线上点，，得额定功率 当牵引力减小到等于阻力时，速度达到最大值，则，故A正确； B．匀加速阶段牵引力，匀加速的末速度 车速，仍处于匀加速阶段，功率，故B正确； C． 由牛顿第二定律 代入数据得，故C错误； D． 匀加速末速度，，得匀加速时间，故D错误。 故选AB。 考向2：以恒定功率启动 【针对训练21】（2026·河南焦作·一模）电动平衡车因时尚、便捷而深受青年人的喜爱。如图所示，一人驾驶平衡车在平直的路面上以恒定功率启动，行驶距离后开始匀速行驶。已知人和平衡车的总质量为m，所受阻力恒为，则平衡车从启动到刚匀速行驶的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平衡车在平直的路面上匀速时速度大小为，则有 根据动能定理 联立解得 故选D。 【针对训练22】中国“智造”的复兴号动车组是中国高铁“金名片”，标志着中国已全面掌握高铁关键核心技术。假设质量为的高铁列车在平直铁路上以额定功率启动，且行驶过程中受到的阻力恒定，最高行驶速度为。下列说法正确的是（     ） A．在加速阶段，列车的加速度保持不变 B．行驶过程中列车受到的阻力大小为 C．当列车的速度大小为时，列车的加速度大小为 D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受牵引力做的功为 【答案】C 【详解】A．题目中表示列车以额定功率启动，根据可知随着列车速度增大，列车牵引力在减小。因此列车所受合外力逐渐减小、加速度减小。故A错误； B．当牵引力大小等于阻力时有最大速度，因此行驶过程中列车受到的阻力大小为。故B错误； C．当列车速度大小为时，列车牵引力为，所受合外力 加速度，故C正确； D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受合外力做的功为。其中包括牵引力做的正功和阻力做的负功。因此牵引力做的功要大于，故D错误。 故选C。 【真题1】（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为的斜坡上，某同学最多能拉着质量为的物体以恒定速度沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，最多能拉着质量为的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该同学拉着物体沿斜坡向上匀速运动时，拉力的功率等于物体克服重力与摩擦力做功的功率，则穿戴装置前有 穿戴装置后有 所以拉力的功率的增加量为 故选A。 【真题2】（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能进行了测试。在时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从加速到，假定马车所受阻力不变，则马车运动的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】马车以恒定功率运动，阻力不变， 由功率公式 结合牛顿第二定律 整理得加速度 随着速度增大，恒定功率不变，因此加速度逐渐减小。 图像的斜率表示加速度，因此图的斜率应逐渐减小，图像越来越平缓。 故选C。 【真题3】（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为的物块在拉力作用下，以初速度由原点出发，沿轴依次经过、、三点。已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为，，随位置的变化如图（b）所示。设物块经过、两点时的瞬时功率分别为、，经过、、段的平均功率分别为、、，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据题意，从到过程中，由动能定理有 解得 从到过程中，由动能定理有 解得 则有， 则有 设经过段的时间分别为、、，物块在阶段，拉力小于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度减小的减速运动，速度由减速到，物块在阶段，拉力大于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度增大的加速运动，物体在点的加速度大小为 点的加速度大小为 则有 由对称性可得 物体在阶段做加速度减小的加速运动，则在段的平均速度大于段的平均速度，则有 根据图像面积表做功，由图可知，经过、、段做功分别为， 又有、、 可得 故选C。 【真题4】（多选）（2025·海南·高考真题）一起重机将质量为m的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（    ） A．匀加速的最大速度为 B．集装箱的机械能增加 C．起重机的最大输出功率为 D．起重机对集装箱的作用力为 【答案】AC 【详解】A．匀加速的最大速度，A正确； B．集装箱的动能增加量为 集装箱上升的高度 重力势能的增加量为 集装箱的机械能增加，B错误； CD．对集装箱进行受力分析，集装箱受到重力mg和起重机的拉力F，根据牛顿第二定律 可得起重机对集装箱的作用力 起重机的最大输出功率为，C正确，D错误。 故选AC。 【真题5】（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角为，，。当每条绳子拉力的大小为时，人与木板沿直线匀速前进，在内前进了，求此过程中 (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 【答案】(1)450N (2)9.0×103J (3)600W 【详解】（1）由于木板匀速运动则有 解得 （2）根据功的定义式有 解得 （3）根据功率的定义，有 一、单选题 1．下列关于功的说法中正确的是（     ） A．静摩擦力对物体可能做正功 B．一个力作用在物体上，如果这个力做功为零，则该物体一定处于静止状态 C．由于功是标量，所以+16J的功大于-30J的功 D．相互接触的两物体间一对滑动摩擦力做功之和一定等于零 【答案】A 【详解】A．静摩擦力方向可与物体位移方向相同，例如传送带向上运送相对静止的货物时，静摩擦力对货物做正功，因此静摩擦力对物体可能做正功，故A正确； B．根据功的计算公式，若力与位移方向垂直，，，此时物体可以是运动状态，不一定静止，故B错误； C．功是标量，正负号表示能量转移的方向（或表示该力做正功还是负功），不表示大小。比较做功的多少，应比较功的绝对值。|-30J| > |+16J|，所以做-30J的功比做+16J的功要多，故C错误； D．一对滑动摩擦力作用的两个物体存在相对滑动，两物体的位移大小不相等，摩擦力大小相等、方向相反，因此一对滑动摩擦力做功之和一定不等于零，故D错误。 故选A。 2．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力随物块所在位置坐标的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到处时所做的总功为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据可知，图线坐标轴所围成的面积表示力做的功，故 故选C。 3．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为 解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为 解得 故选C。 4．如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（　　）    A．A所受的合外力对A不做功 B．B对A的弹力做正功 C．B对A的摩擦力做正功 D．A对B的正压力等于A的重力 【答案】C 【详解】A．木块向下加速运动，故动能增加，由动能定理可知，木块A所受合外力对A做正功，故A错误； B．B对A的弹力竖直向上，与位移夹角大于90°，则B对A的弹力对A做负功，故B错误； C．因为A、B整体具有沿斜面向下的加速度，则加速度有水平向左的分量，则物块A所受B的摩擦力水平向左，由于此摩擦力与位移的夹角小于90°，则B对A的摩擦力做正功，故C正确； D．设整体的加速度为a，则 a=gsinθ 对A作受力分析有 则B对A的支持力为 由牛顿第三定律可知A对B的正压力小于A的重力，故D错误。 故选C。 5．（2026·重庆·三模）如图甲是无人机快递运输和配送的测试现场，已知质量为2kg的邮件在被无人机从地面吊起后，在竖直方向上运动的图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），重力加速度g取，不计邮件所受空气阻力。则（　　） A．在46s时邮件上升到最大高度 B．邮件在的过程中处于失重状态 C．在内邮件上升的高度为10 m D．在内拉力对邮件做负功 【答案】B 【详解】A．由图像可知，0~36s内速度为正，邮件向上运动，36s时速度减为零，36s后速度为负，邮件向下运动，所以在36s时邮件上升到最大高度，故A错误； B．在内，图像斜率为负，加速度方向向下，根据牛顿第二定律可知邮件处于失重状态，故B正确； C．在0~10s内，邮件上升的高度为图像与时间轴围成的面积，即，故C错误； D．在内邮件向上运动，拉力方向向上，位移向上，拉力做正功，故D错误。 故选B。 6．（2026·辽宁沈阳·三模）某电动汽车在平直路面上做性能测试，将运动简化处理后，其图像如图所示。若整个过程中汽车受到的阻力恒定，则下列关于汽车牵引功率随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】匀加速直线运动，加速度恒定，阻力恒定，由牛顿第二定律 得牵引力恒定。 速度随线性增大，牵引功率，因此随线性增长，是过原点的倾斜直线； 匀速直线运动 ，加速度，因此牵引力 时刻功率突变减小，之后因为不变，功率保持恒定，为水平直线； 匀减速直线运动 ，加速度大小恒定（方向与运动反向），牛顿第二定律 得牵引力 由于时刻不变、牵引力突然减小，因此时刻功率再次突变减小，之后随速度线性减小到0。 故选D。 7．（2026·湖南怀化·三模）如图所示，工人师傅利用两根绳子把空调拉到安装位置。两根绳子的一端均固定在空调上，其中一根绳子的另一端固定于墙上点，另一根绳子的一端在工人手上。工人在处收绳子，空调由处匀速率运动到处的过程，克服重力做功的功率变化情况为（     ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】克服重力做功的功率，因为空调由处匀速率运动到处的过程，速度的竖直分量逐渐变大，可知克服重力做功的功率逐渐变大。 故选B。 8．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）电动方程式（FormulaE）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在内的位移为 B．赛车在加速过程中牵引力保持不变 C．当速度时，其加速度为 D．该赛车的最大速度是 【答案】D 【详解】A．赛车在前两秒内做匀加速直线运动，设在第二秒末的速度为，则在这段时间内的位移为，故A错误； B．赛车在匀加速直线运动过程中牵引力保持不变，在达到额定功率之后牵引力随速度增加而逐渐减小。故B错误； C．汽车在匀加速阶段的加速度为 其牵引力为 额定功率为 则当速度时，其牵引力 加速度为 故C错误； D．当牵引力等于阻力时有最大速度，即 故D正确。 故选D。 9．如图所示，质量为m的滑块静止在水平面上，并通过一长为l的轻绳与水平面上的O点相连。现对滑块施加一个平行于水平面且大小不变的拉力F，使滑块从A点运动到B点，整个过程中轻绳始终绷紧。已知OA与OB的夹角为，拉力F的方向始终与滑块的运动方向成角，滑块可看作质点且与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力，。在该过程中（　　） A．拉力F对滑块做的功为 B．拉力F对滑块做的功为 C．滑块克服摩擦力做的功为 D．滑块克服摩擦力做的功为 【答案】B 【详解】AB．拉力F大小始终不变，且方向始终与速度的夹角为。根据微元法，拉力做的功等于力在速度方向的分力与路程的乘积，其中路程为 则拉力F对滑块做的功为，故A错误，B正确； CD．滑块在水平面上运动，摩擦力大小始终为 摩擦力方向始终与运动方向相反，滑块克服摩擦力做的功，故CD错误。 故选B。 10．（2025·湖南岳阳·三模）一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于轴，汽车匀速运动阶段的速度为。根据图像，下列说法正确的是（　　） A．速度增大到的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当时， B．汽车与地面间的摩擦力大小为 C．在OA段汽车的位移为 D．若AB段汽车的位移为，则AB段汽车运动的时间 【答案】D 【详解】B．汽车匀速行驶时（B点），牵引力与阻力平衡，此时功率，速度，由可得，阻力，故B错误； A．在OA段，图像为过原点的直线，即，又牵引力为常数，故该阶段牵引力不变。 阻力恒定，匀速时可知，由牛顿第二定律可知加速度恒定，即汽车做匀加速直线运动。 速度增大到时，功率达到，此时牵引力，因汽车将继续加速至，故此时，加速度，故A错误； C．OA段牵引力恒定，阻力，由牛顿第二定律可得，加速度 初速度为0，末速度为，由运动学公式，可得，故C错误； D．AB段功率恒为，设时间为，阻力做功，牵引力做功 由动能定理 代入化简得 ，故D正确。 故选D。 11．如图甲，一倾角的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面下端有一固定挡板，挡板与轻弹簧连接。现将物块P和Q置于斜面上，物块P与弹簧连接，与Q不粘连，稳定时P、Q两物块恰好不下滑。从时开始，对Q施加一平行斜面向上的力使其沿斜面向上做匀加速直线运动，力随时间变化如图乙所示。已知两物块均可视为质点，质量分别为和，与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度，，，则（     ） A．Q的加速度大小为 B．图乙的大小为 C．弹簧的劲度系数为 D．到的过程中，力做的功为 【答案】D 【详解】AB．未施加外力时，P、Q恰好不下滑，对系统受力分析如图 由正交分解可得 为此时弹簧的形变量，解得 时，，PQ一起沿斜面向上匀加速直线运动，此时PQ所受摩擦力沿斜面向下，受力分析如图 由正交分解可得 解得 时，P、Q间无弹力，对Q受力分析有 解得，故AB错误； C．对P受力分析有 为PQ刚分开时，弹簧的形变量，解得 PQ一起匀加速直线运动位移 解得，故C错误； D．在过程，外力F为变力，对PQ分析可得 解得 可得 所以F做功为，故D正确。 故选D。 二、多选题 12．倾角均为的传送带甲、乙以相同的速率顺时针转动，甲、乙传送带顶端与底端之间的高度差相同，现将完全相同的两个小物块（视为质点）分别轻放在两传送带底端，小物块在甲传送带上到达顶端时恰好与传送带共速，小物块在乙传送带上到达顶端前已经与传送带共速，则小物块在甲、乙传送带上运动的整个过程中（    ） A．甲、乙传送带与小物块之间的动摩擦因数不同 B．甲、乙传送带对小物块做功相等 C．将小物块传送到顶端时，甲传送带消耗的电能比乙传送带多 D．将小物块传送到顶端时，甲传送带因摩擦而产生的热量比乙传送带少 【答案】ABC 【详解】两传送带倾角相同、高度差相同，故传送带长度​相同，物块完全相同，传送带速率相同，物块末速度均为 A．加速阶段，由题意知，甲的加速阶段位移大于已的加速距离，所以乙的加速度较大，根据牛顿第二定律 两物块加速度不相同，所以动摩擦因数不同，A正确； B．根据动能定理，传送带对物块做功满足 两物块的 均相同，故相等，B正确； CD．摩擦生热，为物块与传送带的相对位移 传送带消耗电能 ，其中是物块机械能增量，两者相等，只需比较 甲：全程匀加速，物块平均速度​，运动时间​ 传送带位移 ，相对位移 计算得 乙：仅匀加速阶段有相对位移，共速后无相对滑动、不生热，相对位移 因此：甲摩擦生热比乙多 ，相等，​，故甲消耗电能更多，C正确，D错误。 故选 ABC。 13．（2026·陕西西安·一模）如图所示，一个铁架台静止放置在粗糙的水平桌面上，在其支架上端的一固定横杆上通过一根不可伸长的轻绳悬挂一个小钢球。现将小钢球拉至水平位置A处由静止释放，使其在竖直平面内摆动，铁架台始终保持静止。不计空气阻力，小钢球的半径可忽略不计，关于小钢球从被释放到运动到最低点B处的过程，下列说法正确的是（     ） A．轻绳的拉力一直增大 B．小钢球重力的功率先增大后减小 C．铁架台对桌面的压力先增大后减小 D．桌面对铁架台的摩擦力先减小后增大 【答案】AB 【详解】A．设小钢球质量为，铁架台质量为，轻绳长为，轻绳拉力为，小钢球向下摆动到某一位置时，轻绳与水平方向的夹角为，如图所示 对小钢球进行受力分析，由牛顿第二定律有 小钢球由处静止释放运动到此位置的过程，由动能定理有 联立解得 小钢球从点运动到最低点的过程中，一直增大，增大，则轻绳拉力一直增大，故A正确； B．由重力的功率可知，小钢球刚被释放时速度为零，重力的功率为零，小钢球运动到最低点时，瞬时速度方向与重力方向垂直，夹角，则重力的功率又变为零，因此小钢球重力的功率先增大后减小，故B正确； C．铁架台一直处于静止状态，在竖直方向上受力平衡，支持力 小钢球从A点运动到最低点的过程中，一直增大，故铁架台对桌面的压力一直增大，故C错误； D．铁架台在水平方向受力平衡，摩擦力 小钢球从A点运动到最低点的过程中，由0增大至，当时， 铁架台受到的摩擦力最大，因此桌面对铁架台的摩擦力先增大后减小，故D错误。 故选AB。 14．如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示，x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（　　）    A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动 B．工件向右运动2x0后与弹簧分离 C．弹簧的劲度系数为 D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为 【答案】BD 【详解】A．从图乙可知，摩擦力在处方向发生变化，在区间工件的摩擦力大小发生变化，说明工件与传送带相对静止，故工件先做加速运动后做匀速运动，故A错误； B．在区间摩擦力大小等于弹簧弹力大小，位置摩擦力为零，所以弹力为零，所以工件运动后与弹簧分离，故B正确； C．由胡克定律得 解得弹簧的劲度系数 故C错误； D．摩擦力对工件先做正功后做负功，图乙图像与x轴围成的面积在数值上等于摩擦力对工件做的功，即 故D正确。 故选BD。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 功和功率 【考点1：功的定义及公式】 【考点2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功】 考向1：功的正负及其计算 考向2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 【考点3：变力做功】 考向1：微元法求变力做功 考向2：等值法求变力做功 考向3：图像法求变力做功 考向4：平均力法求变力做功 考向5：动能定理求变力做功 【考点4：功率的定义及公式】 考向1：平均功率和瞬时功率的基本计算 【考点5：机车启动模型】 考向1：以恒定加速度启动 考向2：以恒定功率启动 考点1：功的定义及公式 1.功的定义 力与在力的方向上位移的 。 2.功的两个要素 ①作用在物体上的 ；②物体在力的方向上发生的 。 3.物理意义 功是能量 的量度。 4.标矢性 功是 量，虽有正负之分，但 方向，功的运算遵循 法则。 5.功是过程量 描述了力的作用效果在 上的累积，它总与一个具体过程相联系。 6.功的单位 在国际单位制中，是 ，简称 ，符号是 。另外还有电子伏、千瓦时等。它们之间的换算关系1eV=1.6×10-19J，1KWh= J。 7.恒力做功的公式 W＝ ，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功）。 对cosα的两种理解角度 把力按沿 方向与 方向分解，垂直位移方向的力不做功： W＝F∥l＝Fcos α·l 把位移按沿 方向与 分解．在垂直力方向的位移上力不做功： W＝Fl∥＝Flcos α 应用公式注意 ①式中的F一定是恒力（大小、方向都不变），即此式是求恒力做功的公式。 ②式中的位移l一般是相对 而言的。 ③力F与位移l具有同时性：只与有力作用的那一段位移有关，若力取消后物体仍在运动，则与力取消后物体发生的位移 。 ④力F对物体做的功只与F、l和α三者有关，与物体的 等因素无关。 8.合力功 方法一 当合力F为恒力时，先求 ，再用W合＝F合lcos α，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二 先求各个 做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 9.正功和负功 夹角 功的正负 0≤α＜90° 力对物体做 90°＜α≤180° 力对物体做 ，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体 10.判断力是否做功及做正、负功的方法 恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据 与 的夹角来判断 曲线运动中功的判断 若物体做曲线运动，依据 与 的方向夹角来判断。当0≤α<90°，力对物体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功 根据动能的变化 动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝Ek末－Ek初，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功 依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断 ①功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小。既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。比较做功多少时，只比较功的 ，不看功的 。例如，－8J的功要比5J的功多。 ②正功表示物体在这个过程中的力是 ，对物体起推动作用，使物体的能量 。负功表示物体在这个过程中的力是 ，对物体的运动起阻碍作用，使物体的能量 。 ③一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值），这两种说法在意义上是等同的。如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了 J的功。 考点2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 1．静摩擦力做功分析 总结 ①静摩擦力可以做 ，也可以做 ，还可以 。 ②一对静摩擦力做功的代数和一定为 。 功能关系 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体 到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量。 2．滑动摩擦力做功的特点 总结 ①滑动摩擦力可以对物体做 ，也可以做 ，还可以 。 ②一对滑动摩擦力做的总功一定是 。 功能关系 ①一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ⅰ．机械能 转化为内能； ⅱ．有一部分机械能在相互摩擦的物体间 ，另外一部分转化为 。 ②一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功总为负值，系统损失的机械能转变成内能。 ③摩擦生热的计算：ΔQ＝ 。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程。 ①无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都代入物体相对于地面的位移。 ②摩擦生热ΔQ＝Fs相对中，若物体做往复运动时，则s相对为总的 。 3．作用力、反作用力做功的特点 ①作用力、反作用力作用下的物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向相同方向运动，也可能一个运动而另一个静止，还可能两物体都静止。 ②由W＝Flcosα可以判断，作用力与反作用力的功的特点是：没有必然关系，即 是一正一负，绝对值也 相等。即一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为 ，可能为 ，也可能为 。 4.一对平衡力做功的特点 一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都 ；若物体运动，则这一对力所做的功在数值上一定 ，一 一 或均为 。 考向1：功的正负及其计算 【针对训练1】（2026·四川成都·二模）“耍花盘”是中国杂技最具代表性的项目之一。如图所示，小物块放在水平瓷盘边缘，杂技演员用竿顶住瓷盘圆心A，小物块随瓷盘一起在水平面内绕圆心A做圆周运动。在小物块的线速度从零均匀增大到刚要相对瓷盘滑动的过程中，小物块受到的静摩擦力（　　） A．对小物块做正功 B．对小物块不做功 C．方向指向圆心A D．方向指向所在位置的切线方向 【针对训练2】（多选）（2026·湖南长沙·三模）如图所示，将一个大小为与水平方向成角的力作用在一个质量为的物体上，物体沿水平地面匀速前进了，，下面关于物体所受各力做功说法正确的是（　　） A．力对物体做功为 B．摩擦力对物体做功为 C．重力做功为 D．合力做功为 【针对训练3】（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一质量为m的人正用水平恒力F向前推车厢在车以恒定加速度a向前水平加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为FL C．车对人的摩擦力做的功为(F+ma)L D．车对人的作用力大小为ma 考向2：关于摩擦力、相互作用力、平衡力的功 【针对训练4】（多选）下列说法正确的是（　　） A．当作用力做正功时，反作用力可能也做正功 B．一对平衡力做功的总和一定为零 C．一对相互作用的滑动摩擦力做功的总和一定为零 D．当人从蹲在地上至站起来的过程中，地面对人脚的支持力做正功 【针对训练5】（多选）关于物体所受摩擦力对物体做功的问题，以下说法中正确的是（　　） A．物体运动过程中所受滑动摩擦力总是对物体做负功 B．物体运动过程中所受滑动摩擦力可能对物体不做功 C．物体运动过程中所受滑动摩擦力做的功不一定等于因摩擦而产生的热 D．物体运动过程中所受静摩擦力有可能对物体做功 考点3：变力做功 ①利用“微元法”求变力的功 物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解 不变、 改变的变力做功问题。 ②等值法求变力做功 若通过转换研究的对象，有时可化变力为恒力做功。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 ③利用F–x图象求变力的功 在F–x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为 ，位于x轴下方的“面积”为 ，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形） ④利用平均力求变力的功 在求解变力做功时，若物体受到的力 不变，而大小随位移呈 变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcosα求此力所做的功。 ⑤利用动能定理求变力的功 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。 考向1：微元法求变力做功 【针对训练6】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄上施加方向总与垂直、大小为的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知点到转轴的距离为，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（    ） A．0 B． C． D． 【针对训练7】（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 考向2：等值法求变力做功 【针对训练8】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【针对训练9】人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 考向3：图像法求变力做功 【针对训练10】图甲为用无人机吊运脐橙的情境，一段时间内，无人机从距地面处沿竖直方向上升到距地面处。该段时间内，连接无人机的主绳上拉力F随高度x变化的图像如图乙所示，主绳始终竖直，则这段时间，主绳上拉力F做功为（　　） A． B． C． D． 【针对训练11】如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 考向4：平均力法求变力做功 【针对训练12】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 【针对训练13】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 考向5：动能定理求变力做功 【针对训练14】（2026·湖南长沙·三模）某校高一年级某班同学做了如图所示实验，长为的木板水平放置，在木板的端放置一个质量为的小物块，现缓慢地抬高端，使木板以左端为轴转动，转至与水平面的夹角为（弧度） ，在整个过程中，小物块与木板保持相对静止。下列说法正确的是（     ） A．摩擦力对小物块做功为零 B．摩擦力对小物块做功为 C．支持力对小物块做功为零 D．支持力对小物块做功为 【针对训练15】（2026·陕西商洛·模拟预测）如图所示，一质量为m的物块（视为质点）静置于水平放置的转盘上，物块所处的位置到转盘中心轴的距离为r。现使转盘绕中心轴转动，转动的角速度ω从0开始逐渐增加至ω0过程中，物块与转盘始终相对静止，则在此过程中，转盘对物块的作用力对物块所做的功为（　　） A． B． C． D．0 考点4：功率的定义及公式 1.定义 功与完成这些功所用时间的 。 2.物理意义 标量，描述力对物体做功的快慢。只有 值，没有 值。 3.定义式 P＝ ，P为时间t内的平均功率。 4.单位 国际单位是瓦特，符号是 ，常用的单位还有 。 平均功率和瞬时功率 区别 平均功率 瞬时功率 定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率 意义 反映物体在某一段时间内做功的快慢 反映物体在某一时刻做功的快慢 计算 ①利用＝。 ②利用＝ ，其中为物体运动的平均速度。 ①利用公式P＝ ，其中v为t时刻的瞬时速度。 ②P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 ③P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 5.额定功率和实际功率 额定功率 实际功率 定义 发动机正常条件下长时间工作时的 功率 机械实际工作时输出的功率 特点 不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定功率不变 同一机械实际功率随工作情况而变化 联系 为了机械的安全，P额 P实。 6．公式P =Fv的制约关系 定值 各量的关系 应用 F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 P一定 F与v成反比 汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；反之则必须减小牵引力 考向1：平均功率和瞬时功率的基本计算 【针对训练16】（2026·湖北襄阳·二模）某城市广场喷泉喷出水柱的场景，从远处看，喷泉喷出的水柱约有30层楼的高度；走近看，喷管的直径约为，重力加速度取，水的密度为。据此可估算用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为（　　） A． B． C． D． 【针对训练17】（2026·河北邢台·三模）如图甲为一玩具竹筒水车，用长度相同的竹竿将竹筒固定在同一个转轴上，水流冲击竹筒时，所有竹筒在竖直平面内做半径相等的匀速圆周运动，不计空气阻力及竹筒中水的质量，简化如图乙所示，A、B分别为最高点和最低点，下列说法正确的是（     ） A．竹筒转动一圈，重力对其做的功不为零 B．竹筒经过A点时，所受重力的瞬时功率不为零 C．从B到A的过程竹竿对竹筒做的功小于竹筒重力势能的增加量 D．从A到B的过程，水流速度越大，竹筒重力对竹筒做功的平均功率越大 【针对训练18】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由点削出，从到与从到的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该面片从到的速度变化率比到的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从到P与从到过程，重力做功的平均功率之比为4：13 考点5：机车启动模型 1.以恒定功率启动[ 汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式P = Fv知：牵引力F较 ，因而由牛顿第二定律F– f = ma知，汽车的加速度较 。随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将 ，加速度 ，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断 ，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力F和阻力f 为止。汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F–f = 0，加速度a＝0，汽车的速度达到 vm。汽车的运动形式是做加速度越来越 的 直线运动，最终做 直线运动，其速度–时间图像如图所示。 2.以恒定牵引力启动 由于牵引力F恒定，根据牛顿第二定律F–f = ma，可知：加速度a恒定，汽车作 直线运动，随着时间的推移，实际功率将不断 ．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的匀加速直线运动只能维持到其实际功率 其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的 速度v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，速度达到最终的最大速度vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是 直线运动阶段，二是 直线运动阶段，最终做 直线运动，其速度–时间图像如图所示。 3.三个重要关系式 （1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 （式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）。 （2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度v′m＝，时间t＝。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即v＝＜vm＝。 （3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk．此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 ①汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率Pt=Fvt＜P额。在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率Pt等于额定功率P额，且满足Pt=P额=Fv1。在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率。 ②从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有 （W牵、s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功W'牵= P额t2（t2表示变加速直线运动阶段所经历的时间）， （s2为变加速直线运动阶段的位移）。 ③在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也不是阻力。 考向1：以恒定加速度启动 【针对训练19】（2026·四川资阳·三模）如图甲所示，电动机通过绕过定滑轮的轻细绳，与放在倾角为足够长的光滑斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在时间内物体运动的图像如图乙所示，其中除时间段图像为曲线外，其余时间段的图像均为直线，后电动机的输出功率保持不变；已知物体的质量为，不计一切摩擦，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．在内电动机牵引力大小处于范围内 B．后电动机的输出功率为 C．物体达到的最大速度大于 D．内物体沿斜面向上运动了 【针对训练20】（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）如图为牵引力和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，设其最大车速为，下列说法正确的是（    ） A．汽车所受阻力为 B．汽车车速为时，功率为 C．汽车匀加速运动时的加速度为 D．汽车匀加速所需时间为 考向2：以恒定功率启动 【针对训练21】（2026·河南焦作·一模）电动平衡车因时尚、便捷而深受青年人的喜爱。如图所示，一人驾驶平衡车在平直的路面上以恒定功率启动，行驶距离后开始匀速行驶。已知人和平衡车的总质量为m，所受阻力恒为，则平衡车从启动到刚匀速行驶的时间为（　　） A． B． C． D． 【针对训练22】中国“智造”的复兴号动车组是中国高铁“金名片”，标志着中国已全面掌握高铁关键核心技术。假设质量为的高铁列车在平直铁路上以额定功率启动，且行驶过程中受到的阻力恒定，最高行驶速度为。下列说法正确的是（     ） A．在加速阶段，列车的加速度保持不变 B．行驶过程中列车受到的阻力大小为 C．当列车的速度大小为时，列车的加速度大小为 D．从启动到速度大小为的过程中，列车所受牵引力做的功为 【真题1】（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为的斜坡上，某同学最多能拉着质量为的物体以恒定速度沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，最多能拉着质量为的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（      ） A． B． C． D． 【真题2】（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能进行了测试。在时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从加速到，假定马车所受阻力不变，则马车运动的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【真题3】（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为的物块在拉力作用下，以初速度由原点出发，沿轴依次经过、、三点。已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为，，随位置的变化如图（b）所示。设物块经过、两点时的瞬时功率分别为、，经过、、段的平均功率分别为、、，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【真题4】（多选）（2025·海南·高考真题）一起重机将质量为m的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（    ） A．匀加速的最大速度为 B．集装箱的机械能增加 C．起重机的最大输出功率为 D．起重机对集装箱的作用力为 【真题5】（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角为，，。当每条绳子拉力的大小为时，人与木板沿直线匀速前进，在内前进了，求此过程中 (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 一、单选题 1．下列关于功的说法中正确的是（     ） A．静摩擦力对物体可能做正功 B．一个力作用在物体上，如果这个力做功为零，则该物体一定处于静止状态 C．由于功是标量，所以+16J的功大于-30J的功 D．相互接触的两物体间一对滑动摩擦力做功之和一定等于零 2．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力随物块所在位置坐标的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到处时所做的总功为（    ） A．0 B． C． D． 3．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（　　）    A．A所受的合外力对A不做功 B．B对A的弹力做正功 C．B对A的摩擦力做正功 D．A对B的正压力等于A的重力 5．（2026·重庆·三模）如图甲是无人机快递运输和配送的测试现场，已知质量为2kg的邮件在被无人机从地面吊起后，在竖直方向上运动的图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），重力加速度g取，不计邮件所受空气阻力。则（　　） A．在46s时邮件上升到最大高度 B．邮件在的过程中处于失重状态 C．在内邮件上升的高度为10 m D．在内拉力对邮件做负功 6．（2026·辽宁沈阳·三模）某电动汽车在平直路面上做性能测试，将运动简化处理后，其图像如图所示。若整个过程中汽车受到的阻力恒定，则下列关于汽车牵引功率随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·湖南怀化·三模）如图所示，工人师傅利用两根绳子把空调拉到安装位置。两根绳子的一端均固定在空调上，其中一根绳子的另一端固定于墙上点，另一根绳子的一端在工人手上。工人在处收绳子，空调由处匀速率运动到处的过程，克服重力做功的功率变化情况为（     ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 8．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）电动方程式（FormulaE）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在内的位移为 B．赛车在加速过程中牵引力保持不变 C．当速度时，其加速度为 D．该赛车的最大速度是 9．如图所示，质量为m的滑块静止在水平面上，并通过一长为l的轻绳与水平面上的O点相连。现对滑块施加一个平行于水平面且大小不变的拉力F，使滑块从A点运动到B点，整个过程中轻绳始终绷紧。已知OA与OB的夹角为，拉力F的方向始终与滑块的运动方向成角，滑块可看作质点且与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力，。在该过程中（　　） A．拉力F对滑块做的功为 B．拉力F对滑块做的功为 C．滑块克服摩擦力做的功为 D．滑块克服摩擦力做的功为 10．（2025·湖南岳阳·三模）一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于轴，汽车匀速运动阶段的速度为。根据图像，下列说法正确的是（　　） A．速度增大到的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当时， B．汽车与地面间的摩擦力大小为 C．在OA段汽车的位移为 D．若AB段汽车的位移为，则AB段汽车运动的时间 11．如图甲，一倾角的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面下端有一固定挡板，挡板与轻弹簧连接。现将物块P和Q置于斜面上，物块P与弹簧连接，与Q不粘连，稳定时P、Q两物块恰好不下滑。从时开始，对Q施加一平行斜面向上的力使其沿斜面向上做匀加速直线运动，力随时间变化如图乙所示。已知两物块均可视为质点，质量分别为和，与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度，，，则（     ） A．Q的加速度大小为 B．图乙的大小为 C．弹簧的劲度系数为 D．到的过程中，力做的功为 二、多选题 12．倾角均为的传送带甲、乙以相同的速率顺时针转动，甲、乙传送带顶端与底端之间的高度差相同，现将完全相同的两个小物块（视为质点）分别轻放在两传送带底端，小物块在甲传送带上到达顶端时恰好与传送带共速，小物块在乙传送带上到达顶端前已经与传送带共速，则小物块在甲、乙传送带上运动的整个过程中（    ） A．甲、乙传送带与小物块之间的动摩擦因数不同 B．甲、乙传送带对小物块做功相等 C．将小物块传送到顶端时，甲传送带消耗的电能比乙传送带多 D．将小物块传送到顶端时，甲传送带因摩擦而产生的热量比乙传送带少 13．（2026·陕西西安·一模）如图所示，一个铁架台静止放置在粗糙的水平桌面上，在其支架上端的一固定横杆上通过一根不可伸长的轻绳悬挂一个小钢球。现将小钢球拉至水平位置A处由静止释放，使其在竖直平面内摆动，铁架台始终保持静止。不计空气阻力，小钢球的半径可忽略不计，关于小钢球从被释放到运动到最低点B处的过程，下列说法正确的是（     ） A．轻绳的拉力一直增大 B．小钢球重力的功率先增大后减小 C．铁架台对桌面的压力先增大后减小 D．桌面对铁架台的摩擦力先减小后增大 14．如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示，x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（　　）    A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动 B．工件向右运动2x0后与弹簧分离 C．弹簧的劲度系数为 D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $