精品解析：河南南阳市唐河县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末考前错题练数学试题

2026年春高一期末考前错题练 数学试题 一、选择题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数,进而得到其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】， 因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，利用复数的除法法则将复数化为一般形式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系判断各个选项即可. 【详解】m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，，则或异面或相交，A选项错误； 若，，，所以，即，B选项正确； 若，，，则可以平行，C选项错误； 若，，，则可以相交，D选项错误； 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 4. 如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，同一基底的系数对应相等，所以可建立关于和的方程组，求解得到. 【详解】因为点关于点的对称点为，所以是线段的中点，根据向量中点公式： 整理得： ， 由线段比例得的表达式：已知在线段上，且，因此： ， 利用三点共线列方程 三点共线，因此存在实数使得. 因为， 已知，因此， 代入得： ， 因为与不共线，根据平面向量基本定理， ，​ 先解得​，代入第一个方程得. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（ ） A. 518 B. C. 350 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正四棱台的几何特征求出高，再代入棱台体积公式计算即可． 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为； 上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为； 已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高； 计算体积： 上底面面积，下底面面积， 代入棱台体积公式 ． 6. 如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解. 【详解】如图， 作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l． 则,, 设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ， 由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝． 故选：C 【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 7. 已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 8. 如图（1），函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图（2），若折叠后、两点间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，利用面面垂直的性质定理得出，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，再由函数在轴右侧附近单调递减，结合可求得的值，进而可得出函数的解析式即可． 【详解】如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接． 因为的最小正周期，所以， 又因为，所以， 当折成直二面角时，即平面平面， 因为，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故， 所以，解得(负值舍去)， 故． 因为，且，所以或， 又因为在轴右侧附近单调递减，所以，则， 所以． 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的运算逐项判断可得. 【详解】设 ， 对于A，有 ，正确； 对于B，若 ，则有 ， 比如 ，则有 ，但 ，错误； 对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ， 则 ， 代入①，整理得 ，故 ， ； 若 ，则 或 ，若 代入①得 ， 若 代入①得 ， 综上，C 正确； 对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ， 比如 ，则 ， ，错误； 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得B，C的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断A，D的正误. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在，，所以，则与不垂直，故A错误； 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接， 则，，即平面，平面， 所以， 又平面，则平面， ，故B正确； 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 所以，故C正确； 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则，又，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 又，，， 因为，故不是直角，所以与不垂直，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角为 C. 三棱台的体积为 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：构建以为斜边的直角三角形，使用勾股定理即可判断；选项B：根据，得到异面直线和所成角为或其补角，证明是等边三角形即可判断；选项C：计算出上底面和下底面等腰直角三角形的面积，代入棱台公式即可判断；选项D：找出二面角的平面角，利用直角三角形中非直角的角的正切值公式计算即可判断. 【详解】选项A：取中点，连接，，， ，故，且， 得四边形是平行四边形，， 依题意，平面，则平面， 结合平面，可得， 根据勾股定理，，选项A正确； 选项B：根据棱台性质，， 故异面直线和所成角为或其补角， 根据勾股定理，， ，， 即是等边三角形，， 故异面直线和所成角为，选项B正确； 选项C：依题意，是直角边长为2的等腰直角三角形， 因此，是直角边长为1的等腰直角三角形， 因此，故根据棱台公式， 三棱台的体积为，选项C错误； 选项D：取中点，是等腰直角三角形， 是等边三角形，根据三线合一的性质可得，， 因此二面角的平面角为， 平面，平面， 故，， 即二面角的正切值为，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据向量等式推出，并得到.接着由坐标求其模长，再根据投影向量条件算出.然后用向量数量积公式求出与夹角.最后结合前面的结论，求出与的夹角. 【详解】因为，即，所以， 且，即． 由，得，因为向量在上的投影向量为， 由题意得，所以．设向量与的夹角为， 因为，所以， 所以，即与的夹角是．所以与的夹角是或. 故答案为：或. 13. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 14. 如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用余弦定理求，判断为等腰三角形，进一步可求，再根据，结合比例的性质可求的长. 【详解】在中，由余弦定理可得：， 即，又，所以. 因为，平分，所以，所以. 在中，因为，所以. 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（共6小题） 15. 在复平面内，复数对应的点为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解； （2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 为纯虚数，， 解得. 【小问2详解】 设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，再根据对称轴方程计算即可； （2）根据（1）中函数的关系式，进一步结合诱导公式二倍角公式计算即可． 【小问1详解】 由，可得， 所以图象的对称轴方程为； 【小问2详解】 由（1）知， 由，可得， 所以 ， 17. （1）求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． （2）如图，在正方体中，求证： ①平面； ②与平面的交点设为H，则点H是的重心． 【答案】（1）证明：如图，在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线． ，，，， ， 又n在内，，，，即得证． （2）①连接，则，又平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 同理可证， 因为，平面， 所以平面． ②连接，BH，，由，得， 因此点H为的外心． 又为正三角形，所以H是的中心， 也是的重心． 【解析】 【分析】（1）用线面垂直的性质和平行的传递性证明垂直. （2）线面垂直的判定及正三角形的多心合一进行判定. 【详解】【第一小问详解】 略 【第二小问详解】 略 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春高一期末考前错题练 数学试题 一、选择题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 4. 如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（ ） A. 518 B. C. 350 D. 6. 如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1），函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图（2），若折叠后、两点间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角为 C. 三棱台的体积为 D. 二面角的正切值为 三、填空题 12. 设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______． 13. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 14. 如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________. 四、解答题（共6小题） 15. 在复平面内，复数对应的点为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，求的值. 17. （1）求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． （2）如图，在正方体中，求证： ①平面； ②与平面的交点设为H，则点H是的重心． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $