2026-2027学年八年级数学上册期中测试（测试范围：第1章—第3章）

**基本信息** 融合文化传承与现实应用，通过《增删算法统宗》古题、油纸伞三角形结构、秋千摆动等情境，考查三角形、实数、勾股定理核心知识，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|无理数判断、勾股定理应用|结合角平分仪操作考查全等判定，体现推理能力| |填空|10/20|三角形稳定性、等腰三角形周长|以通信基站构件考勾股定理与面积关系，强化空间观念| |解答|9/64|实数运算、三角形全等证明|秋千问题用勾股定理解决实际高度，27题创新“顶补等腰三角形”概念，发展创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—3章（三角形、实数的初步认识、勾股定理）总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．，， D．6，8，10 4．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．16的平方根是_____． 10．比较大小：______3（填“”，“”或“”） 11．晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 12．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 14．如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 15．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 16．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 17．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 18．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算：． 20．（8分）求出下列等式中x的值： (1) (2) 21．（6分）如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 22．（6分）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 23．（6分）已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 24．（6分）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 25．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 26．（9分）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)连接、，若，求证：是等边三角形． 27．（9分）若和为顶角共顶点的等腰三角形，且，当即顶角互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高叫做的“补高”． (1)如图1，与互为“顶补等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，，判断与是否互为“顶补等腰三角形”__________（填“是”或“否”）； ②当时，的“补高”为，判断与的数量关系，并证明； (2)如图2，已知中，．若，请作出一个，使得其与互为“顶补等腰三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)如图3，某社区规划了一块四边形休闲用地，由、、、四个点围成，点是该地块的中心纽带，且点到、、、四点的距离相等．现测得，，若已知米，米，则该四边形休闲用地的面积为__________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—3章（三角形、实数的初步认识、勾股定理）总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，中，只有是无理数，其他三个数均为有理数. 2．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根与立方根的定义分别计算每个选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、∵负数没有算术平方根，∴无意义，D错误． 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理，验证各组数中两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可得出结论． 【详解】解：∵ 对于选项A，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项B，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项C，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项D，最长边长为，，，满足， ∴能构成直角三角形，符合题意． 4．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可得到结果． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 四个选项中只有在该范围内，因此第三边长可以是． 5．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 6．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积得到的长，进而得到的长，再用点表示的数加上的长即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点所表示的数为 ． 7．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论：当设门宽为时，竹竿长为，则门高为；当设竿长为时，门宽为，门高为；当设门高为时，竹竿长为，则门宽为；运用勾股定理的知识列式即可求解． 【详解】解：设门的宽、高和竿长其中一个为尺， 当设门宽为时，竹竿长为，则门高为， ∵将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门，且门的四个角均为直角， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当设竿长为时，门宽为，则门高为， ∴，故D选项正确，不符合题意； 当设门高为时，竹竿长为，则门宽为， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据B选项，结合图示得到，表示竹竿长为，表示门的高为， ∴B选项错误，符合题意 ． 8．如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长，，两线交于点F，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可； 【详解】解：延长，，两线交于点F， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是斜边的中线， ∴. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．16的平方根是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10．比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． 11．晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的基本性质，根据题干中三角形结构保持稳定的描述，结合三角形的特性即可作答． 【详解】解：三角形具有稳定性，能够使结构稳固不易变形，因此该设计利用的数学原理是三角形具有稳定性． 12．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 14．如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 由点为斜边的中点， ． 15．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是. 16．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 【答案】 24 【分析】由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴． 17．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 【答案】 【分析】连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算：． 【答案】 【详解】解：．（6分） 20．（8分）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项变形，将方程整理为，再开立方求解． 【详解】（1）解：， ， 故或， 解得，．（4分） （2）解：， ， ， 解得．（8分） 21．（6分）如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 【答案】证明：∵， ∴， ∴，                在和中，，，， ∴，                ∴． 【分析】证明即可解答； 【详解】略（6分） 22．（6分）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴的算术平方根为．（6分） 23．（6分）已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点P满足，所以点P在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，其与边的交点即为所求点P． （2）点Q满足到的距离等于，说明Q在的角平分线上，作的角平分线，其与边的交点即为所求点Q． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点P， 点P即为所求， 理由：由作图知，垂直平分， ∴，（3分） （2）解：作的平分线，交边于点Q， 点Q即为所求， 理由：过点Q作于点R， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴．（6分） 24．（6分）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线；（3分） （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分．（6分） 25．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是；（4分） （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为．（8分） 26．（9分）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)连接、，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意可得，根据是线段的中点，得到，，推出，结合是线段的中点，即可得证； （2）由，，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）由题意可得，进而得到，由，是线段的中点，得到，，推出，，根据三角形的外角性质可得，，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：、分别是、边上的高， ， 是线段的中点， ，， ， 是线段的中点， ；（3分） （2）解：， ， ，是线段的中点， ， ， ；（6分） （3）证明：，、分别是、边上的高， ， ， ，是线段的中点， ，， ，， ，， ， 由（1）得， 是等边三角形． （9分） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 27．（9分）若和为顶角共顶点的等腰三角形，且，当即顶角互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高叫做的“补高”． (1)如图1，与互为“顶补等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，，判断与是否互为“顶补等腰三角形”__________（填“是”或“否”）； ②当时，的“补高”为，判断与的数量关系，并证明； (2)如图2，已知中，．若，请作出一个，使得其与互为“顶补等腰三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)如图3，某社区规划了一块四边形休闲用地，由、、、四个点围成，点是该地块的中心纽带，且点到、、、四点的距离相等．现测得，，若已知米，米，则该四边形休闲用地的面积为__________． 【答案】(1)①互余；是；②，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①和互为“顶补等腰三角形”即可得到与也是互为“顶补等腰三角形”； ②过A点作，利用和互为“顶补等腰三角形”寻找条件证明，即可得到； （2）延长，根据作一个角等于已知角的方法，使得，再截取，即可求解； （3）连接，延长至使得，连接，先证明是等边三角形则，，进而证明，，可得，勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：①与是互为“顶补等腰三角形”，理由如下： 连接，，如图所示， ∵， ∴与都是等腰三角形，且， ∵， 又∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴和互补，即， ∴， ∴与互为“顶补等腰三角形”， ∴ ∴和的关系是互余； ②与之间的数量关系，证明如下： 如图所示，过A点作， ∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）解：如图所示，即为所求； 方法1：； 方法2：（6分） （3）解：如图，连接，延长至使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得,， ∴， ∴， ∴该四边形休闲用地的面积为．（9分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—3章（三角形、实数的初步认识、勾股定理）总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．，， D．6，8，10 4．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．16的平方根是_____． 10．比较大小：______3（填“”，“”或“”） 11．晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 12．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 14．如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 15．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 16．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 17．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 18．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算：． 20．（8分）求出下列等式中x的值： (1) (2) 21．（6分）如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 22．（6分）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 23．（6分）已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 24．（6分）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 25．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 26．（9分）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)连接、，若，求证：是等边三角形． 27．（9分）若和为顶角共顶点的等腰三角形，且，当即顶角互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高叫做的“补高”． (1)如图1，与互为“顶补等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，，判断与是否互为“顶补等腰三角形”__________（填“是”或“否”）； ②当时，的“补高”为，判断与的数量关系，并证明； (2)如图2，已知中，．若，请作出一个，使得其与互为“顶补等腰三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)如图3，某社区规划了一块四边形休闲用地，由、、、四个点围成，点是该地块的中心纽带，且点到、、、四点的距离相等．现测得，，若已知米，米，则该四边形休闲用地的面积为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—3章（三角形、实数的初步认识、勾股定理）总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B C B B B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. 11. 三角形具有稳定性 12. 13. 22 14. 5 15. 16.24 17.11 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】 【详解】解：．（6分） 20．（8分） 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项变形，将方程整理为，再开立方求解． 【详解】（1）解：， ， 故或， 解得，．（4分） （2）解：， ， ， 解得．（8分） 21．（6分） 【答案】证明：∵， ∴， ∴，                在和中，，，， ∴，                ∴． 【分析】证明即可解答； 【详解】略（6分） 22．（6分） 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴的算术平方根为．（6分） 23．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点P满足，所以点P在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，其与边的交点即为所求点P． （2）点Q满足到的距离等于，说明Q在的角平分线上，作的角平分线，其与边的交点即为所求点Q． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点P， 点P即为所求， 理由：由作图知，垂直平分， ∴，（3分） （2）解：作的平分线，交边于点Q， 点Q即为所求， 理由：过点Q作于点R， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线；（3分） （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分．（6分） 25．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是；（4分） （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为．（8分） 26．（9分） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意可得，根据是线段的中点，得到，，推出，结合是线段的中点，即可得证； （2）由，，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）由题意可得，进而得到，由，是线段的中点，得到，，推出，，根据三角形的外角性质可得，，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：、分别是、边上的高， ， 是线段的中点， ，， ， 是线段的中点， ；（3分） （2）解：， ， ，是线段的中点， ， ， ；（6分） （3）证明：，、分别是、边上的高， ， ， ，是线段的中点， ，， ，， ，， ， 由（1）得， 是等边三角形． （9分） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 27．（9分） 【答案】(1)①互余；是；②，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①和互为“顶补等腰三角形”即可得到与也是互为“顶补等腰三角形”； ②过A点作，利用和互为“顶补等腰三角形”寻找条件证明，即可得到； （2）延长，根据作一个角等于已知角的方法，使得，再截取，即可求解； （3）连接，延长至使得，连接，先证明是等边三角形则，，进而证明，，可得，勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：①与是互为“顶补等腰三角形”，理由如下： 连接，，如图所示， ∵， ∴与都是等腰三角形，且， ∵， 又∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴和互补，即， ∴， ∴与互为“顶补等腰三角形”， ∴ ∴和的关系是互余； ②与之间的数量关系，证明如下： 如图所示，过A点作， ∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）解：如图所示，即为所求； 方法1：； 方法2：（6分） （3）解：如图，连接，延长至使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得,， ∴， ∴， ∴该四边形休闲用地的面积为．（9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $