暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用---2026年新高二数学人教A版暑假预习讲义

暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用讲义 暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用讲义 考点目录 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 考点一 空间向量的数量积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 已知两个非零向量 ，夹角 ，数量积： · 零向量与任意向量数量积为 。 1. 运算律 ① 交换律： ② 数乘结合： ③ 分配律： ⚠️ 不满足结合律： 1. 基础衍生公式 · 向量模长： · 夹角余弦： · 垂直等价条件： 二、解题原理 1. 基底法：用一组基底表示两向量，展开数量积，代入基底模长、基底间夹角计算； 1. 坐标法：建系写出向量坐标，直接对应坐标相乘再求和； 1. 区分概念：区分数量积（实数）与数乘向量（向量），不可混淆。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 例2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 例3．（24-25高二下·安徽·阶段检测）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 例4．（24-25高二下·广东东莞·阶段检测）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】由题可知，，再结合空间斯坦纳定理：，再代入计算即可． 【详解】解：如图， 因为在底面上的射影为的外心，所以， 由空间斯坦纳定理：． 故答案为：． 例5．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段检测）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 变式2．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】用空间向量的数量积及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】如图，因为，，所以． 作，垂足为，连接， 则或． 易知 . 因为， 所以原式. 若，则， 若，则， 故选：A 变式3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 变式4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 变式5．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 【答案】0 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故，解得. 即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故答案为：0. 考点二 空间向量数量积的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 应用 1：证明线线垂直 两直线方向向量点积为 ，则两直线垂直（相交垂直/异面垂直都适用）。 应用 2：求线段长度（距离） 线段对应向量 ，，可求棱长、两点间距离。 应用 3：求两向量夹角/异面直线夹角 异面直线夹角取锐角或直角：。 应用 4：求向量投影 在 上的投影数量：。 应用 5：配合基底解决无垂直几何体 无两两垂直棱、无法建系时，选取基底，用数量积证垂直、求长度、求角度。 二、解题原理 1. 证垂直：提取两条直线方向向量，计算数量积，结果为 即可证垂直； 1. 求长度：把目标线段写成向量，自乘开根号； 1. 求异面直线角：先算向量夹角余弦，再取绝对值得到线线角余弦； 1. 基底运算步骤：拆分向量→展开数量积→代入已知模长与基底夹角→化简求值； 1. 坐标运算步骤：建系写坐标→代入数量积公式→结合模长公式求角度、距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 例2．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 例3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，根据三角形中位线以及线面平行的判定定理证明即可； （2）利用已知条件及线面垂直的性质先证明，然后利用向量数量积证明，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：连接，设与交于点，连接，如图所示： 因为是平行四边形，所以是的中点， 又是中点，在中，是中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是中点，且，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中， 因为，所以四边形为正方形， 又，， 且，是中点， 设，则， 所以 ， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 例4．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 变式2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 变式3．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 变式4．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【详解】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用讲义 暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用讲义 考点目录 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 考点一 空间向量的数量积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 已知两个非零向量 ，夹角 ，数量积： · 零向量与任意向量数量积为 。 1. 运算律 ① 交换律： ② 数乘结合： ③ 分配律： ⚠️ 不满足结合律： 1. 基础衍生公式 · 向量模长： · 夹角余弦： · 垂直等价条件： 二、解题原理 1. 基底法：用一组基底表示两向量，展开数量积，代入基底模长、基底间夹角计算； 1. 坐标法：建系写出向量坐标，直接对应坐标相乘再求和； 1. 区分概念：区分数量积（实数）与数乘向量（向量），不可混淆。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 例2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·安徽·阶段检测）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 例4．（24-25高二下·广东东莞·阶段检测）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 例5．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段检测）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 变式3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 变式4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 变式5．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 考点二 空间向量数量积的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 应用 1：证明线线垂直 两直线方向向量点积为 ，则两直线垂直（相交垂直/异面垂直都适用）。 应用 2：求线段长度（距离） 线段对应向量 ，，可求棱长、两点间距离。 应用 3：求两向量夹角/异面直线夹角 异面直线夹角取锐角或直角：。 应用 4：求向量投影 在 上的投影数量：。 应用 5：配合基底解决无垂直几何体 无两两垂直棱、无法建系时，选取基底，用数量积证垂直、求长度、求角度。 二、解题原理 1. 证垂直：提取两条直线方向向量，计算数量积，结果为 即可证垂直； 1. 求长度：把目标线段写成向量，自乘开根号； 1. 求异面直线角：先算向量夹角余弦，再取绝对值得到线线角余弦； 1. 基底运算步骤：拆分向量→展开数量积→代入已知模长与基底夹角→化简求值； 1. 坐标运算步骤：建系写坐标→代入数量积公式→结合模长公式求角度、距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 例2．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 例3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 例4．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 变式2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 变式3．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 变式4．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $