暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点-2026年新高二数学人教A版暑假预习讲义

暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点讲义 暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点讲义 考点目录 求平面的法向量 空间向量平行的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 空间位置关系的向量证明 考点一 求平面的法向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：若向量 垂直于平面 内任意两条不共线向量，则 为平面 的法向量。 1. 条件：平面内取两相交向量 ，设法向量 ，满足： 1. 性质：一个平面有无穷多法向量，彼此互相平行；法向量可整体放大缩小，只需取一组最简整数解。 二、解题原理 1. 在平面中任选两个不共线向量； 1. 设出法向量坐标，联立两个点积为 0 的方程； 1. 方程组有无穷解，任选一个变量赋值（常令 或 ），求出另外两个变量； 1. 得到一组最简法向量，正负均可使用。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    例2．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 例3．（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 变式3．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 考点二 空间向量平行的坐标表示 【知识点解析】 一、核心知识点 设 ， 1. 充要条件：存在实数 ，使 ，即 1. 比例形式： 1. 特殊处理：若某一分母为 0，则对应分子也必须为 0。 二、解题原理 1. 证明两直线平行：取两条直线方向向量，证向量平行； 1. 证明线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行； 1. 证明面面平行：两个平面的法向量互相平行； 1. 已知向量平行求参数：列比例等式解方程，分母为 0 单独讨论。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【详解】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 答案：6. 例2．（25-26高二上·北京·期中）已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行向量的性质列出式子即可求出. 【详解】，，， 当时，设，即，解得、， ， 故选：. 例3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 例4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知，，三点共线，则__________. 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由，，可得：，, 因为，，三点共线， 所以， 即，解得， 所以， 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分别求出的坐标，利用空间向量共线的充要条件即可求出结果. 【详解】由题意得， 因为， 所以，解得. 故选：B. 变式2．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 变式3．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 【答案】2 【分析】根据题意得，则，再解方程即可． 【详解】，， ，解得，． 故答案为：2． 变式4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知向量，若，则___________ 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 所以. 故答案为： 考点三 空间向量垂直的坐标表示 【知识点解析】 一、核心知识点 设 1. 充要条件：，即 1. 适用范围：相交垂直、异面垂直均成立。 二、解题原理 1. 证线线垂直：两直线方向向量点积为 0； 1. 证线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直； 1. 证面面垂直：两个平面法向量点积为 0； 1. 已知垂直求参数：代入坐标乘积和为 0，解方程。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据，由求解. 【详解】因为， 所以，解得. 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【分析】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【详解】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 例3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【答案】14 【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：14. 【变式训练】 变式1．（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求出，再求即可. 【详解】，，若，则， 解得，则. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：B 变式3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 考点四 空间位置关系的向量证明 【知识点解析】 一、核心知识点 设直线方向向量 ，平面法向量 1. 线线平行： 1. 线线垂直： 1. 线面平行：，且直线不在平面内 1. 线面垂直： 1. 面面平行： 1. 面面垂直： 二、解题原理 1. 建系写出所有点坐标，求出直线方向向量、平面法向量； 1. 根据要证的位置关系，匹配平行/垂直的向量判定条件； 1. 线面平行必须补充说明直线不在平面内，逻辑完整； 1. 面面问题统一转化为两个平面法向量的平行、垂直关系。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 例2．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 例3．（25-26高二上·广东广州·月考）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明：由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【详解】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则； （2）略 变式2．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2）由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点讲义 暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点讲义 考点目录 求平面的法向量 空间向量平行的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 空间位置关系的向量证明 考点一 求平面的法向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：若向量 垂直于平面 内任意两条不共线向量，则 为平面 的法向量。 1. 条件：平面内取两相交向量 ，设法向量 ，满足： 1. 性质：一个平面有无穷多法向量，彼此互相平行；法向量可整体放大缩小，只需取一组最简整数解。 二、解题原理 1. 在平面中任选两个不共线向量； 1. 设出法向量坐标，联立两个点积为 0 的方程； 1. 方程组有无穷解，任选一个变量赋值（常令 或 ），求出另外两个变量； 1. 得到一组最简法向量，正负均可使用。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    考点二 空间向量平行的坐标表示 【知识点解析】 一、核心知识点 设 ， 1. 充要条件：存在实数 ，使 ，即 1. 比例形式： 1. 特殊处理：若某一分母为 0，则对应分子也必须为 0。 二、解题原理 1. 证明两直线平行：取两条直线方向向量，证向量平行； 1. 证明线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行； 1. 证明面面平行：两个平面的法向量互相平行； 1. 已知向量平行求参数：列比例等式解方程，分母为 0 单独讨论。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 例2．（25-26高二上·北京·期中）已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 例4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知，，三点共线，则__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 变式4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知向量，若，则___________ 考点三 空间向量垂直的坐标表示 【知识点解析】 一、核心知识点 设 1. 充要条件：，即 1. 适用范围：相交垂直、异面垂直均成立。 二、解题原理 1. 证线线垂直：两直线方向向量点积为 0； 1. 证线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直； 1. 证面面垂直：两个平面法向量点积为 0； 1. 已知垂直求参数：代入坐标乘积和为 0，解方程。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 例3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【变式训练】 变式1．（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 考点四 空间位置关系的向量证明 【知识点解析】 一、核心知识点 设直线方向向量 ，平面法向量 1. 线线平行： 1. 线线垂直： 1. 线面平行：，且直线不在平面内 1. 线面垂直： 1. 面面平行： 1. 面面垂直： 二、解题原理 1. 建系写出所有点坐标，求出直线方向向量、平面法向量； 1. 根据要证的位置关系，匹配平行/垂直的向量判定条件； 1. 线面平行必须补充说明直线不在平面内，逻辑完整； 1. 面面问题统一转化为两个平面法向量的平行、垂直关系。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 例2．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 例3．（25-26高二上·广东广州·月考）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 变式2．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 变式3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $