安徽阜阳市第三中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

阜阳三中2024级高二年级下学期期末考试数学学科试题 本全卷满分150分，考试用时120分钟， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知2=3+41 ,则z到的值为() A.5 B.52 c. D.5√2 2 2.已知聚合4号28-(4明.则4n9=() A.(L,2) B.(12] C.(2,+oo) D.[2,+o∞) 3.若等比数列{a,}的公比为9，则0<g<兮"是“{a,}是递减数列的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 3 5.已知cosa-sin(a+巧= 6 则sin(2a+=() 6 7 A.一25 24 B.25 D. 6.不共线的两个单位向量a,6满足a+=2a,若a1(a+),则实数1的值为() A,7 B C.2或-1 D. 7.某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的 概率均为骨，且各局比套的结果相互独立。则在甲我胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（） A B c D. 8.若存在正实数a,使得函数∫(x)= 3e-1 e'-1 b是定义在(-o,-a)U(a,+oo)上的奇函数，则b=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第1页，共4页 9.若a>b>c,且a+2b+c=0,则下列结论一定成立的是() A.a>0 B.b<0 C.ac<bc D.a-b<b-c 10.关于多项式 2x-1+1 的展开式，下列结论正确的是() A.各项系数之和为32 B.常数项为80 C.x2项的系数为-120 D.展开式一共有21项 11.已知函数f(x)= c2,x≤0， 设a,b,c是三个不同的实数，且满足a<b<c, lnx+1,x>0, f(f(a)=f(f(b)=f(f(c),则下列选项中正确的有(). A.f(a)=f(c) B.asInc C.a+b的最小值为2√-1 D.a+b+c的最大值为1+2 c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.曲线y=2x+c*在点(0,1)处的切线方程为 13.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=2km.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸已知游船在游 水中的航行速度的大小为网=10mh,水流的速度的大小为=4kmh,设和的夹角为6 (0°<0<180°)，北岸的点A在A的正北方向. 当cos0=时，游船能到达A处，需要航行的时间为h,（第一空2分，第二空3分) 14.球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆 是经过球心的平面截球面所得的圆).已知P2为球O的直径，点M,N在球面上，且aPMN是等边三角形， 若P回=6，P2·(PM+P)上18，则M,N两点的球面距离为一 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,42=2a+1. (1)求数列{an}的通项公式 (2)若bn=3-,令cn=abn,求数列{cn}的前n项和T. 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC=60°，E,F分别是AB,PD的中点. (I)求证：EF/I平面PBC: (2)若PC⊥AB,PC=√6，PB=2,求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值. 1以.如图，在平面直角坐标系x0中，椭圆c等+茶-=1a>6>0的焦点为R(-l0,BQ0.过民作x 轴的垂线1，在x轴的上方，1与圆F:(x-12+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AE并延长交圆F 于点B,连结BR交椭圆C于点B,连结DR,已知DR=号 (1)求椭圆C的标准方程： (2)求点E的坐标， 第3页，共4页 18.己知函数f(x)=4--(r+ac)n2、 (I)若a=1,判断f(x)的单调性： Q诺1<a<号，证明：》号， 19.某中学共有N个社团(N≥3)，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会.每场博览会需随机邀请 其中k个社团参展(1≤k≤N-1,k为常数).两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从N个社团中等可 能地选取k个不同的社团.记至少参展过一场博览会的社团总数为X, (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率P(X=m)取得最大值的整数m的值（用N,k表示)： (3)记随机变量X的数学期望为E(X),方差为D(X): (i)求E(X): ()证明：D(x)<W+2 16 附：对里从超几何分布的离散至随机变层6，即P=-C空，有()-兴。 C D()-"M(N-M)(N-n) N2(N-1) 第4页，共4页阜阳三中2024级高二年级下学期期末考试数学学科试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D D A 0 B AC AC 题号 11 答案 AB 1.B 【分析】先化简复数z,再求. 【详解】2=-1， 2=3+4i0 1-i 8+0+DA 1-i)0+i) 5v2 故B正确 2 故选：B, 2.C 【分析】首先根据分式不等式求解出集合A,然后根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解1由号0，解得：1或2，副：4=红x≤1或>路 又B={x|x>1},可得：A∩B={x|x>2} 故选：C 3.D 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案 【详解】充分性：在等比数列{a,}中，设首项为4≠0，由0<g<3' 取4=-1q=年，此时等比数列的通项公式为： 0n=4q-1=-1× 随着neN*的逐渐增大，a.增大 则等比数列{a}是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项4=-1，q=2, 答案第1页，共13页 则等比数列的通项公式为： 0=4-1=-1×2-1=-2-1 从面得出数列a}是递减数列，但是q(Q 所以必要性不成立， 做0<q<是a}是递减数列”的既不充分也不必要条件 故选：D. 4.D 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为2=32.故选：D 5.D 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解， 【饼解】低超在、ea-(学a中sa 2 2 (a+手 2 所以sin(2a+ =m2a+骨-1=-w2a号12e)-12j 故选：D 6.A 【详解】a+=2a-列，两边平方得(a+=4dcos2a,6, 即2+b+2a.6=4d5cos2a,6, 又a,b为单位向量且不共线，故1+1+2cosa,b=4cos2a,b, 解得cosa.0=号caa5-1(含去)， 若a1a+),则a(a+b)=位+a.6=t+同风cosa6=i-0, 解得1号 7.D 【分析】设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,根据条件概率计算公式求解 【详解】设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B, 22.212.12220 则P(A=33+3333*327 2221216 P(AB)=二×。+××。= 33333-27' 答案第2页，共13页 16 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是P(BA)= P(AB) 27_4 P(A) 20 故选：D. 8.B 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及f(-x)+f(x)=0,化简得到 2b,取a>lh3, 分类讨论，取绝对值号，即可求解b的值 【详解】由函数f(x) 3e-1 ex-1 b的定义域(-o,-a)U(a,+o),可得其定义域关于原点对称， 又由f(x)= 因为函数f(x)是奇函数，可得f(-x)+f()=0,即 二引0恒成立.即2沙=-430恒成立。 e'-1e-1 因为存在正实数a使得函数f(x)定义在(-o,-@)U(a,+o)上的奇函数，可取a>ln3, 当x>a>n3时，可得e-1>0,3e-1>0,e-3>0, 所以2b-g[Ge-0+e-3列]e4e-0=4,所以6=2： 当x<-a<-ln3时，可得e-1<0,3e-1<0,e-3<0, 所以2沙=0-c)+6-e]。4-4e=4,所以6-2 综上可得，实数b的值为2 9.AC 【详解】假设a≤0，因为a>b>c,所以0>b>c,则a+2b+c<0, 与a+2b+c=0矛盾，假设不成立，所以a>0,选项A正确： 注意到，当a=2,b=1,c=-4满足条件，选项B错误； 假设c≥0，因为a>b>c,所以a>b>0,则a+2b+c>0, 与a+2b+c=0矛盾，假设不成立，所以c<0, 答案第3页，共13页 因为a>b,所以aC<bc,选项C正确； 因为(a-b)-(b-c)=a+c-2b=-4b, 注意到当a=4,b=-1,c=-2时，-4b>0,即a-b>b-c,选项D错误. 10.AC 【分析】由多项式展开式令x=1代入计算判断A:令k=r=0或k=r=1或k=r=2,计算可判断B:令 k=3,r=1或k=2,”=0,计算可判断C;由x的指数取值范围求解可判断D. 【详解】由题意得多项式2x-1+1 展开式的通项如下， 为a=c(2旷C(reN+rs) 即a,=(←1)·2.C.C-kx-, 对于A,令x=1得(2-1+1)=2=32， 所以(2x+1） 各项系数之和为32，故A正确： 对于B,常数项中x的次数为0，则k=r=0或k=r=1或k=r=2, 则40+41+4,2=1+(-40)+120=81，故B错误： 对于C,令k-r=2,得k=3,r=1或k=2,r=0, 所以x2项为4,1+42.0=（←160+40)x2=-120x2, 故x2项的系数为-120，故C正确： 对于D,因为k-r∈[-5,5]，x的指数为[-5,5]的整数， 化简可得 2x11-32r+80c-120r2-30x+8+15.30+三1 所以展开式一共有9项，故D错误： 11.AB 【分析】结合图像得出方程f(f(x)=t有三个不同的实数根当且仅当∫(x)=5有两个不同的实根；<x2,根 据方程f(x)=x和f(x)=求出a,b,c,再逐个选项进行判断. 【详解】画出函数∫(x)的图像： 答案第4页，共13页 设f(f(a)=f(f(b)=f(f(c)=t,即方程f(f(x)=t有三个不同的实根a,b,c, 由于f(x)在(-ω，0]上单调递增，且该部分值域为(0，刂，在(0，+∞)单调递增，且该部分值域为R, =0,f(1)=1, 令f(x)=s, 结合图像可知，方程f(f(x)=t有三个不同的实数根当且仅当f(S)=t有两个不同的实根<52， 即当且仅当te(0,1],且e=t→&=ht∈(-o,0], ns,+1=t→=e-1e 再考虑方程f()=和f(:)=5,注意f(x)=s台nx+1=台x=e1- f(x)=乃台e=5或nx+1=52台x=ns2=t-1或x=e1=e1, 因wace,a-ie106-c=e- 对于A,f(a)=e-1,f(c)=e1+1=e-1-1+1=e-1 所以f(a=f(c),A正确： 对于B,lnc=e1=1-1,a-lnc=t-l-(e-1-1)=t-e1, 令g0)=i-e1(0<t≤，则g(0=1-e,当0<t≤1时，1<e1≤1， 所以g(t)=1-e-≥0，所以g(t)在(0，]上单调递增， 所以g(t)≤g)=1-1=0,所以a≤nc,B正确； 对Fca+b=11-(-}-1,因为1+日0，所以y1--1单调始 因为0<t≤1，所以-1<a+bs无最小值，C错误： 答案第5页，共13页 对于D,a+b+c=t-l++e1在te(0,上单调递增， e 1-1 所以-1+e<1-1+e≤11，所以a+b+c的最大值为1+，D错误 e 12.3x-y+1=0 【详解】因为y=2x+e*,所以y'=2+e, 将x=0代入可得切线的斜率k=3, 所以曲线在点(0,1)处的切线方程为：y-1=3(x-0),即3x-y+1=0. 1子@ 21 要能到达A处，则在巧反方向上的分速度为cos(元-0)==4， 解得cos(-0)-号，即co0-子面0<0<，则sm0 5 因此垂直河岸方向上的速度为sin6=2v21kmh, 所以当cos0=- 时，游船能到达A处，用时A2h 2W2121 14.元 【分析】首先通过向量数量积求等边三角形的边长，然后计算对应的球心角，最后根据球面距离的定义计 算M,N两点的球面距离. 【详解】 M 已知P9为球0的直径，P回=6， 所以球的半径为R=3,OP=OO=OM=ON=3, ∠PMQ=∠PNQ=90°， PO.(PM+PN)=PO.PM+PO.PN=PM+PN=18, 因为△PMN是等边三角形，所以P☑=PW=3=, 答案第6页，共13页 则OM=|OW=MW=3, 所以∠ON= 31 所以M,N两点的球面距离为。 3=兀 15.(1)4.=2n-1 (2)Tn=(n-1)3”+1 【分析】(1)根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. (2)根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】(1)设等差数列{a}的首项为a,公差为d,…1分 则前n项和为S=a+0-。.2分 2 「a+d=2a+1 4(4-1d=42a+ [4+d=2a+1 所以 4a+ 42a22-1a,即 2 44+6d=8a+4d;…3分 解得4=1，d=2,…4分 所以a,=1+(n-1)x2=2n-1.因此数列{a}的通项公式为g=21-1.…6分 (2)Cn=a,bn=(2n-1)3-1 T,=1×30+3×3+5x32+…+(21-1)×3m-1,…7分 3Tn=1x3+3×32+5x33++(21-1)×3”,…8分 所以T,-3江n=1+2×3+2x32+…+2×3m-1-(2n-1)×3” =1+2x3”,3-(21-×3=X1-03-2…11分 2 即-2Tn=2(1-n)3”-2,…12分 所以T=(n-1)3”+1.…13分 16.(1)证明见解析 @ 【分析】(1)利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可； 答案第7页，共13页 (2)根据线面垂直的判定先证明AB⊥平面PCE,再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面 夹角即可 【详解】(1)取PC的中点为G,连接FG,BG ·点F,G分别是PD,PC的中点， BPG是△PDC的中位线，2分即GICD,PG=CD 在菱形ABCD中，BEIICD,BBCD ∴FG1IBE,FG=BE,即四边形FGBE为平行四边形，则EF/1BG,…5分 又BGc平面PBC,EF丈平面PBC,.EF/1平面PBC.7分 (2)连接PE,CB, :AB⊥PC,AB⊥CE，,PC∩CE=C,PCc平面PCE,CEC平面PCE, :AB⊥平面PCE, 又PEc平面PCE,·AB⊥PE, :PE =PB2 -BE2=3, 又CB=√5，则PC2=PE2+CE2=6,所以PE⊥CE 即直线AB,CE,PE两两垂直.…9分 如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系， G 则P(0,0,√5)，A(0,-1,0),B(0,1,0),C(V3,0,0),D(V3,-2,0). PA=(0-1,-√5)，PB=(0,1,-V5),PC=(3,0,-3),PD=(3,-2,-√3).…10分 设平面PAD的法向量为4=(，，3)，平面PBC的法向量为n=(x2,2,z3), %pA=0,a∫-4-3a=0, 由 厅-P历=032-52-0取可=5-0. 得 由店限=0附-5》取=0原2分 zPc=03x2-3z2=0, 答案第8页，共13页 设平面PAD与平面2BC所成角为0，则cos0=cos4西西 3 V5x55,…14分 即平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为) …15分 17.(1)+y=1: 43 ⊙1-3 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)解法一：由题意首先确定直线A耳的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2 与椭圆的方程即可确定点E的坐标： 解法二：由题意利用几何关系确定点卫的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点卫的坐标 【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以FF=2,c=1.…1分 又因为DALx轴，所以DDR-网=V侵-2-子…3分 5 因此2EDF十DF=4,从而=2. 由b2=a2-c2,得b2=3.…5分 因此，椭圆C的标准方程为女+ 3=1…6分 (2)解法一： 由(1)知，椭圆C:+上-1,2， 43 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.…7分 将x=1代入圆F2的方程(x-1)+y2=16,解得y=±4， 因为点A在x轴上方，所以A(1,4).…9分 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2. y=2x+2 由 (x-1)2+2=16'得5r+6x-11=0, 朝得=1或号…1分 将x=号代入y22.符=号 答案第9页，共13页 因此B(凸号.又1,0，所以直线B:y=x-D. 3 5 。3 y=4-0 由 ,，得7x-6x-13=0,解得x=-1或x=13 +-1 …13分 7 43 又因为E是线段BF?与椭圆的交点，所以x=-1, 将=1入子-0，得y多因此(1多15分 解法二： 由(1)知，椭圆C:+二=1，如图，连结B 43 A F 0/F 因为BF2=2a,EF+EF=2a,所以EF1=EB,9分 从而∠BFE=∠B. 因为FA=FB,所以∠A=∠B, 所以∠A=∠BFE,从而EF1∥F2A.11分 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴 x=-1 因为F(1,0),由x2y2 1'得=±3 …13分 2 43 又因为五是线段8服与精则的交点，所以)=多 因t(-L15分 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 答案第10页，共13页 18.(1)f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增 (2)证明见解析 【分析】(1)求导可得了)=22-】1山2，结合函数单调性分析f)的符号，即可得f(9)的单调性： (2)求导，结合函数单调性和零点存在性定理可得f"(x)的符号，即可得∫(x)的单调性和最值，结合零点 代换分析证明 【详解】(1)当a=1时，函数f(x)=4-1-(r+x)n2的定义域为(0，+o),…1分 且f)=(2--1jn2,…2分 x 因为y=22,y=-1在(0，+)上单调递增，n2>0, 则f'(x)在(0，+0)上单调递增，且f")=0,…4分 当x∈(0,1)时，f"(x)<0,当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,…6分 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增.…7分 (2)因为f(x)=4-1-(r+m)n2的定义域为(0，+o), 且w-2-j2,1ka<号 知在上年谓运a日r0-0-a加0，得，侣小h20.9分 可如在 使得f')=21-上-a=0,即41= 1 a 2x2’ 当x∈(0，)时，f"(x)<0,当x∈(，+o)时，f'(x)>0, 可知f(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+0)上单调递增，…11分 则f(≥f(5)=4时-(（h+a)n2=+号(h6+a四n,…12分 262 设w)文号+ah)则o)=这 3 -an2<0, 可知)在1 3 上单调递减，…14分 3,3) a In2> 1,a3,3) 2,1 >32血2到=血3 -a, 33 2.1 所以)>血写+号a.…17分 方法二、选择用a表示x消元证明不等式按步骤给分 答案第11页，共13页 1-) 2当(k+1能被M+2整除时，m=2水-医+1和m=2k+1-+1:当(k+1不能被W+2整除时， N+2 N+2 =2k (k+1) (k+1) N+2 表示伍+的整数部分) N+2 N+2 (3)(i)E(X)=2k- k2 ：(i)证明见解析 【分析】(1)利用对立事件概率公式计算至少参加一次的概率： (2)由题意求出P(X=m)的组合表达式，再通过解不等式 「P(X=m≥P(X=m-1) PX=m≥Px=m+i),确定 2k-(k+1)2 m≤2k+1=,进而找到Px=m取最大值对应的m N+2 N+2 (3)()结合超几何分布的期望公式即可求得E(X):(ⅱ)利用服从超几何分布的离散型随机变量的方差 的性质，求的D(X),再通过不等式放缩证明结论， 【详解】(1)设社团星火社”至少参加一次博览会为事件M,则P(M)=1- :…2分 (2)当X=m时，同时收到两次邀请的社团数为2k-m, 仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为-k, 则由乘法计数原理知事件{X=m心所含基本事件数为CC-mC。=CC“C然， 此时P(X=m) .CNCR CN (c) ,…4分 ccgC驻之cC“c 「P(X=m)≥P(X=L-1) (c) (c) 风=x=m即空sC蓝之 令 CC+Ct性 (C) (c) 解得2k-+ …6分 N+2 ≤m≤2k+1-(k+) N+2 则当(k+1)能被W+2整除时， 答案第12页，共13页 P心X=m四在m=2k-低+和m=2k+1-任+处取得最大值，…8分 N+2 N+2 当(k+1)2不能被W+2整除时，P(X=)在=2k (k+1) 处取得最大值： N+2 (k+1)2 N+2 表示(+的整数部分)…10分 N+2 (3)记“某社团参加周一的博览会”为事件A,“某社团参加周三的博览会”为事件B, 记两次都参加的社团数SA∩B|,则X=AUBHA+B|-|A∩B=2k-S,S满足超几何分布， (i)B(X)=2k-BS)=2k-k.k2k- N:…13分 (i)证明：D)=DS=k令V-k.N-k_(W-k NN N-1 N2(N-1) (k+N-k 所以a0-w- 2 N2N2+N-2 N2(N-1)W(N-1)16(N-1)16(N-1) -N-1W+2.V+217分 16(N-1)16 答案第13页，共13页