精品解析：山东省日照市东港区开发区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度下学期期末质量检测八年级数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式，不是二次根式； B．是分式，不是二次根式； C．是三次根式，根指数为3，不是二次根式； D．根指数为2，被开方数，是二次根式． 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，直接求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 故选：A． 3. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连接并延长至点E，使得A、B分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵A、B分别是、的中点，， ∴． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：选项A：与非同类二次根式，无法合并，故A错误． 选项B：与非同类二次根式，无法合并，故B错误． 选项C：根据二次根式乘法法则，计算得，故C正确． 选项D：根据二次根式除法法则，化简，则，而选项结果为，故D错误． 故选：C． 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 函数的图象与y轴交于点 D. 直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 6. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 7. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得． 【详解】解：由正多边形的性质可知， ，，， ，， ． 8. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点G处，连接，则的长为（） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理求出，再算出，证明，用勾股定理即可求解 【详解】∵，点E为的中点，是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， ∴． 故选：A． 10. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “2”上边的数是16 B. “5”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于5000 D. 运算结果可以表示为 【答案】D 【解析】 【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和， 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“5”右边的“□”表示1，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：令，将代入解析式， 得， 直线上的一个点的坐标为． 13. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 14. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 15. 如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，得到，同理得到，，，再计算即可． 【详解】解：如图， 图中的四边形为正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，，， ， 同理可得，，...，， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且． （1）求证：； （2）连接，说明四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件证明，即可得到结论； （2）证明和，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ． ． ， ． ． 【小问2详解】 如图， 由（1）得， ． ∵，，， ． ． 四边形是平行四边形． 18. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135； 补全统计图如下所示： （2）450人 （3） 解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图略 【小问2详解】 解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； 【小问3详解】 略 19. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；大；8 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【小问1详解】 解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． 【小问2详解】 解：， 理由如下： ， ． 20. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 【答案】（1）4米；（2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理内容． （1）先求出米，然后根据勾股定理求出米即可； （2）延长交于点，设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出，根据勾股定理求出（米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）若米，米， 米， 在Rt中，米， 由勾股定理，得米， 答：观测点到围墙的水平距离的长为4米． （2）延长交于点， 依题意得：，米， 设米，则米， 在Rt中，， 由勾股定理，得：， 在Rt中，， 由勾股定理，得， 所以， 解得：， 所以（米）， 所以米， 答：教学楼的高度为米． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 22. 某食品公司计划推出、两款糕点伴手礼．其中甲、乙两种原料用于制作、两种商品．为科学决策，该食品公司试生产、两种商品进行深入研究，已知现有甲种原料260千克，乙种原料245千克．生产1千克商品，1千克商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） 商品 3 2 12 商品 2 3 20 （1）若生产千克商品，千克商品，刚好把甲、乙两种原料用完，求，的值； （2）设生产种商品千克，则生产、两种商品共100千克的总成本为元（为整数）．求与的函数解析式，并求出当取何值时，总成本最小？最小成本为多少元？ 【答案】（1） （2）函数解析式为（且为整数），当时总成本最小，最小成本为元，此时应生产A商品千克，B商品千克． 【解析】 【分析】（1）根据刚好用完甲、乙原料的条件，按照两种原料的总用量等于现有原料总量，列二元一次方程组求解即可； （2）设生产A商品千克，则生产B商品千克，先根据成本计算规则得到与的函数关系式，再根据原料总量限制列不等式组求出自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性计算最小总成本即可． 【小问1详解】 解：由题意得，生产千克A，千克B刚好用完所有原料， ∴可得方程组  ， 解得 ； 【小问2详解】 解：设生产A商品千克，则生产B商品千克，总成本为元， ∴ ，  根据原料用量不超过现有总量，列不等式组  ， 解得， ∴函数解析式为（且为整数）， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 将代入得， 此时， ∴当，即生产A商品千克，B商品千克时，总成本最小，最小成本为元． 23. 如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，的面积最小，最小值是 【解析】 【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可得是的垂直平分线，利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出的面积，再利用轴对称的性质求出四边形的面积； (2)过点作，交于点，利用轴对称的性质可知，根据垂线段最短的性质可知的最小值就是线段的长度，利用等边三角形的性质求出的长度即为的长度； (3)因为四边形为“对称四边形”，可知，，根据垂线段最短可知的最小值是，可得的面积最小值是，再根据对称的性质求出点的坐标． 【详解】(1)解：四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”， ，， 在和中，， ， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形的面积是； 故答案为：； (2)解：如下图所示，过点作，交于点， 四边形是“对称四边形”，是“对称线”， ， ， 当点、、三点共线且时，最小， 即最小， ， ， 由对称可知， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； (3)解：存在， 理由如下： 是“对称线”， ，， 点的坐标为， ， ， 四边形为“对称四边形”， ， 垂线段最短， ， ， 则点的坐标是， 是“对称线”， 点是的中点， 点的坐标是， 当点的坐标是时，的面积最小，最小值是． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据垂线段最短确定当时，的面积最小，再利用轴对称的性质求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末质量检测八年级数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连接并延长至点E，使得A、B分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 函数的图象与y轴交于点 D. 直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 6. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 7. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点G处，连接，则的长为（） A. B. C. D. 1 10. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “2”上边的数是16 B. “5”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于5000 D. 运算结果可以表示为 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标_____________． 13. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 14. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 15. 如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且． （1）求证：； （2）连接，说明四边形是平行四边形． 18. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 19. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 20. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 某食品公司计划推出、两款糕点伴手礼．其中甲、乙两种原料用于制作、两种商品．为科学决策，该食品公司试生产、两种商品进行深入研究，已知现有甲种原料260千克，乙种原料245千克．生产1千克商品，1千克商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） 商品 3 2 12 商品 2 3 20 （1）若生产千克商品，千克商品，刚好把甲、乙两种原料用完，求，的值； （2）设生产种商品千克，则生产、两种商品共100千克的总成本为元（为整数）．求与的函数解析式，并求出当取何值时，总成本最小？最小成本为多少元？ 23. 如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $