精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州花垣县2025-2026学年七年级下学期数学期末质量监测试题卷

2026年春季学期花垣县七年级数学期末质量监测试题卷 （时量：120分钟 总分：120） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算18的算术平方根，结果是（ ） A. 9 B. 4．5 C. D. 2. 将点向左平移 个单位，再向上平移个单位，得到点，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程组，则a+b的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若关于x的不等式 >0的解是x>1，则a的值是(　　) A. 3 B. 4 C. －4 D. 以上都不对 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．当为多少度时，平行于支撑杆？（　　） A. 15 B. 60 C. 70 D. 115 7. 某校九年级随机抽查一部分学生进行了1分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25~30次的人数占抽查总人数的频率是（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 8. 湘西自治州教育和体育局为了了解该州义务教育阶段学校70万名学生眼睛视力情况，在湘西自治州所属各市、县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了4万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是4万名学生 B. 总体是该州义务教育阶段学校的70万名学生的视力情况 C. 这个调查是全面调查 D. 个体是该州义务教育阶段学校的每一名学生 9. 在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有几个（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知点在轴上，则_____． 12. 已知，，，则________． 13. 如图，在北偏西方向，在北偏东方向，在北偏西方向，则______． 14. 如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 15. 已知是关于的二元方程的一个解，那么=______. 16. 定义新运算：对于任意实数a，b都有，例如，那么不等式的解集为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　 　，B1　 　，C1　 　． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　 　． 21. 为响应阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，某地大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的湘西文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《舌尖上的湘西》）”“龙舟/美食文化类”“ 景点/民俗文化类”“湘西少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了________名学生，的值为________； （2）补全条形统计图； （3）若全校共有1500名学生，估计该校最喜爱“龙舟/美食文化类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 22. 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 （1）求a、b的值． （2）若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 23. 阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“郡园点”． 例如：点，因为，所以是“郡园点”． （1）以下各点：①；②；③；④中“郡园点”是________（填序号即可）； （2）已知“郡园点”和，且关于，的方程组与有相同的解，请用含的式子分别表示和； （3）在（2）的条件下，若对于任意实数，等式恒成立，求此时代数式的值． 24. 综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． （1）猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期花垣县七年级数学期末质量监测试题卷 （时量：120分钟 总分：120） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算18的算术平方根，结果是（ ） A. 9 B. 4．5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】18的算术平方根是：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，一个正数的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根，0的算术平方根是0．算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键． 2. 将点向左平移 个单位，再向上平移个单位，得到点，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角坐标系中，横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】∵点向左平移 个单位，再向上平移个单位，得到点 ∴点的横坐标为1-3=-2，纵坐标为-5+6=1 即的坐标为 故选：A 【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 3. 已知方程组，则a+b的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组求出a、b，再求和即可． 【详解】解： ②-①得4b=8， ∴b=2， 把b=2代入①得3a=3， ∴a=1， ∴方程组的解为， ∴a+b=1+2=3． 故选：C 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，正确利用加减法解二元一次方程组是解题关键． 4. 若关于x的不等式 >0的解是x>1，则a的值是(　　) A. 3 B. 4 C. －4 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：去分母得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 不等式的解是 故选B. 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义分别进行判定即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、不成立，因为负数没有算术平方根，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是算术平方根和立方根，要注意到算术平方根的被开方数是非负数． 6. 为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．当为多少度时，平行于支撑杆？（　　） A. 15 B. 60 C. 70 D. 115 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由两直线平行内错角相等，得到，再结合三角形内角和定理去，求出，再根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ， ， 即当为60度时，平行于支撑杆， 故选：B． 7. 某校九年级随机抽查一部分学生进行了1分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25~30次的人数占抽查总人数的频率是（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】用仰卧起坐次数在25～30次的人数除以被调查的总人数即可． 【详解】解：仰卧起坐次数在25〜30次的人数占抽查总人数的频率， 故选：A． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 湘西自治州教育和体育局为了了解该州义务教育阶段学校70万名学生眼睛视力情况，在湘西自治州所属各市、县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了4万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是4万名学生 B. 总体是该州义务教育阶段学校的70万名学生的视力情况 C. 这个调查是全面调查 D. 个体是该州义务教育阶段学校的每一名学生 【答案】B 【解析】 【详解】解：样本容量是数字万，不能表述为“万名学生”，∴A错误； 本次调查的总体就是该州义务教育阶段学校万名学生的视力情况，∴B正确； 本次调查只抽取部分学生进行测试，属于抽样调查，不是全面调查，∴C错误； 个体是该州义务教育阶段学校每一名学生的视力情况，不是每一名学生本身，∴D错误． 9. 在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设出，再根据所给的坐标，找出规律的坐标是，再把代入即可． 【详解】解：设， 当时，，即，， 当时，，即，； 当时，，即，； 当时，，即，； 的坐标是， 点的坐标为，， 点的坐标为，． 故选B． 【点睛】此题考查了点的坐标，通过观察找出点的横坐标和纵坐标与的关系，的坐标是是解题的关键． 10. 已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有几个（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x＋y＝2a＋1即可求解； ②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解； ③根据试值法求二元一次方程x＋y＝3的自然数解即可得结论； ④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：，方程组上式下式得 ， 将代入方程组下式得， 方程组的解为 当时，， ， ①正确； ②， ②正确； ③、，为自然数， 或或或， 有对， ③正确； ④，解得， ④正确． 故选：D 【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组 ，解题的关键是掌握二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知点在轴上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是明确y轴上点的横坐标为0． 根据y轴上点的横坐标为0，列出方程求解． 【详解】解：∵ 点在轴上， ∴ ， 解得 ． 12. 已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：200． 【点睛】此题考查了立方根的实际应用，根据题意得出规律是解题的关键． 13. 如图，在北偏西方向，在北偏东方向，在北偏西方向，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是方向角，根据题意作出平行线，根据平行线的性质进行解答是解答此题的关键．根据题意可得，再根据，可得，即可得到，进而利用三角形内角和定理得出的度数． 【详解】解：如图所示： 根据题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴中，． 故答案为：35． 14. 如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15. 已知是关于的二元方程的一个解，那么=______. 【答案】1 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得： 3m-5=﹣2， 解得：m=1， 故答案为1. 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 16. 定义新运算：对于任意实数a，b都有，例如，那么不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算出的值，然后根据解不等式方程的步骤，即可解出不等式方程的解集． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 移项得： 系数化为1得： ∴的解集为： 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算，不等式方程的解集，解题的关键是理解新定义运算，掌握一元一次不等式方程的解题步骤． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来． 【答案】， 用数轴表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，按照“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则写出不等式组得解集，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 用数轴表示略； 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先利用平方差公式、单项式乘以多项式进行化简，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 把代入上式中，原式． 20. 如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　 　，B1　 　，C1　 　． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　 　． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所作； （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用点平移的坐标变换规律写出，，的坐标，然后描点即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）利用垂线段最短确定P点位置，从而得到P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，； 【小问3详解】 当时，线段A1P长度最小，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了作图——平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 21. 为响应阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，某地大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的湘西文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《舌尖上的湘西》）”“龙舟/美食文化类”“ 景点/民俗文化类”“湘西少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了________名学生，的值为________； （2）补全条形统计图； （3）若全校共有1500名学生，估计该校最喜爱“龙舟/美食文化类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）50，30 （2）补全统计图如下： （3）300名 （4）解：由统计图可得：喜欢“景点/民俗文化类”和“湘西少儿绘本类”的学生较多，建议学校多购置这些图书等（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）用类的人数除以占比即可求出调查的总人数，然后用类的人数除以总人数即可求出m； （2）根据（1）中求出的类的人数补全条形统计图； （3）用1500乘以样本中类的人数占比即可求解； （4）根据条形统计图和扇形统计图求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（名）； 类的人数：（名） ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名） 答：估计该校最喜爱“龙舟/美食文化类”图书的学生有300名； 【小问4详解】 略 22. 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 （1）求a、b的值． （2）若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1） （2）学校有三种购买方案：方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台；方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； （3）购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元”列方程组，求解即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“购买该批设备的资金不超过11000元”列不等式，求出不等式的正整数解即可得出答案； （3）首先分别计算出三种方案的监控半径覆盖范围是否满足要求，再计算所需资金，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 由题意得：， 解得：， ∵两种型号的设备均要至少买一台， ∴，2，3， ∴学校有三种购买方案： 方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台； 方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台； 方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； 【小问3详解】 方案一的监控半径覆盖范围为：，不满足要求； 方案二的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； 方案三的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； ∵， ∴方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱． 23. 阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“郡园点”． 例如：点，因为，所以是“郡园点”． （1）以下各点：①；②；③；④中“郡园点”是________（填序号即可）； （2）已知“郡园点”和，且关于，的方程组与有相同的解，请用含的式子分别表示和； （3）在（2）的条件下，若对于任意实数，等式恒成立，求此时代数式的值． 【答案】（1）①③④ （2） （3）2026427 【解析】 【分析】（1）根据“郡园点”的定义分别判断即可； （2）先求出方程组中关于的方程的解，代入另外两个方程，再结合“郡园点”的定义得到关于的方程组，解该方程组即可得到答案； （3）将原式变形为，此式对于任意实数都成立，可得，，又代入要求的代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①，， 所以，是“郡园点”； ②， 所以，不是“郡园点”； ③，， 所以，是“郡园点”； ④，， 是“郡园点”； 综上，①③④是“郡园点”； 【小问2详解】 解：联立，解得， ，， ，是“郡园点”， ，， ，即， 联立， 得； 【小问3详解】 解：，， 原等式变为， 即，此式对于任意实数都成立， ，， ，， 由（2）知，， ． 24. 综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． （1）猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】（1） （2）①②见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质及判定论证即可； （2）①过点作，利用平行线的性质及判定论证即可；②利用，可得，再结合平行线的性质及等量代换得到，即可得出结论. 【小问1详解】 答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $