精品解析：河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

高一期末考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3. 某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第 百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再按照百分位数的计算规则求解即可. 【详解】首先将个数据从小到大排序为：。 则位置索引，为整数， 排序后第个数据为，第个数据为， 因此第百分位数为. 4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面的位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可得，故A正确； 对于B，若，则或相交或异面，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 5. 如图，是的直观图，若，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的直观图，利用余弦定理求出，再利用斜二测画法求出. 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 解得，所以. 故选：A 6. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 7. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 8. 如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10. 设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是互斥事件，则 B. 若则 C. 若是相互独立事件，则 D. 若，则是相互独立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式，事件的运算，独立事件的乘法公式逐一分析每个选项. 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确； B选项，时，，B选项错误； C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确； D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确. 故选：ACD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 异面直线和所成的角为 C. 四棱锥的体积为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在正方体中，易得就是直线与平面所成角为可确定A；就是异面直线和所成角或其补角，易得即可确定B；由平面，可得即可判断C；连接，可证就是二面角的平面角，接着求余弦值即可. 【详解】对于A，连接交于， 在正方体中，，即， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 则就是直线与平面所成角，，故A正确； ，就是异面直线和所成角或其补角， 又，所以，故B正确； 平面，，故C错误； 对于D，连接，又，所以， 又，所以就是二面角的平面角， ，， 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果. 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：， ，该圆锥的体积是． 故答案为：. 13. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 【答案】##0.95 【解析】 【分析】方法一：设出事件，根据进行求解； 方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，， 所以目标至少被击中1次的概率 ； 方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，，，， 所以目标没有被击中的概率为， 目标至少被击中1次的概率为 故答案为：. 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得， 所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 复平面内表示复数的点为. （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部； （2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围； 【答案】（1）时，复数是纯虚数，虚部为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义，得且，求出的值，即可求出虚部； （2）根据点位于二、四象限，得到或，解不等式组，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以且， 解得，所以复数，所以复数虚部为； 【小问2详解】 因为复数对应的点位于二、四象限， 所以或，解得; 所以当时，点位于二、四象限. 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线解出，则，则得到的模； （2）根据题意推出，则得到关于的方程，解出即可； （3）由题意得，且与不反向共线，解出的范围即可. 【小问1详解】 ，，，，， ，. 【小问2详解】 ，两边同平方得，则化简得， ，，. 【小问3详解】 与的夹角是钝角，，且与不反向共线， 即，由（1）可知， 则，且，故实数的取值范围为. 17. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计考核得分的第百分位数； （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是，内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1） ，第百分位数为 （2）平均数 ，方差 【解析】 【分析】（1）利用频率和为求，利用定义计算第百分位数； （2）利用分组数据公式，计算合并后的平均数和方差. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，因此； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为，因此考核得分的第70百分位数， 由，解得， 所以考核得分的第百分位数为. 【小问2详解】 依题意，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为， 所以， . 18. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第 百分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，是的直观图，若，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 8. 如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是互斥事件，则 B. 若则 C. 若是相互独立事件，则 D. 若，则是相互独立事件 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 异面直线和所成的角为 C. 四棱锥的体积为 D. 二面角的平面角的余弦值为 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______． 13. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 复平面内表示复数的点为. （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部； （2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围； 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计考核得分的第百分位数； （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是，内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $