精品解析：重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题

西南大学附中2025—2026学年度下期期末考试 高一数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算求解． 【详解】． 2. 已知向量，满足，，则=（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的数量积运算求解． 【详解】由，得， 得①， 由，得， 得②， ①②得， 得． 3. 已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合圆锥轴截面为等边三角形的性质和母线长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到圆锥表面积. 【详解】由题意得圆锥母线长，圆锥轴截面为等边三角形，其三条边分别为两条母线和底面直径， 因此底面直径等于母线长，即，解得底面半径， 故该圆锥的侧面积，， 因此该圆锥表面积. 4. 某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】由于乐队不能全是男同学也不能全是女同学， 故只能是1名男同学、2名女同学或2名男同学、1名女同学， 1名男同学、2名女同学的选法总数为， 2名男同学、1名女同学的选法总数为， 因此满足要求的乐队数量是． 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，求得，进而求得，即可求得外接圆的半径为. 【详解】由，可得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 又由，所以， 设外接圆半径为，可得， 所以. 6. 甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，，，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得甲、乙、丙三人答错该题的概率分别为，，， 由于答题时三人互不影响，故三人均答错该题的概率为， 因此三人中有人答对该题的概率为. 7. 已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得到平面截正方体所得图形后，可得截出的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分，再借助棱台体积公式与正方体体积公式可得，，即可得解. 【详解】连接、、，由、分别为棱，靠近的三等分点， 故，又由正方体性质可得，故， 故四边形即为平面截正方体所得图形， 则所得的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分， 设该正方体棱长为，则， 故，故. 8. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则下列说法正确的是（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二部图的定义判断出仅有图（2）和图（3）是二部图，再利用古典概型和排列组合的相关知识即可求出对应的概率． 【详解】对于图（1）、（5）、（6），由于图中存在三角形， 而三角形的三个顶点中必有两个同属于或同属于， 故图（1）、（5）、（6）不是二部图； 对于图（4），由于图中存在五边形， 同理五边形的五个顶点中必有两个相邻的顶点同属于或同属于， 故图（4）也不是二部图； 对于图（2）、（3），将其顶点作如下标记，其中1代表该顶点属于集合，2代表该顶点属于集合， 可知图（2）、（3）是二部图，所以六个图中仅有图（2）、（3）是二部图． 因此对于A，选出的两个图都是二部图的概率为，故A错误； 对于B，选出的两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 对于C，由A知选出的两个图都是二部图的概率为，故两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 对于D，选出的两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分． 9. 设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则或 D. ，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行与线线平行关系进行判断；B选项，根据线面垂直的性质进行判断；C选项，根据面面平行的性质判断；D选项，根据面面垂直的判定方法进行判断． 【详解】A选项，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能异面，也可能平行，故A错误； B选项，根据垂直于同一平面的两条直线互相平行可得B正确； C选项，两平面平行，一条直线与其中一个平面平行， 则这条直线在另一个平面内或与另一个平面平行，故C正确； D选项，由且，则或者，因为，根据面面垂直的判定定理可知，，故D正确． 10. 事件，，为三个随机事件，且，，，则下列命题中错误的有（ ） A. 若事件与互斥，则事件与也一定互斥 B. 若事件与相互独立，则事件与也一定相互独立 C. 若，则事件，互斥 D. 若事件与相互独立，且与相互独立，则与也一定相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用随机事件互斥、相互独立的定义与性质可判断B、C，通过举反例可判断A、D. 【详解】选项A，互斥事件的定义是两事件不能同时发生，即. 举反例：掷一枚骰子，事件为“出现1点”，事件为“出现2点”，、互斥， 但为“出现2，3，4，5，6点”，为“出现1，3，4，5，6点”，显然，事件与不互斥，故A错误； 选项B，若，相互独立，则. 推导可得：， 因此与也相互独立，故B正确； 选项C，由概率加法公式，又因为，只能推出，但概率为0的事件不一定是不可能事件（如连续型随机变量取某固定值的概率为0，但仍可能发生），无法推出，即不能判定、互斥，故C错误； 选项D，事件的相互独立不具有传递性. 举反例：掷两次均匀硬币，为“第一次正面向上”，为“第二次正面向上”，为“第一次正面向上”，此时与独立、与独立，但，与不独立，故D错误. 11. A. 若为线段的中点，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 设为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为 D. 若，且，则的取值范围为 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积坐标公式，投影向量的坐标公式，距离公式和二次函数的关系式计算判断各个选项； 【详解】对于A，如图建立平面直角坐标系，则， 若为线段的中点，则， 所以，A正确； 对于B，由题可知，， 所以向量在向量上的投影向量为 ，B错误； 对于C，设为图2中三个正六边形边上的任意一点，已知， 则 配方可得 三个正六边形上的点离中心最远的点为，代入可得 ，C错误； 对于D，， 若，且， 则，化简得， 令，即代入方程化简得， 这是关于的一元二次方程，有实数根的条件是： ，解得，D错误； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】易知在抛掷骰子的过程中，每一次出现点数3的概率均为，由对立事件的概率运算性质可知，每一次没有出现点数3的概率均为， 又因为三次抛掷骰子相互独立，因此三次都没有出现点数3的概率. 13. 某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】该班成绩的平均分， 由， 所以. 14. 在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角定义，确定点的运动轨迹，通过弧长计算公式即可计算得到轨迹长度. 【详解】过点作底面的垂线，垂足为，则是在底面的 投影，且， 直线与底面所成角为，根据线面角定义，可得， 在直角三角形中，，代入，得，， 因此动点的轨迹是以为圆心，半径的圆在正方形内的部分， 因此，故设点的轨迹与的交点，与的交点，轨迹如图所示， 因为，，所以，，因此, 故点的轨迹长为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知边上的中线，． （1）求角； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）利用数量积的运算律、三角形面积公式及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得 ，即， 而，则，而，所以. 【小问2详解】 由边上的中线，得，即， 于是，即， 则，当且仅当时取等号，， 所以面积的最大值为. 16. 如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接、， 所以是的中位线，因此，， 而又因为，且，即，因此，且， 因此四边形为平行四边形，故有， 又因为平面，平面， 因此根据线面平行的判定定理有平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面角定义，通过面面垂直的性质构造出线面角，利用勾股定理求出对应边长，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，因此， 而又因为底面是直角梯形，所以，，因此， 故由，且、平面，因此平面， 过点作，交于点， 因为平面，平面，所以， ，平面， 所以平面, 连接，则是在平面内的射影，因此就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，，， 因此， 由得，， 在底面直角梯形中，过作于点，则，， 因此， 故在直角三角形中，. 17. 2026年中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看赛事的时长（单位：小时）．现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人． 女生每周观赛时长原始数据如下： 8.20 8.40 8.60 9.05 9.10 9.15 10.50 10.50 11.20 11.80 12.20 12.30 12.50 12.70 13.10 13.30 13.50 13.80 15.20 20.00 男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下： （1）求该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数 （2）估计该班男生每周观看赛事时长的中位数． （3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受． 设事件：选出的2人中恰有1名女生； 设事件：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间内； 判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）事件与事件相互独立，理由如下： 因为每周观赛时长小于12小时的女生有10人，男生有人. 所以， 这16人中观赛时长落在区间内的有4名女生，名男生，所以观赛时长落在区间内的人数为8. 所以. 且事件表示“选出的2人中，恰有1女，且恰有1人在区间内”， 情况1：女生在区间内，男生不在内，对应样本点有个； 情况2：女生不在区间内，男生在内，对应样本点有个； 所以. 因为，即，所以，相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的概念求所求百分位数. （2）利用频率分布直方图估计中位数. （3）利用事件相互独立的概念进行证明. 【小问1详解】 因为，所以该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数为第5个数与第6个数的平均数，为. 【小问2详解】 因为，， 所以估计该班男生每周观看赛事时长的中位数在区间内， 且等于. 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：因为侧面底面且交线为， 因为，故，因为平面， 故底面，因为平面，则； 又因为，故， 又因为，故，则， 又因为，分别为，的中点，所以，故； 因为且平面， 所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直，在面内找两条相交直线与已知直线垂直，根据题干所给面面垂直关系找出线线垂直，再根据底面的边角关系找出垂直条件，进行证明即可； （2）根据（1）中所得的垂直关系，可建立空间直角坐标系，将两平面的夹角转化为两平面法向量的夹角进行计算； （3）利用（2）中的向量代入点到平面的距离公式计算三棱锥的体积，再根据四棱锥的已知条件计算体积，作比即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知底面，； 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，则，，，； 则，； 设为平面的法向量，则 ，故，取； 同理可得平面的法向量； 则， 则平面与平面夹角为，故正切值为； 【小问3详解】 由（2）知，，，故； 则， 则， 设为平面的法向量， 则，故，取； 设到平面的距离为， 则； 因为，故， 由； 则； 因为， 则； 故． 19. 由个实数组成的有序实数组称为维向量．设，称为的转置，记作．将个维向量，，，的转置，，，从左至右顺次排列构成数阵，记．例如，，，则．对任意维向量，和数阵，定义如下运算： ①，特别地，若，则称与正交；若，则称为单位向量． ②． ③对任意且，，其中． （1）设，，，，直接写出和； （2）已知维向量，，均为单位向量，且两两正交．设，，存在正整数，使得． ①求，，，的值及的最小值； ②若，求证：对任意正整数，为定值，并求出该定值． 【答案】（1）， （2）①，，；的最小值为 ②定值为，证明如下： 设，由，则，，， 则， 故，， ， 令，则有，， 则， ， 则， ， 故可猜想， 当时，有，符合题意； 假设当时，有， 即，，； 则当时，有，其中， ， ， 故； 综上可得：， 则， 即对任意正整数，为定值，且该定值为. 【解析】 【分析】（1）利用所给定义计算即可得； （2）①利用单位向量与正交的定义，计算可得，，，，再分别计算出、、、，即可得的最小值；②设，结合所给定义计算可得，，，计算前几项后可猜想，再利用数学归纳法证明该猜想，从而可计算出该定值. 【小问1详解】 ，， 故； ， ， 故； 【小问2详解】 ①由为单位向量，则，故，即， 由为单位向量，则， 由与正交，则，故， 由与正交，则，则， 则有，解得（正值舍去），则，即； 则，，， ，，， 故的最小值为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2025—2026学年度下期期末考试 高一数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则=（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. -2 3. 已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 24 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，，，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A. B. C. D. 8. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则下列说法正确的是（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分． 9. 设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则或 D. ，，，则 10. 事件，，为三个随机事件，且，，，则下列命题中错误的有（ ） A. 若事件与互斥，则事件与也一定互斥 B. 若事件与相互独立，则事件与也一定相互独立 C. 若，则事件，互斥 D. 若事件与相互独立，且与相互独立，则与也一定相互独立 11. A. 若为线段的中点，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 设为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为 D. 若，且，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为_______________． 13. 某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________． 14. 在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知边上的中线，． （1）求角； （2）求面积的最大值． 16. 如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2026年中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看赛事的时长（单位：小时）．现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人． 女生每周观赛时长原始数据如下： 8.20 8.40 8.60 9.05 9.10 9.15 10.50 10.50 11.20 11.80 12.20 12.30 12.50 12.70 13.10 13.30 13.50 13.80 15.20 20.00 男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下： （1）求该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数 （2）估计该班男生每周观看赛事时长的中位数． （3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受． 设事件：选出的2人中恰有1名女生； 设事件：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间内； 判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 19. 由个实数组成的有序实数组称为维向量．设，称为的转置，记作．将个维向量，，，的转置，，，从左至右顺次排列构成数阵，记．例如，，，则．对任意维向量，和数阵，定义如下运算： ①，特别地，若，则称与正交；若，则称为单位向量． ②． ③对任意且，，其中． （1）设，，，，直接写出和； （2）已知维向量，，均为单位向量，且两两正交．设，，存在正整数，使得． ①求，，，的值及的最小值； ②若，求证：对任意正整数，为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $