1.1.2空间向量基本定理的预习及检测（第1课时）——2026年暑假人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量基本定理为核心，通过情境探究-概念辨析-应用检测的递进式设计，系统构建基底表示方法与空间向量分解逻辑，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |问题探究|4问|情境抽象→定理生成|从教室墙角向量（具体）到空间向量基本定理（抽象）| |知识梳理|4点|概念结构化梳理|定理→基底（定义/性质）→单位正交基底→正交分解| |概念辨析|5题|概念辨析与反例验证|基底判定（不共面）、正交基底性质| |过关检测|10题|基底表示与空间分解|结合几何体用基底表示向量，强化定理应用|

人教A版选择性必修第一册预习检测 1.2空间向量基本定理（第1课时） 一、学习目标： 1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义. 2.了解基底的意义. 3.掌握以空间中三个不共面的向量为基底表示其他向量的方法. 4.运用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题. 二、问题探究 1、我们所在的教室是一个三维立体图形，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 提示：（1）可以. 2、如图所示，空间中任意三个向量，，不共面时，能用这三个向量唯一表示吗？ 提示：空间中任意三个向量不共面时，设a，b，c不共面，过点O作＝a，＝b，＝c，＝p，过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'， 在平面OAB内，过点P'作直线P'A'∥OB交OA于点A'，P'B'∥OA交OB于点B'，存在三个实数x，y，z，使得＝x＝xa，＝y＝yb，＝z＝zc，从而＝＋＋＝x＋y＋z＝xa＋yb＋zc， 因此，如果a，b，c是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 3、用不共面的三个向量a，b，c表示空间内任一向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc，这样的有序实数组是否唯一？ 提示：唯一. 设另有一组实数x0，y0，z0，使得p＝x0a＋y0b＋z0c，则xa＋yb＋zc＝x0a＋y0b＋z0c， ∴（x－x0）a＋（y－y0）b＋（z－z0）c＝0，∵a，b，c不共面，∴x－x0＝y－y0＝z－z0＝0，即x＝x0且y＝y0且z＝z0，故实数x，y，z是唯一的. 4、空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？ 提示：不可以.还需满足三个向量两两垂直. 三、知识梳理 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得　p＝xa＋yb＋zc　. 2.基底的概念 （1）定义：如果三个向量a，b，c　不共面　，那么所有空间向量组成的集合就是{p｜p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个　基底　，a，b，c都叫做基向量. （2）性质：空间任意三个　不共面　的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　两两垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 提示：（1）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. （3）若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 四、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底. （　√　） （2）两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线.（　√　） （3）若，，能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面.（　√　） （4）若{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且存在实数x，y，z，使xa＋yb＋zc＝0， 则x＝y＝z＝0.（　√　） 2. 下列说法中，正确的是(　　) A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 直线的方向向量有且仅有一个 【答案】C 【解析】 对于A，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，当三个不共线的向量共面时，不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，空间的基底不只有一个，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，D错误. 3.（多选）若a，b，c不共面，则（　　） A.b＋c，b－c，a共面 B.b＋c，b－c，2b共面 C.b＋c，a，a＋b＋c共面 D.a＋c，a－2c，c共面 【答案】BCD 解析：无法得到a＝x（b＋c）＋y（b－c），x，y∈R，得b＋c，b－c，a不共面，A错误；由2b＝（b＋c）＋（b－c），得b＋c，b－c，2b共面，B正确；由a＋b＋c＝（b＋c）＋a，得b＋c，a，a＋b＋c共面，C正确；由c＝[（a＋c）－（a－2c）]，得a＋c，a－2c，c共面，D正确. 4. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是(　　) A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} 【答案】BCD 【解析】借助长方体进行判断，如图所示，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面. 5．【人教A版选择性必修一习题1.2第2题改编】若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面，不能作为空间一个基底，故A错误；对于B，因为，所以共面，不能作为空间一个基底，故B错误；对于C，假设共面，则存在实数使得，又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解，所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确；对于D，因为，所以共面，不能作为空间一个基底，故D错误. 五、过关检测 1．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，，则，又，且不共面，因此，所以. 2．（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面.对于C：，可以由和线性表示，所以共面.对于D：假设，可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 3．如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，，由为平行四边形，与交于点，所以为与的中点，所以 ，故选：D. 4. 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第1题改编】已知向量是空间的一个基底，则，，中，一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是 。 【答案】 【分析】易得，再根据是否与共面判断. 【详解】因为，，所以，所以与共面，与共面，所以与不可以构成空间的一个基底，与不可以构成空间的一个基底，而与不共面，所以与可以构成空间的一个基底. 5．如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则，又因为，且、、不共面，所以，，故. 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，设＝a，＝b，＝c，则＝　 .（用a，b，c表示） 【答案】a＋b＋c 解析：＝＋＋＝＋＋＝（c－a）＋a＋（b－a） ＝a＋b＋c. 7. 【人教A版选择性必修一第1.2节第3题改编】在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，则 （用向量、、表示）． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答案. 【详解】如下图所示： ， 所以，. 8. 【人教A版选择性必修一第1.2节第4题改编】如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，. 【答案】，. 【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得； 【详解】连接 所以 9、如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. [解]　＝＋＝＋＝＋（－） ＝＋［（＋）－］＝＋×（＋）＝＋＋. ＝＋＝＋＋＋＝＋＋. 10. 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第3题】如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，． （1）是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 【答案】（1）能；（2）；；； 【分析】（1）根据向量不在同一平面内可判断；（2）根据空间向量加减运算转化可求得. 【详解】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底； （2），， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第一册预习检测 1.2空间向量基本定理（第1课时） 一、学习目标： 1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义. 2.了解基底的意义. 3.掌握以空间中三个不共面的向量为基底表示其他向量的方法. 4.运用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题. 二、问题探究 1、我们所在的教室是一个三维立体图形，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 2、如图所示，空间中任意三个向量，，不共面时，能用这三个向量唯一表示吗？ 3、用不共面的三个向量a，b，c表示空间内任一向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc，这样的有序实数组是否唯一？ 4、空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？ 三、知识梳理 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得　 　. 2.基底的概念 （1）定义：如果三个向量a，b，c　 　，那么所有空间向量组成的集合就是{p｜p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个　 　，a，b，c都叫做基向量. （2）性质：空间任意三个　 　的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　 　，且长度都为　 　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 提示：（1）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. （3）若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 四、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底. （　） （2）两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线.（　　） （3）若，，能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面.（　　） （4）若{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且存在实数x，y，z，使xa＋yb＋zc＝0， 则x＝y＝z＝0.（　　） 2. 下列说法中，正确的是(　　) A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 直线的方向向量有且仅有一个 3.（多选）若a，b，c不共面，则（　　） A.b＋c，b－c，a共面 B.b＋c，b－c，2b共面 C.b＋c，a，a＋b＋c共面 D.a＋c，a－2c，c共面 4. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是(　　) A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} 5．【人教A版选择性必修一习题1.2第2题改编】若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 五、过关检测 1．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 4. 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第1题改编】已知向量是空间的一个基底，则，，中，一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是 。 5．如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，设＝a，＝b，＝c，则＝　 .（用a，b，c表示） 7. 【人教A版选择性必修一第1.2节第3题改编】在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，则 （用向量、、表示）． 8. 【人教A版选择性必修一第1.2节第4题改编】如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，. 9、如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. 10. 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第3题】如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，． （1）是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $