河南三门峡市2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

**基本信息** 以现实问题为载体，通过数学建模与数据分析考查抽象能力、推理意识和数据观念，体现数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数应用、立体几何、概率统计|结合科技情境设计梯度问题，从数学抽象到逻辑推理，体现真实问题解决能力|

2025—2026学年度下学期期末检测 高一数学——参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D B C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 CD ABC ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解析】（1），底面半径，∴母线． ． （2），是中点，． 又，是中点，． 又，平面． 平面，∴平面平面． 16．（本小题满分15分） 【解析】（1）由频率直方图的性质得，，化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得，代入得，． （2）样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，，，，组抽2人，记为， 从6人中选2人，总共抽法为：，，，，，，，，，，，，，，，共计15种； 两人来自不同小组的结果为：，，，，，，，，共计8种，故概率为：． 17．（本小题满分15分） 【解析】（1）由得，由余弦定理可得． （2）①因为，所以，， 由正弦定理得 所以． ②因为，得到，则，结合（1）有 所以，解得，故周长为． 18．（本小题满分17分） 【解析】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又，互斥， 所以，当时， ． 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为． （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， ． 19．（本小题满分17分） 【解析】（1）连接，设，连接． 因为，平面，平面，故， 而，，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，， 由中位线性质可得，且，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面， 因为，平面，平面，所以平面平面； 又平面，所以平面； （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故，故四边形为菱形， 而，故． 因为平面，平面，故， 故，同理． 而，故． 设为点到平面的距离，与平面所成的角为，故． 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立，所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末质量检测 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则复数的模是 A． B． C． D． 2．高一（2）班有女生30人，男生20人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取 A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 3．设向量，，则 A． B． C．与的夹角为 D． 4．甲、乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是 A． B． C． D． 5．在中，，，所对的边分别为，，，，，，则的值为 A． B． C． D． 6．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为 A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，四边形为正方形，则到平面的距离为 A． B． C． D． 8．已知平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，），则 A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的中位数相同 C．两组样本数据的标准差相同 D．两组样本数据的极差相同 10．下列关于各事件发生的概率判断正确的是 A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 B．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机等可能地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 D．已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为 11．如图，在正三棱柱中，点，，，分别是，，，的中点，则下列说法中正确的有 A．平面 B． C．平面 D．与相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则__________． 13．将边长为2的正方形沿对角线折起，使折起后，则二面角的大小为__________． 14．已知在中，，，，在的延长线上，，，若，则__________；__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，在圆锥中，已知，圆的直径，是弧上的点（点不与，重合），为中点． （1）求圆锥的侧面积； （2）证明：平面平面． 16．（本小题满分15分） 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． 17．（本小题满分15分） 在中，，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为． ①求证：； ②求的周长． 18．（本小题满分17分） 某项比赛每位参赛选手均须参加两轮．已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求，的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，分别为线段，的中点． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $