山东烟台市2025-2026学年第二学期期末自主练习高一数学试题

2025～2026学年度第二学期期末自主练习 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．样本数据84，76，78，82，88的第60百分位数是（ ） A．80 B．82 C．83 D．84 2．若一圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则其侧面积为（ ） A． B． C． D． 3．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ） A．内不存在与平行的直线 B．内的直线都与相交 C．内的所有直线都与异面 D．直线与平面有公共点 4．若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（ ） A． B． C． D． 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．已知一盒子中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，各小球除编号外完全相同，若从该盒子中随机抽取两个小球，则取出小球的编号为相邻整数的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字．记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 8．已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知四边形在平面内的平行投影为平行四边形，则四边形可能是（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．空间四边形 10．给定甲、乙两组数据，其中甲：，乙：，，，则（ ） A．乙的平均数大于甲的平均数 B．乙的方差大于甲的方差 C．乙的极差是甲的极差的两倍 D．乙的中位数大于甲的中位数 11．已知正方体的棱长为1，点P，M，N分别为线段，，上的动点（点异于点），则下列结论正确的有（ ） A． B．对任意的点，均存在点，使得平面 C．直线与所成的角的余弦值的最大值为 D．若点为底面内的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某学校学生的劳动课程总成绩由纸笔测试、实践项目、学生互评三部分成绩构成，且这三部分成绩在总成绩中的占比分别为，，．若该学校全体学生上述三部分成绩的平均值依次为80，90，85，则该学校劳动课程总成绩的平均值为_________． 13．直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积的值为_________． 14．现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子．若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________．若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________．（本小题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知事件A，B相互独立，其对立事件分别为，． （1）证明：与相互独立； （2）若，，求． 16．（15分）为了解学生身体素质情况，某市从A，B两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，成绩在为“合格”，成绩不小于90分为“优秀”．现分别统计两所学校全部测试学生成绩（成绩均在），并整理得到如下图表，其中校成绩为“不合格”的人数为10人． A校测试成绩频数分布表 B校测试成绩频率分布直方图 分组 频数 10 a 40 20 10 （1）求图表中a，b的值，并根据频率分布直方图估计B校所有测试学生成绩的中位数（精确到0.01）； （2）已知A校所有测试学生成绩的平均值为75、方差为120，求B校所有测试学生成绩的平均值和方差（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），并据此比较两所学校学生身体素质的平均水平与个体差异水平的高低； （3）采用比例分配的分层随机抽样方法，从A，B两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中，随机抽取6人．若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率． 17．（15分）如图，三棱台中，底面，平面平面． （1）证明：； （2）若，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：平面． 18．（17分）乒乓球运动是常见的大众运动项目之一．已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束．现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立． （1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束． （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； （2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率． 19．（17分）如图，四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，，且二面角的大小为． （1）证明：平面平面； （2）求侧面与侧面所成二面角的余弦值； （3）设点为底面内一点，且，求直线与所成的角的余弦值的取值范围． 2025～2026学年度第二学期期末自主练习 高一数学参考答案 一、选择题： 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．D 8．A 二、选择题 9．ACD 10．BC 11．ABD 三、填空题 12．86 13． 14．， 四、解答题 15．（1）证明：因为事件，相互独立，所以． （法一）因为，所以 又 所以 所以与相互独立． （法二）对于与，因为，而且与互斥， 所以． 所以 所以与相互独立． 同理，． 所以， 所以与相互独立． （2）因为，，所以，， 所以 ． 所以． 16．解：（1）因为，所以． 因为校测试成绩“不合格”的人数为10，所以每校的样本容量为， 因为，两校抽取相同数量相同的学生，所以由频数分布表得． 设校测试成绩的中位数为，则有， 解得． （2）设，两校所有测试学生的平均值分别为，，方差分别为，．由频率分布直方图得， ， 又，，所以，，据此可以推测两校学生身体素质的平均水平相同，但校的个体差异水平更低． （2）由题意可知，校测试成绩优秀的学生有10人，校成绩优秀的学生有 人，采用分层抽样选出6人，则校有人，记为，，，， 校有人，记为，． 现从这6人中选出2人，所有不同的结果共有15种： ，，，，，，，，，，，，，，． 2人来自同一学校的不同的结果共有7种：，，，，，，， 所以，所求概率． 17．（1）在面内作，垂足为 又面面，面面， 所以面． 因为面，所以． 因为面，，所以． 又，所以面， 所以． （2）连接，交于点，在侧面中，因为， 所以． 又，所以，所以， 又面，面，所以平面． 18．解：（1）（ⅰ）比分平后，两人又打了2个球后比赛结束，则这两个球均由甲得分，或均由乙得分，且两者互斥，所以． （ⅱ）若，则最终比分为，且这4个球中前两个球甲、乙各胜1球，第3，4个球均由甲胜．设双方平后的第个球甲获胜为事件，则事件“且甲获胜的”，且与互斥． ， ， 所以事件“且甲获胜”的概率为． （2）甲、乙的比分暂吋为，若甲得11分时比赛结束，则共有3种情形：①甲以胜，即甲接下来连赢3球，设为事件；②甲以胜，即双方接下来共打4个球，且甲前3球赢2球，且赢第4个球，设为事件；③甲以负，即双方接下来共打8个球，且前4球甲乙各赢2球，第5，6球各赢1球，第7，8球乙赢，设为事件， 因为双方打每个球的结果相互独立，且，，互斥，所以 ， ， ， 则． 所以甲得11分时比赛结束的概率为． 19．解：（1）证明：因为底面为等腰梯形，且，延长，，设其交点为，连接．设线段的中点为，连接，，设． 在中，因为，所以， 在中，因为， 所以为等腰三角形，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 由已知可得，，， 因为平面，所以为二面角 的平面角，所以． 在中，由余弦定理． 又因为，所以， 由勾股定理，为直角三角形，所以． 又，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知，平面平面，设的中点为，连接，． 在中，，所以．同理，． 所以为侧面与侧面平面所成二面角的平面角． 在中，，． 所以． （3）因为，所以，所以点的轨迹为平面中以为圆心、半径为2的圆在底面内的半圆部分． 在平面内，过点作直线的平行线（当点在直线上时，直线与重合），当不经过点时，过点作，且，则即为直线与所成的角． 若点与点不重合，因为平面，平面，为斜线在平面内的射影， 且，由三垂线定理可得． 所以， 又因为，所以，即， 若点与点重合，，余弦值为0． 当经过点时，． 综上，直线与所成角的余弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $