湖南怀化市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

温馨提示： (1)本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分. (2)请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上， (3)请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效， 2026年上学期高一年级期末测试试题 数学 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 若复数z满足z=(1-i,i为虚数单位，求z= A.2 B.√2 C.1 D.√5 2. 已知园=1，=2，a与6夹角为60°，则a.6= A.3 B.-1 C.1 D.3 3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调 查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别490,510名，则应抽取男生的人数为 A.50 B.51 C.68 D.49 4. 在△ABC中，设AB=a,AC=b,若BM=3M元，则AM= A2a+36 B.3a+6 3 c.4a+6 D.a+46 4 5 5 5.将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 A若 B.元 C32 3 6.i 知向量a,b满足a=(-1,1),b=(-2,4),则6在a上的投影向量为 A.（-3,3) B.（-4,8) D.（-2,2) 7.设a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 A.若alla,bla,则allb B.若a⊥a,allB,则a⊥B C.若a⊥a,a⊥b,则blla D.若alla,allB,则allp 8.棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，2为正方体表面的动点，O为正方体外接球的球心， 满足O可=V2,则点2的运动轨迹的长度 A.2π B.4π C.6元 D.12m 高一数学第1页（共4页) 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中，不正确的是 A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.一个多面体至少有4个面 C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 10.设A,B,C是样本空间中三个概率都大于0的随机事件，则下列选项正确的是 A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B.事件A与事件C中至少有一个发生的概率不小于A与C中恰有一个发生的概率 C.事件A,C相互独立与A,C互斥不能同时成立 D.若P(ABC=P(A)P(B)P(C成立，则事件A,B,C一定两两独立 11.复数z=a+bi（a,beR,i为虚数单位)的三角形式为z=r(cos0+isin),我们把这个结论： [r(cos0+isin0)]”=r"(cosn0+isinn)（n∈N',r是复数z的模，0是复数z的辐角)，叫做 棣莫弗定理根据以上信息判断下列选项正确的是 A若z=0os20+isim20,则2+z+1=0 3 3 B.若z=os+isn子则-g-k- 3 z=1+cos0+isin8,8∈（亿，2，则g=2 D.若n≤2026，n∈N*,存在0∈R满足(sin0+icos)"=sinn0+icosne0,这样的n共有507个 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知两个非零向量a,b,且a=(x,1),b=(2x,x),若a/b,则x= 13.有一组样本数据：6，，2，，x4,5,6,己知它的平均数为6，方差为10，则新数据 为，x2,为，x4,本5的方差为 14.已知一个圆锥的底面半径为6，侧面积为72π，若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋 转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为 高一数学第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 15.(本小题满分13分)抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为I号和Ⅱ号），分别观察底 面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件A=“两个数字之和是5”， B=“两个数字之积不小于6”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)求事件A及事件B的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由. 及 16.(本小题满分15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc, √2 bsin C=c. (1)求角C; (2)点D在AB的延长线上，若△ACD是斜边为2的直角三角形，求△BCD的面积. 17.（本小题满分15分)某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)， 一户居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.通过抽样，获得 了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据分成5组制成了下方所示的频率分布表 (1)若该市有140万户居民，请估计全市月均用水量不低于19吨的户数； (2)若该市政府希望使80%的居民的月均用水量不超过标准x(吨)，请估计x的值； (3)现拟定收费标准如下：月用水量不超过x吨的部分按3元/吨收费，超出x吨的部分按 4元/吨收费.若取x=19，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值（每组 数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量)， 分组 频率 [1,7) 0.10 [7,13) 0.25 [13,19) 0.40 [19,25) 0.20 [25,31] 0.05 高一数学第3页（共4页) 18.(本小题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方 形，E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证：EF⊥CD; (2)设面PBC∩面PAD=I (i)求证：ADWl; ()若直线EF与直线I所成角为？，求直线EF与平面PBD所成角的正弦值. h P D E 19.（本小题满分17分)已知a=(:,),方=(：2，y2),定义运算a⑧bxy2-y1.设0为坐标 原点，A,B为平面直角坐标系中的两点，且a=OA,b=OB. (1)求证1a1=(a⑧2+(a-b; (2)若A(cos0,sin8),B(cos(0+p),sin(0+p).设M=a⑧b,求证M是一个仅与p有关的量； (3)0设4(，y),B(2,2),利用(1)的结论证明△40B的面积为%-· ()已知A(L,1),B(cos8,0),C(0,sin0).设△ABC的面积为f(0),若V0∈R, f()≤m(sin0+cosB+2)恒成立，求m的取值范围. 高一数学第4页（共4页)2026上学期高一期末数学试卷参考答案 2 3 7 8 9 10 11 B D D A B D ACD ABC ABD 12. 2 13. 14 14.64 8.提示：由OO=V2知，Q的轨迹是以√2为半径的球，恰好是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,的 棱切球。正方体的6个面与棱切球轨迹是各面的正方形的内切圆，半径为1。故Q的轨迹长 6×2π×1=12π 9.提示：正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误： 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体 不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误：用一个平面去截棱锥，必须是平行于底 面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误， 10.提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确 由P(AUC)=P(A)+P(C)-P(AC)知，B正确； 若A与C相互独立，则P(AC)=P(A)+P(C)若A与C互斥，则P(AC)=0≠P()+P(C),故C正确； 对于选项D,假设一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它 与地面接触的面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8}，事件A={1,2,3,4},事件 B={L2,35},事件C={2,67,8}.显然P(A)=P(B)=P(C)=2 事件ABC=,显然P(ABC)§满是P(4BC)=P(AP(B)PC), 而此时P(AB)=,而P(AP(B)=子，P心4)≠P(④P(),不能推出4B相互独立，故D错误 11.提示：z=c0s n2红-1+51,2+z+1=0A正确： 322 由模的性质3=33知，206-207=(-225-206)=-225-06，B正确： 向0,29)号=写对：所以o <0,c错误： 又(sinθ+icos0)”=sin10+icos1n8 :.匹-0=2kr+元-0即n=4k+1,k∈2 2 n≤2026，n∈W*,∴.0<4k+1≤2026，k∈Z ∴.0≤k≤506.25，k∈Z故这样的n共有507个D正确. 14.提示：由条件：一个圆锥的底面半径为6，侧面积为72π得到圆锥的母线长为12，即轴截面为正三角 形。若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体，即正方体的外接球恰好与圆锥内切。 轴截面切球得到图形为正三角形的内切圆，该内切圆的半径为2√3，即球的半径为2√5。由正方体的 体对角线长为外接球的直径4√3，得到正方体的棱长为4，体积为64.故该正方体体积的最大值为64. 15.(1)2={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4}，其中x为1号骰子点数，y为Ⅱ号骰子点数。…2分 A={(1,4),(2,3),(3,2),（4,1)}…4分 B={(2,3),(3,2),(2,4)(4,2),(3,4),(4,3),(3,3)(4,4)}…6分 回AB=《亿，3).3,2》，由古爽概型公式可得：P(4D)=品-日 …8分 因为P(AP(B)=子×号-名，所P(AB)=P(A)P(B)1分 所以事件A与事件B相互独立… …13分 16(1)由a2=b2十c2-bc及余弦定理可得c0sA= 2 因为A是三角形的内角，即A∈(0，π)，所以A=交 3 …2分 由V√2 bsinC=c及正弦弦定理可得√2 sinBsinC=sinC…4分 因为sinC>0,两边同时除以sinC,所以sinB=1=Y2 V2-2 所以B=喜或B=3T 4(舍)… …6分 所以C=元-A-B=是不…7分 5 (2)由题意知，∠ACD=90°..… …9分 在△ACD中，A=60°，AD=2 .CD=/3,∠CDB=30°…10分 在△BCD中，由正弦定理得 BC= sin∠CBD sin∠CDB=V6 CD …12分 又sin∠BcD=sinl5°=V6-V2 …13分 4 Sam=BC.CDn∠B0D4分 =3V3-3 …阻5分 8 17.解：(1)由频率分布表可知，月均用水量不低于19吨的频率为：0.20十0.05=0.25…2分 根据“频数=总数×频率”，可得月均用水量不低于19吨的户数为140×0.25=35…4分 (2)我们需要找到x,使得月均用水量不超过x的居民占比达到80%（即累积频率为0.80）， 因为0.75<0.80<0.95，所以x必定落在第四组19,25)… ……6分 假设数据在组内均的分布，则x距离下限19的距离为：(z一19)三0,2×6=1.5 因此，x=19十1.5=20.50（吨）。…9分 (3)当用水量∈[1,7)，平均水费为4×3=12元； 当用水量∈[7,13)，平均水费为10×3=30元： 当用水量∈[13,19)，平均水费为16×3=48元： 当用水量∈[19,25)，平均水费为19×3+(22-19)×4=69元： 水量∈[25,31]，平均水费为19×3+(28-19)×4=93元… …14分 因此平均水费为： 12×0.10+30×0.25+48×0.40+69×0.20+93×0.05=46.35（元)…15分 18.(1).底面ABCD为正方形，.CD⊥AD… …1分 又PD⊥底面ABCD，.CD⊥PD…2分 而AD∩PD=D,∴.CD⊥面PAD… …3分 .CD⊥PA… …4分 又E,F分别是AB,PB的中点 .CD∥PA… …5分 .EF⊥CD… …6分 (②)(i)BC∥AD,ADt面PBC,BCC面PBC.AD∥面PBC…8分 而面PBC∩面PAD=I,ADC面PAD.AD∥I.… …10分 (i)因为EF‖PA,所以直线EF与平面PBD所成的角等于直线PA与平面PBD所成的角. 连接AC交BD于点O,因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD 又因为PD⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC 由于PD∩BD=D,可得AC⊥平面PBD…I2分 所以∠APO直线PA与平面PBD所成的角…I3分 由()知AD‖1，由(1)知EF‖PA, 因此直线EF与直线所成的角等于直线PA与直线AD所成的角，即∠PAD=石…14分 设直线PA与平面PBD所成的角为0，不妨设PD=a 在Rt△PDA中，斜边PA=2a,A0= 20, …16分 所以sina=A0V6 …17分 PA 4 即直线EF与平面PBD所成角的正弦值为Y 4 19.(a·)2+(a⑧)=(2+h2)2+(1h-2h)2 …1分 =xx号+yy2+xg2+ =(+2)(好十经)… …2分 =2到2… …3分 (2)M=Icosesin(+)-sine cos(+)=Isinl............ …6分 ∴.M是一个仅与p有关的量 @台△A0B的面积=支0A,0Bm乙A0B …7分 =2V6A.0B2.(1-cos2ZA0B）8分 号V/10A210B2-(0A·0B2.…9分 =210A×0Bl2=2a%-20分 (i)由题设知：f(0)=2lsin0+cos6-sin9cosl 不等式f(0)≤m(sin9+cos0+2)可化为：m≥lsin9+cos9-si血8cos0l 2(sin0+cos0+2) …11分 t=sin0+cos0+2,则t∈[2-√2,2+√2] sin+cose-sinecos2-6t+7 .2(sin0+cos0+2） …12分 法-令ge)=1世-t+7,te2-V2,2+V2 4t ①当t∈[2-V2,3-V2], 则g0-“-+7-+红-号2-V2,3-V2单调迷减， g(t)mx=g(2-V2)=6+5V2 …14分 8 ②当t∈(3-V2,2+V21, 则g0=--+7-喜+号在8-V区，2+V②单调选增， g()mx=g(2+V2)=5V2-6 …16分 8 综上@gee-哈6m≥Y2+9 …17分 8 庆注到e2-v,2+V回++-+品-到 设g()-喜+-是te2-v2,2+V@例 ()avt-s atv2] …15分 lg(t)川mm=6+5V2 8 m≥6+5y2 …17分 8