第22章 图形的相似（暑假单元自测）新九年级数学新教材华东师大版

**基本信息** 华东师大版新教材八年级图形的相似单元卷，以文化传承（如《西游记》美猴王图片）与科技应用（如汽车视野盲区）为情境，覆盖相似变换、位似、比例计算等核心知识点，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|相似性质、比例尺、位似|第4题以美猴王图片放大考相似变换，渗透文化传承| |填空|6/18|坐标确定、位似三角形、比例线段|第13题位似三角形填数游戏，培养创新意识| |解答|8/72|比例计算、证明、实际应用|第22题汽车视野盲区结合测量数据，体现数学与现实联系；第23题重心概念探究，发展推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章 图形的相似单元自测卷 【新教材，华东师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(3分)如图，四边形ABCD一四边形EFGH.若AB=5,EF=3,则它们的面积之比为() G H B E A.5:3 B.3:5 C.25:9 D.无法确定 2.(3分)在比例尺是1：2000000的地图上，A,B两地间的距离为4cm,则A,B两地间的实际距离是 () A.8km B.5km C.80km D.0.5km 3.(3分)如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三 角形与原三角形不相似的是() 65 65 65 65 A.B C B.B C.B D B 4.(3分)《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号.如图，用 放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于() 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.轴对称变换B.平移变换 C.相似变换 D.旋转变换 5.(3分)如图，△ABC和△ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA上.若 OA:AA=1:2,则△ABC和△ABC的面积之比为() A.1:2 B.1:4 c.1:3 D.1:9 6.(3分)如图，以点C-1,0为位似中心，作△ABC的位似图形△ABC,若点B的横坐标是-3，点 B的对应点B的横坐标是3，则△ABC与△ABC的周长之比为() A.1:2 B.1:4 C.2:3 D.2:1 7.(3分)从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵 阳城环绕.若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为 -1,2,则“文昌阁”的坐标可以表示为() 文昌阁 红边门· 六广门 A.-5,1 B.-1,6 c.-3,2 D.-3,6 218 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(3分)如图，△ABC是由△ABC以点O为位似中心放大得到，△ABC还可以看作是△ABC经 过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似：②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次 位似：④1次轴对称、1次旋转和1次位似.其中所有正确结论的序号是（) B 0 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 9.(3分)若△ABC和△乙满足下列条件，其中能使△ABC一△乙的是() A.AB=3,BC-8,AC-9,DE-2,FE-DF-6 B.AB=3,BC=8,AG-9,DE-16.FE-2,DF-6 C.AB=1,BC=V2,AC=1.5,DE=2,FE=2/2,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=33,FE=2,DF=6 I0.(3分)如图的等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上移动，且满足与外心O三点共线，将 △BDE沿直线DE折叠，与AC交于点F,G,连接OF,OG,则下列为定值的是() B A.OF与OG的比值 B.四边形DEFG的周长 C.四边形OGBF的面积 D.∠OFG与∠OGF的角度和 二、填空题（共18分） 11.(3分)要确定在你家周围北偏东60°的某一地点，还需要知道 12.(3分)如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为· 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 滩8 0cm 12cm xcm 13.(3分)一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不 同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则y=一， 14.(3分)已知k=m+n-卫-m-n+2=n+p-m 则k的值为 p n m 15.(3分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一点，且AE=2ED,连接BE并延长 交AC于点F,已知AD=6,CD=3BD=12,则SAAEF= 16.(3分)如图，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，AO=8,OC=6,点P从点0出发以1个单位长度 秒的速度向终点A运动，同时点O从点A出发以4个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒， 当∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，t的值为 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共72分） 17.(8分)已知吃75 nX=卫=2≠0，求X+y,的 一的值。 18.(8分)如图，四边形ABCD一四边形ABCD,求AB的长及∠D的度数 D D' 18 71070 120° 12 6 B B' 8 19.(8分)已知，如图，在△ABC中，∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端点B、C重合），连结 AD,以AD为边，在AD的右侧作等边△ADE,线段DE与线段AC交于点F.求证：△AEF一△DCF. 20.(8分)在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与△ABO关于坐标原点O位似，且 其边长是△ABO的边长的两倍. yA yA 5 5 4 3 3 A 1 B B 65432-9 1.2345.6 65432-91.23456 3 3 4 +4 5 图1 图2 21.(10分)如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形），小芳和妈妈 在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 桃花源 荷塘朝色 竹海听风 小芳：“‘竹海听风’的坐标为-1，-2”. 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向” 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的， (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为M0,-4,“碧波潭”的坐标为V3,-3,请在平面直角坐标系中用点M,N 表示这两个景区的位置； (3)如果1个单位长度代表35m长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置. 22.(10分)为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图 2,线段PQ为驾驶员，PQ与地面垂直，车头近似看成矩形ABCD,驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区， 发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形CDMN)· P 图1 图2 测量数据：驾驶员眼睛 距地面的高度为1.5m,车头AD的高度为0.9m,宽度AB为1.8m,车头到点P的水平距离为0.8m. 问题解决： (①)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲 区长度（视野盲区的前沿MN到车头的水平距离为盲区长度）： (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 图4 (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛P距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会 (填“减小”、“不变”或“增大”)： ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会 (填“减小”、 “不变”或“增大”) 23.(10分)【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点G为△ABC的重心，连接CG,AG并延长 GF 1 分别交AB,BC于点E,F,连接EF,通过观察他发现GA2请你帮他证明一下.这个发现非常重要， 由以上的证明你得到的结论是： 【应用】如图2，在△ABC中，已知AD是BC边的中线，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交 BE CF AB,AC于点E,F.如图2，当EFBC时，求证：A+月=L: 【提升】如图3，AD是边BC的中线，G是△ABC的重心，当EF和BC不平行，且点E,F分别在线段 AB,AC上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 G G F E O 图1 图2 图3 24.(10分)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB上，连接BE. B K C 图1 图2 (1)如图1，求证：△BCE一△ACD: (2)如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交 于点K ①求证：AC=CF: ,GF-5 KD ②当GB6时，直接写出KE的值. 8/8 第22章 图形的相似 单元自测卷 【新教材，华东师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 2．（3分）在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 3．（3分）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 4．（3分）《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 5．（3分）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 6．（3分）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 7．（3分）从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为，进一步求解即可. 【详解】解：∵“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为， ∴“文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大， ∴A，B，C,不符合题意；D符合题意. 8．（3分）如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解． 【详解】解：①如图， 假设沿所在直线向下平移得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次平移和一次位似可以得到， 故①正确； ②如图， 假设绕点C旋转，得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次旋转和一次位似可以得到， 故②正确； ③两次轴对称之后，可以看作一次平移， 所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到， 故③正确； ④如图， 假设先沿所在直线轴对称，得到， 再绕点O旋转得到， 由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形， 故④错误； 故选：A． 9．（3分）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 10．（3分）如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 【答案】D 【分析】多次利用三角形的外心的性质与轴对称图形的性质以及角度的等量代换，转化出，，等数量关系，再对每一项逐步验证即可． 【详解】解：A、如图所示，连接，，，，延长交于点，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，， ∴， ∵点是等边的外心， ∴，，，， ∵沿直线折叠得到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴； 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴； 同理可证得，平分，， ∴，； ∵在中，， ∴， 又∵，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； 过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点是的外心， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵与均非定值， ∴不是定值； B、∵四边形的周长，所有线段无法转化到某一固定的线段上， ∴其周长不为定值； C、∵点是等边的外心，沿直线折叠， ∴， 可证，， 此时四边形的面积， ∵非定值， ∴四边形的面积非定值； D、∵，，平分， ∴， ∵， ∴与的角度和为定值． 二、填空题（共18分） 11．（3分）要确定在你家周围北偏东的某一地点，还需要知道________． 【答案】那一地点到“你”家的距离 【详解】解：根据平面内确定位置的三要素：观测点、方位角、距离可知，还需要知道：那一地点到“你”家的距离． 12．（3分）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 13．（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 14．（3分）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 15．（3分）如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 16．（3分）如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【分析】如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接，可证明， ，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质． 由比例关系设参数，代入代数式计算即可求解． 【详解】解：设，则，，， ． 故答案为：． 18．（8分）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 19．（8分）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 20．（8分）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 21．（10分）如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：“荷塘月色”的坐标为 (2)点，如图 (3)“碧波潭”在“桃花源”的正南方向，距离桃花源处 【分析】（1）根据“竹海听风”的坐标建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标即可； （2）在坐标系中描点即可； （3）根据桃花源坐标，碧波潭，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由坐标系可得桃花源坐标为，碧波潭， 两点横坐标相等，因此碧波潭在桃花源的正南方向； 纵向距离为个单位长度，实际距离为， 故碧波潭在桃花源的正南方向，距离桃花源处． 22．（10分）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 23．（10分）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】证明：见解析；应用：见解析；提升：成立，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 24．（10分）在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)证明：由旋转可知，，，， ， ∴． (2)①证明：由旋转得，，，， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； ② 【分析】（1）利用旋转的性质结合相似三角形的判定即可证得结论； （2）①根据旋转的性质得出，，再利用平行线的性质和平角的定义得到，证明，即可得出结论； ②延长，交的延长线于点M，先证明，再证得，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理结合已知条件即可得出最终结果． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，延长，交的延长线于点M， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 由（2）①可知，， ∴， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $