第21章 一元二次方程（暑假单元自测）新九年级数学新教材华东师大版

**基本信息** 华东师大版新教材一元二次方程单元自测卷，90分钟120分，24题覆盖定义、解法、根的判别式等核心考点，通过基础题与新定义、实际应用题结合，适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|定义、一般形式、直接开平方法、根的概念|基础巩固，考查概念辨析与运算能力| |填空|6/18|解方程、根与系数关系、新定义（同族二次方程、倒方程）|融入创新情境，培养抽象能力与创新意识| |解答|8/72|解法（公式法、配方法）、实际应用（流感传染、面积问题）、新定义综合（和谐二次根式、全整根方程）|分层设计，结合生活实际与跨学科情境，发展模型意识与推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21章一元二次方程单元自测卷 【新教材，华东师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(3分)下列是一元二次方程的是() A.x2+3=1 B.x2-x=2 C.2(x-1)=4x D.x2+3y=1 2.(3分)将一元二次方程2x-x(x-3)=3化为一般形式，正确的是() A.5x-x2=3B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0D.5x-x2-1=0 3.(3分)如果关于x的方程(x-9)'=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是() A.m>0 B.m≥0 C.m>-3 D.m≥-3 4.(3分)关于x的一元二次方程x(x+)=x的解为() A.x=-1,x2=0 B.X=x2=0 C.x=x2=-1D.x=-1,x2=1 5.(3分)已知一元二次方程x2+x-5=0的一个根为-1，则m的值为() A.-4 B.4 C.-6 D.6 6.(3分)若x2-3x+p-p=0是关于x的一元二次方程，则() A.p≠1 B.p≠0且p≠1C.p≠0 D.p为一切实数 亿(3分)若关于x的一元三次方程+K2)x+=0的两根互为倒数，则k的值为( A.-2 B.2 C.2或-2 D.1 8.(3分)冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施， 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了X个人，则可列方程为() A.1+x2=16 B.1+X+x2=16 C.1+x+x1+x=32 D.x+x1+x=16 9,(3分)若关于，的一元二次方程的根为x-1±)-4×3x(- 则这个方程是() 2×3 A.3x2+x-5=0B.3x2-x-5=0C.x2-3x-5=0 D.x2+3x-5=0 10.(3分)对于一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ar2+br+c=0必有两个不相等的实根： ②若x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2a+b): ③如果存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c,则ar+br+c=a(x-m)(x-n）: ④若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立. 其中正确的有() A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题（共18分） 11,(3分)方程8x2-72=0解为 12.(3分)已知关于x的方程k-3x-1+x+2k+1=0是一元二次方程，则k的值应为 13.(3分)已知m是一元二次方程x2+4x-2=0的一个根，则m+51-m的值为 14.(3分)新定义：关于x的一元二次方程a1x-c2+k=0与a2x-c2+k=0称为“同族二次方程”. 例如：5x-6P+7=0与6x-62+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2x-12+1=0 与ax2-bx+2029=0是“同族二次方程”，则代数式ax2+bx+5的最小值是 15.(3分)对于实数a、b,定义运算“⊙”如下：a⊙b=a2-2b.若mO(m+2)=4,则m= 16.(3分)定义：cx+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.则下列四个结论： 、①如果x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，则c=一： ②如果aC<0,那么这两个方程都有两个不相等的实数根： ③如果一元二次方程ax-2x+c=0无解，则它的倒方程也无解： ④如果一元二次方程Qx+bx+c=0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其 215 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中正确的有 (填正确的序号)· 三、解答题（共72分） 17.(8分)解方程： (1)y2+4y-10=0 12 (②)x+2x-2 18.(8分)解方程： (1)x-1)2=9; (2)x2-2x-3=0. 19.(8分)某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如 图)，原长方形的空地长的一边减少了2m,短的一边减少了1m,剩余空地的面积为18m2,求原长方形 空地的周长。 2m 18m2 1m 不 20.(8分)已知关于x的一元二次方程2x-3x+m=0, (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围： (2)若方程有一个根为2，求它的另一个根及m的值. 21.（10分)若关于X的一元二次方程aX+bx+c=01a≠0的两根均为整数，则称4ac二 一的值为该方 4a 程的“关联值”，如：方程2-2x-3=0两根均为整数，其“关联值”为4×1X仁3--2=-4. 4×1 (1)方程x+3x+2=0的“关联值”为 (2)若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0的“关联值”为1，求m的值； (3)求证：关于x的一元二次方程x-n+2x+2n=0(n为整数)一定有“关联值”. 22.(10分)请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设所求方程的根为y, 则y=2,所以=号 把=专代入已知方程，得宁+芍1=0， 化简，得y2+2y-4=0 故所求方程为y2+2y-4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程2x2-x-5=0,求一个关于y的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出 所求方程； (2)已知方程a2+bx-3=0的两个根分别是1和-3，尝试求出另一个方程a(2x+3)'+2br=31-b)的两个根. 23.(10分)规定：两个含有二次根式的代数式a+mb,c+nNa,满足(a+mb)(c+na)=p,且 a,b,c,d,,,p是有理数，则称a+mWb与c+Wd是关于p的“和谐二次根式”.如 (3+√2)3-√2)=5，则称3+V2与3-√2是关于5的“和谐二次根式”. (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是 (填序号)； ①35与5：②5与5；③3+2与3-2. (2)若35+1与3-V5是关于12的“和谐二次根式”，求t的值： (3)若两个含有二次根式的代数式3+V2与a-√2b是关于7的“和谐二次根式”，试判断x=3+V2与 x2=a-√2b能否是关于x的一元二次方程x2-+k+1=0的两个根，并说明理由， 24.(10分)定义：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的两根都为整数，则称方程为“全整 根方程”.任何一个“全整根方程”的根的判别式b-4αc的值一定为完全平方数.现规定：代数式 4ac-b2 的值为该“全整根方程的最值码”.例如“全整根方程”x-3x+2=0的“最值码”为 4a 4×1×2--32=-1 41 已知关于x的一元二次方程x-m+2x+m+1=0是一个“全整根方程”， 4×1 (1)该方程的“最值码”是_（用含的式子表示）： (2)若关于x的一元二次方程x2-m+2x+m+1=0与x+2-nx-2n=0都是“全整根方程”.当其 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ◆ “最值码”相等时，求代数式2m2-2n-8n+4的值. 5/5 第21章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，华东师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．（3分）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 3．（3分）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 4．（3分）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 5．（3分）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 6．（3分）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 7．（3分）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 8．（3分）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 9．（3分）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 10．（3分）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 二、填空题（共18分） 11．（3分）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 12．（3分）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 13．（3分）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 14．（3分）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 15．（3分）对于实数，定义运算“◎”如下：．若，则______． 【答案】4或 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：4或． 16．（3分）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， 检验：当时，分母， ∴是原方程的解． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：，． （2）解： ， ∴或， 解得：， 19．（8分）某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个根为，求它的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）由方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可； （2）将代入方程，解出的值，化简方程后解方程即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， 解得； （2）解：∵为方程的根， ∴，解得， ∴原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴另一个根为． 21．（10分）若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】(1) (2)无解 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法进行解方程，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先根据关于的一元二次方程的“关联值”为1，进行列式计算，得；再分别代入，进行计算，即可作答． （3）根据，得因为为整数，关于的一元二次方程的两根均为整数，再把数值代入进行化简，然后分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． （2）解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； （3）证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 22．（10分）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 23．（10分）规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $