湖南省衡阳市衡山县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

**基本信息** 2026年八年级数学期末卷以“基础巩固+能力创新”为导向，融合赵爽弦图（文化传承）、PM2.5科学记数法（科技情境）、生物多样性竞赛统计（社会热点），全面考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式识别、函数概念、平行四边形判定|基础概念辨析，如第10题赵爽弦图结合勾股定理| |填空题|6/18|科学记数法、菱形性质、不等式解集|几何性质应用，如第13题菱形中垂直平分线与角度计算| |解答题|8/72|统计分析、几何证明、方案设计、阅读探究|22题“图形等分”探究培养创新意识，24题正方形动点问题提升推理能力，21题采购方案体现模型观念|

2026年上学期期末质量监测 八年级数学 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分。 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,并将选项填入表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．在式子，，，中，分式的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 3.下列函数中，是的正比例函数的是 （    ） A． B． C． D． 4．一组数据3，5，5，7，加入一个数5后，下列各统计量中，发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 5.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( ) A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 6．如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A． B． C． D． 7．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．某校八年级学生去距学校的衡山渡参观，一部分学生骑自行车，过了，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的倍，设骑自行车学生的速度为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 9.若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷非选择题（90分） 二、填空题（每小题3分，合计18分） 11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12．PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示______． 13．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝110°，AB的垂直平分线交 对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于 °． 14．如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 15．若关于x的分式方程的解为非负数， 则m的取值范围为 ． 16．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为2，则的值为 ． 三、解答题：（本题共8小题，第17小题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23每小题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. 18．先化简，再求值：，然后再从-1、1、2这三个整数中选一个作为x的值代入求值． 19. 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 b c 33.8 八年级 92 93 100 48.6 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ， ． (2)这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由． (3) 该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀 的八年级学生人数是多少？ 20. 如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2) 若，求的长． 21．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． (1)求足球、篮球的单价分别是多少元． (3) 学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多 于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ 22.阅读与思考：阅读下面材料，完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分，那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积图四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法？ 请在图7中画出来． 问题2：通过平分平行四边形的面积，你发现了什么？你能平分下面图案（图8）的面积吗？ 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式． 23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4． （1）求直线BC的解析式； （2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 24.四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作 交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】（1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路：如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】（2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】（3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 八年级数学试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测 八年级数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B D B A C C 11. 12. 2.5×10﹣6 13. 15 14. 15.或． 16. 17． …………………..3分 ． …………………..6分 18.解： ………………….4分 ∵， ∴， …………………..6分 ∴当时，原式． …………………..8分19．(1) …………………..3分 （2）解：依题意， ∴方差越小的成绩越稳定， 则七年级学生的成绩更稳定； …………………..5分 （3）解：依题意，（人） ∴该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是350人． …………………..8分 20．（1）证明：在中，于点，延长至点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 …………………3分 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； …………………5分 （2）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， …………………7分 ∵， ∴的面积 ∴． …………………9分 21.（1）解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元， 由题意得：， …………………3分 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ………………….4分 ， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是120元； ………………….5分 （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， 由题意得：， ………………….7分 解得：， ………………….8分 又为整数， 的值可为30，31，32，33，34，35， 共有6种购买方案： ①采购篮球30个，足球30个； ②采购篮球31个，足球29个； ③采购篮球32个，足球28个； ④采购篮球33个，足球27个； ⑤采购篮球34个，足球26个； ⑥采购篮球35个，足球25个． ∵篮球单价低于足球单价 ∴当购买的足球数量越少，篮球数量越多时，则购买资金最少 即（元）． ………………….9分 22.解：问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线KT，如图： 则直线平分平行四边形的面积； ………………….2分 问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积； 过圆心作直线MN，如图： 则直线MN平分图8的面积； ………………….4分 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，如图： 则直线平分整个图形的面积； …………………6分 问题4：如图： ， 直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分； ………………….8分 设直线的表达式为， 将代入得：，解得， 该直线的表达式为． …………………10分 23.（1）解：∵点C在x轴正半轴上，OC＝4， ∴C（4，0）， 由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5， 将C（4，0）代入得：0＝4m+5， 解得m＝﹣， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5 …………………3分 （2）解：过P作PH⊥AC于H，如图： 设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5， 将B（0，5）代入y＝x+b得： b＝5， ∴y＝x+5， 在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AC＝6， …………………5分 ∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15， ∵△ABP的面积等于△AOB的面积， ∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5， 解得n＝， …………………6分 ∴P； …………………7分 （3）解：存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得： ， 解得， ∴直线AP解析式为y＝x+2， 设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0）， ①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图： ∴， 解得， ∴D（1，0）； ………………..8分 ②若EB，DC为对角线，同理可得： ， 解得， ∴D（﹣11，0）； ………………..9分 ③若EC，DB为对角线， ∴， 解得， ∴D（7，0）， 综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）． ………………..10分 24：解：（1） = ………………..3分 （2）证明：如图，在上截取，连接． 则是等腰直角三角形． ∴． ………………..4分 ∵是等腰直角三角形， ∴，则． ………………..5分 ∵平分， ∴． ∴． ∵， ………………..7分 ∴． ∵． ∴． ………………..8分 ∴． （3）线段的长为4或12． ………………..12分 （ 直接写答案，每对一个记2分 ） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $