第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元提升卷，以科技情境（如机器学习集合相似度）和新定义问题（如“完美集”“封闭集”）为特色，覆盖集合运算、命题逻辑等核心知识，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|命题否定、集合运算、充要条件|单选第4题结合机器学习情境，多选第11题引入“完美集”新定义，考查抽象思维| |填空题|3题/15分|集合子集、元素特征|第14题通过五边形边长问题，考查集合元素分析与数学眼光| |解答题|5题/77分|集合综合运算、必要条件、“封闭集”证明|第19题以“封闭集”为载体，要求证明性质，培养逻辑推理与数学语言表达能力|

第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】存在量词命题“，”的否定命题为全称量词命题“，”． 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 3．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【解析】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 4．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 5．现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 6．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 7．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 8．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解析】由题意中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大时，则各集合中尽量小， 所以集合中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下， 使其中一个集合的特征值增加7即可，故的最大值为11． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 10．下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【解析】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 11．若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【解析】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【解析】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 13．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【解析】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 14．已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 【答案】14，15，16，16，17 【解析】设这个五边形的边长分别为，，，，，任取其中四条边求长度之和共可得5个和值， 但集合中只有4个元素，所以必有两个和值相等，可知有两条边长度相等. 5个和值的总和为，必为4的倍数. 因为， 又因为，，，， 只有为4的倍数，所以相等的和值为62. 所以，. 由，，，， 可得这个五边形的边长分别是14，15，16，16，17. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【解析】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 16．（15分） 设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 【解析】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则； 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，实数的值为或或 17．（15分） 设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【解析】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 18．（17分） 已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【解析】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 19．（17分） 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”， 且， 求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：． 【解析】（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，， ，，， 所以集合是“封闭集”； （2）因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以 ， 所以，则，命题得证． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 4．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 8．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 10．下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 11．若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足条件的集合的个数是____ 13．设a，，若集合，则______． 14．已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 16．（15分） 设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 17．（15分） 设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 18．（17分） 已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 19．（17分） 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”， 且， 求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D A A B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．7 13．0 14．14，15，16，16，17 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 16．【解析】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则； 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，实数的值为或或 17．【解析】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 18．【解析】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 19．【解析】（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，， ，，， 所以集合是“封闭集”； （2）因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以 ， 所以，则，命题得证． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $