暑假复习综合测试卷（高一数学人教A版，范围：必修第二册全册，暑假复习举一反三）（基础篇）

**基本信息** 暑假复习综合测试卷（基础篇）聚焦人教A版必修第二册，以120分钟150分题量实现基础巩固与核心素养融合，涵盖向量、概率、立体几何等模块，通过文化传承（慈恩塔测量）、现实应用（面包质量调研）情境，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量运算、百分位数、复数虚部|基础概念辨析，如第3题复数虚部考查数学语言表达| |多项选择|3/18|频率分布直方图、向量垂直与共线|分层能力考查，第11题组合体表面积与体积体现空间观念| |填空题|3/15|复数运算、独立事件概率、解三角形|情境化设计，第14题慈恩塔测量融合文化与几何直观| |解答题|5/77|向量夹角、概率计算、统计方差、立体几何翻折|综合应用导向，第19题翻折问题考查推理能力，第17题统计方差计算培养数据观念|

暑假复习综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·广东湛江·阶段检测）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 2．（5分）（24-25高一下·甘肃定西·期末）样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（    ） A．5 B．4 C． D．3 3．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高三下·贵州遵义·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）（24-25高一下·河北雄安·期末）在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 10．（6分）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若 ，则的值为5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则__________. 13．（5分）（24-25高一下·北京通州·期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为_________. 14．（5分）（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 16．（15分）（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 17．（15分）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 18．（17分）（25-26高一下·北京平谷·期中）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 19．（17分）（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假复习综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·广东湛江·阶段检测）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·甘肃定西·期末）样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（    ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【解答过程】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. 3．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【解答过程】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【解答过程】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 6．（5分）（24-25高三下·贵州遵义·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用列举法求古典概型的概率即可. 【解答过程】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·河北雄安·期末）在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先证平面，再由棱锥的体积公式求得，根据已知并应用等体积法求到平面的距离，结合即可求正弦值. 【解答过程】由平面，平面，则，又， 由，且都在平面内，则平面， 所以， 由题设，可得，，则， 所以，则， 令到平面的距离为，则，可得， 而，所以直线AE与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【解题思路】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【解答过程】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为 ， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 10．（6分）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若 ，则的值为5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】AC 【解题思路】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【解答过程】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若 ，则，解得，则， 所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. 故选：AC． 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【解答过程】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解题思路】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【解答过程】由，得，故. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·北京通州·期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为_________. 【答案】 【解题思路】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【解答过程】记端午假期甲地降雨为事件，乙地降雨为事件， 由题知，，且相互独立，所以相互独立， 所以两地都不降雨的概率为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解题思路】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【解答过程】（1）∵，且与夹角为， ∴， ∴； （2）， ∴. 16．（15分）（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【解答过程】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 17．（15分）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 18．（17分）（25-26高一下·北京平谷·期中）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过余弦定理直接求角； （2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积. 【解答过程】（1）由余弦定理： 已知，即，代入， 得：， 又，故. （2）已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ，， 所以. 19．（17分）（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【解答过程】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $