5.2 等式的基本性质 培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦等式基本性质，分层设计从基础概念辨析到综合探究应用，通过梯度化题型培养运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等式性质直接应用|选择1辨析性质变形正误，填空11结合代数式运算，夯实概念理解| |中档|性质综合应用|选择2天平情境建立等量关系，解答18分析去分母错误，提升应用能力| |拔高|含参数与新定义探究|选择10参数方程整数解，解答23"和谐方程"新定义，发展创新意识|

5.2等式的基本性质 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（　　）． A．4x-1=5x+2→x=-3 B． C． D． 2．如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（　　） A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c 3．有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（　　） A． B． C． D． 4．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列等式变形：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么，其中正确的有（　　） A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 6．方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．将方程的两边同除以，将，其错误的原因是（　　） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．两边都除以0 D．小于 8．下列对方程进行的变形中，正确的是（　　） A．4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5 B．x-1=x+3变形得4x-6=3x+18 C．3(x-1)=2(x+3)变形得3x-1-2x+6 D．3x=2变形得x= 9．为正整数，关于的方程的解为正整数，则的值有（　　）个. A．3 B．4 C．5 D．6 10．若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（　　） A．－16 B．－12 C．－10 D．－8 二、填空题（每题4分，共24分） 11．若，，则　 　． 12．若，则　 　. 13．x是实数，若，则　 　． 14．若方程与方程的解互为相反数，则k的值为　 　. 15．若关于x的方程是一元一次方程，则关于x的方程的解是　 　. 16．已知：如图，这是一种数值转换机的运算程序．存在输入的数x，使第2次输出的数还是x，直接写出所有符合条件x的值　 　． 三、解答题（共7题，共66分） 17．解方程：； 18．一名七年级的小学生，一次解方程 去分母时由于忽视了分数线的作用而变形为4x-2-6x+3m=10x+1-6，从而求得方程的解为x= ，求m的值和方程正确解 19．已知方程和方程的解相同. （1）求m的值； （2）求代数式的值. 20．已知梯形的面积公式为S= （1）把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式 （2）若a：b：S=2：3：4，求h的值． 21．计算：（﹣8）×（■）﹣23． 小阳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是，请计算（﹣8）×（）﹣23； （2）如果计算结果等于12，求被污染的数字． 22．阅读下列材料： 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定的顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，所有的无限循环小数都可以化为分数，例如： 可以利用这样的方法化为小数：设 ①，则 ②，②-①，得 ，即 ，所以 （1）填空： 写成分数为　 　． （2）请你利用上述方法将 化为分数． 23．若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a-b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程-2x＝-4的解为x＝2，而2＝-2-（-4），则方程-2x＝-4为“和谐方程”． （1）试判断方程-3x＝-4是不是“和谐方程”； （2）若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． （3）关于x的一元一次方程（1-m）x＝-3m2+5mn-n和（n+2）x＝-4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B 【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变. 2．【答案】B 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】解：根据题意可知，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：B. 【分析】根据题意可知2a=3b，2b=3c，根据等式的性质可将b分别用含a、c的代数式表示出来，然后结合各选项可判断求解. 3．【答案】B 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m， 根据题意，得即，故A不符合题意； ∴，故C不符合题意； 故B符合题意； ∴，故D不符合题意； 故答案为：B． 【分析】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，再分别求出各选项的等式并判断即可。 4．【答案】D 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A不符合题意； B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项不符合题意； C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项不符合题意； D．若，则，，所以D选项符合题意． 故答案为：D 【分析】根据 ，，对每个选项的结论一一判断即可。 5．【答案】D 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质 【解析】【解答】解：（1）当时，x和y的值可以不相等，故（1）错误； （2），即，等号两边平方，即得出，故（2）正确； （3）当a，b互为相反数时满足，但不满足，故（3）错误； （4），等号两边同时除以28，即得出，故（4）正确； 综上可知正确的有（2）（4），故D正确. 故答案为：D. 【分析】等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，据此判断（1）（4）；根据a+b=0可得a=-b，两边同时平方可判断（2）；根据|a|=|b|可得a=±b，据此判断（3）. 6．【答案】C 【知识点】一元一次方程的解；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：由题意得， ∴， ∴， 故答案为：C 【分析】先将方程两边同时平分，再解方程即可求解。 7．【答案】C 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：∵2（x−1）＝3（x−1）， ∴2x−2＝3x−3， ∴x＝1， 当两边同除以x−1时，即同除以了0，无意义， ∴错误的原因是方程两边同除以了0. 故答案为：C. 【分析】根据去括号、移项、合并同类项的步骤可得方程的解.注意：给等式的两边同时除以一个非零数，等式依然成立. 8．【答案】B 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：A、根据等式的性质1，两边都加应得到故本选项错误； B、根据等式性质2，，两边都乘以6，应得到 故本选项正确； C、，两边都变形应得 故本选项错误； D、根据等式性质2，两边都除以3，即可得到 故本选项错误. 故答案为：B. 【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等； 等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等； 等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等. 9．【答案】A 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：方程整理得：， 解得：， 由解为正整数，得到或或或， 解得：（舍去）或或或， 则的值有3个. 故答案为：A. 【分析】根据方程表示出x，由方程的解为正整数可得1+m=1或2或3或6，求出m的值，据此可得满足题意的m的值. 10．【答案】D 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：， ∴， 若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）； 若m≠-1，则， ∵解是整数， ∴x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8， 可得：m=7或-9或3或-5或1或-3或0或-2， ∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8. 故答案为：D. 【分析】对方程整理可得(m+1)x=8，若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）；若m≠-1，则x=，根据解为整数可得x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8，求出m的值，然后根据有理数的加减法法则进行计算. 11．【答案】6 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】解：∵，， ∴()+()=4()=12， ∴=3， ∴=6. 故答案为：6. 【分析】将已知等式相加并化简可得的值，据此求解. 12．【答案】-2 【知识点】等式的性质；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：由得，； 由得，； 由得，； ； 故答案为：-2. 【分析】根据连等式可得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可. 13．【答案】1 【知识点】等式的性质 【解析】【解答】解：① ， 两边同时乘以 ， ， ， ②， ②－①得 ， 故答案为：1. 【分析】给已知条件两边同时乘以x得出①式，两边同时加上1得出②式，然后用②式减去①式可得出答案. 14．【答案】2 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解： ， ， ∵方程 与方程 的解互为相反数， ∴方程 的解为 ， ∴把 代入 得： ， 解得： . 故答案为：2. 【分析】根据系数化为1的步骤可得方程-2x=4的解，结合互为相反数的两数之和为0可得方程5x-3k=4的解，然后代入并计算可得k的值. 15．【答案】x=3 【知识点】一元一次方程的定义；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：由题意得： ，， ，， 把，代入中， ， 解得：x=3， 故答案为：x=3. 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得3a+2=0、k-1=1，求出a、k的值，代入ax+k=0中可得关于x的方程，求解即可. 16．【答案】或3或6 【知识点】代数式求值；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：①当x为偶数时，输出结果为， 当为偶数时，则， ∴此时； 当为奇数时，则， ∴此时； ②当x为奇数时，输出结果为， ∵两个奇数的和为偶数， ∴为偶数，则， ∴此时； 综上分析可知，或3或6． 故答案为：x=0或3或6. 【分析】①当x为偶数时，输出结果为，当为偶数时，有；当为奇数时，有+3=x，求解即可；②当x为奇数时，输出结果为x+3，此时有(x+3)=x，求解即可. 17．【答案】解：2（x2+10x+25）-（x2+6x+9）-（x2-36）=60， 2x2+20x+50-x2-6x-9-x2+36=60， 14x+77=60， 解得x=-. 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及合并同类项法则可将原方程化为14x+77=60，据此求解. 18．【答案】解：把 代入4x-2-6x+3m=10x+1-6解得，m=1 将m=1代入原方程，得 去分母，得2(2x-1)-3(2x+1)=10x+1-6 去括号得4x-2-6x-3=10x+1-6 移项、合并同类项，得12x=0 系数化为1，得x=0 综上，m的值是1，原方程的解是x=0 【知识点】一元一次方程的解；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【分析】根据错误的变形结果，将x的数值代入，即可得到m的值，再将m的数值代入方程中，重新计算即可。 19．【答案】（1）解：由解得：， 由解得：， 由题知：， 解得：； （2）解：当时， 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【分析】（1）分别求出方程的解，根据方程的解相同可得关于m的方程，求解可得m的值； （2）将m的值代入，然后利用有理数的乘法、减法、乘方法则进行计算. 20．【答案】（1）解： ∵S=， ∴2S=（a+b）h， ∴h=； （2）解： ∵a：b：S=2：3：4， ∴设a=2x，b=3x，S=4x， ∴h=​==． 【知识点】等式的性质 【解析】【分析】（1）利用等式的基本性质2，变形得出即可； （2）利用a：b：S=2：3：4，设a=2x，b=3x，S=4x，进而代入求出即可． 21．【答案】（1）解：原式=-6+4-8 =-10. （2）解：由题意得：（-8）×（-■）-23=12， ∴-■=20×（）， ∴■=+= ∴被污染的数字是. 【知识点】等式的性质；含括号的有理数混合运算 【解析】【分析】（1）原式先算乘方，再利用乘法分配律去掉括号，最后再进行加减法计算，即可求解； （2）由题意得：（-8）×（-■）-23=12，利用等式性质化简、计算可得■=，即可求解. 22．【答案】（1） （2）解：设 ， 即9x=7，∴ ，即 【知识点】等式的性质；无理数的概念 【解析】【解答】解：（1）由已知可得： ， 故答案为 ； 【分析】（1）由已知可得 ，∴ ，题目得解；（2）根据题目提供的方法可以得到题解． 23．【答案】（1）解： ， 又， ∴方程-3x＝-4不是“和谐方程”． （2）解：当a＝2时，2x=b， ∴ 假设有符合要求的“和谐方程”，则， ∴ ∴； （3）解：由题可得， ， = =<0， ∴ 【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【分析】（1）先解方程求出x的值，再判断x的值是否等于-3-（-4）即可得出答案； （2）将a=2代入方程，根据解方程的步骤用含b的式子表示出方程的解，进而根据和谐方程的定义列出关于b的方程，求解即可； （3）根据 “和谐方程” 的定义用含m、n的式子表示出p、q，根据整式的减法法则算出p-q的值，结合偶数次幂的非负性判断出差的正负，即可得出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $