专题19.2（2）实数的运算（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦实数的运算这一核心知识点，系统梳理实数的绝对值、相反数概念，大小比较方法（数轴法、比平方法、比差法），运算规则（顺序、运算律、近似值）及科学计数法，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料通过分层题型设计（典例+多变式）、易错点专项警示及实际应用案例（如长方形围栏预算、自由下落时间计算），培养学生运算能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题19.2（2） 实数的运算 教学目标 1.理解实数的绝对值、相反数，会进行实数的大小比较； 2.能熟练地进行实数的运算，以及求它的近似值； 3.会用科学计数法表示一个大数和小数。 教学重难点 1.重点 实数的运算。 2.难点 实数的绝对值化简与应用。 知识点01 实数的绝对值和大小比较 1. 实数的绝对值 一个实数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个实数的绝对值。 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2. 实数的相反数 绝对值相等，符号相反的两个实数叫作互为相反数。 0的相反数是0，非零实数 a 的相反数是 -a . 若a=，则（）=. 3. 实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）若，则， （3）比平方法：若，则 （4）比差法：若，则；若，则； 【即学即练】 1. 化简：||=_______________ 知识点02 实数的运算 1. 实数的运算顺序 先乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的运算。 2. 正确使用运算律 运算律有加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律、分配律。 3. 近似运算 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将 用计算器算得的结果取近似值。 常用近似值：，，…… 4.易错点 （1）（减法没有交换律） （2）（使用加法结合律时正确添加括号） （3）（乘方、开方不能乱用分配律） （4），（开方时小数点移动规律不能用错） （5）不一定成立。（除非） 【即学即练】 1. 计算 (1) (2) 知识点03 科学计数法 把一个数表示成这种计数方法叫作科学计数法。 对于绝对值较大的数，n比整数数位少1； 对于绝对值较小的数，n等于左起第一个非零数字之前零的个数的相反数； 如：，0.000000001= 题型01 求一个数的绝对值和相反数 【典例1】分别写出下列各数的绝对值 （1）；(2)； 【变式1】分别写出下列各数的相反数 （1）；(2)； 【变式2】写出一个绝对值是的数 【变式3】写出下列各数的相反数与绝对值 （1）；（3）；（3）0；（4）2；（5）； 【变式4】已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 题型02 化简一个代数式子的绝对值 【典例1】已知的位置如图所示，化简： 【变式1】化简 （1）|2；（2）|3+|2 【变式2】已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【变式3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【变式4】如图，数轴上点A与点B之间的距离是3个单位长度，点表示，设点表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 题型03 实数的大小比较 【典例1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【变式1】比较大小：______． 【变式2】比较大小：________（填“”“”“”）． 【变式3】阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【变式4】若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 题型04 无理数的整数部分和小数部分 【典例1】我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题： （1）的小数部分是________； （2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________． 【变式1】若的整数部分为a，则_____． 【变式2】若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【变式3】若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【变式4】根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 题型05 实数的运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【典例2】计算： (1) (2) (3) 【变式1】计算 (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算：_____． 【变式4】计算：______． 题型06 用计算器求实数运算的近似值 【典例1】用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）： (1) (2) 【变式1】用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【变式2】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 题型07 实数运算的实际应用 【典例1】学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【变式1】如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【变式2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【变式3】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【变式4】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 题型08 科学计数法 【典例1】近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【典例2】寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅克，数据用科学记数法表示为_________． 【变式1】某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【变式2】神舟二十三号在年月号成功发射，标志着中国航天业向前又迈出了一大步，神舟二十三号入轨速度为，即飞行大约需要．数据用科学记数法表示为________． 【变式3】是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式4】中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 1．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 2．下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 5．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 6．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 8．如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 三、解答题 9．计算：； 10. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 3．设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 4．若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 5．比较大小：①___________；②___________；③___________． 6．计算：____________． 7．计算：． 8．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 9．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 10．小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2（2） 实数的运算 教学目标 1.理解实数的绝对值、相反数，会进行实数的大小比较； 2.能熟练地进行实数的运算，以及求运算的近似值； 3.会用科学计数法表示一个大数或小数。 教学重难点 1.重点 实数的运算。 2.难点 实数的绝对值化简与应用。 知识点01 实数的绝对值和大小比较 1. 实数的绝对值 一个实数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个实数的绝对值。 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2. 实数的相反数 绝对值相等，符号相反的两个实数叫作互为相反数。 0的相反数是0，非零实数 a 的相反数是 -a . 若a=，则（）=. 3. 实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）若，则， （3）比平方法：若，则 （4）比差法：若，则；若，则； 【即学即练】 1. 化简：||=_______________ 解：因为 ∴ 0 所以，||==（负数的绝对值等于它的相反数） 知识点02 实数的运算 1. 实数的运算顺序 先乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的运算。 2. 正确使用运算律 运算律有加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律、分配律。 3. 近似运算 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将 用计算器算得的结果取近似值。 常用近似值：，，…… 4.易错点 （1）（减法没有交换律） （2）（使用加法结合律时正确添加括号） （3）（乘方、开方不能乱用分配律） （4），（开方时小数点移动规律不能用错） （5）不一定成立。（除非） 【即学即练】 【例1】计算 (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点03 科学计数法 把一个数表示成这种计数方法叫作科学计数法。 对于绝对值较大的数，n比整数数位少1； 对于绝对值较小的数，n等于左起第一个非零数字之前零的个数的相反数； 如：，0.000000001= 题型01 求一个数的绝对值和相反数 【典例1】分别写出下列各数的绝对值 （1）；(2)； 解:(1)因为 所以，| （2）因为 所以，| 【变式1】分别写出下列各数的相反数 （1）；(2)； 解:(1)因为 所以的相反数是. （2）因为 所以的相反数是 【变式2】写出一个绝对值是的数 解:因为，， 所以，绝对值是的数是或. 【变式3】写出下列各数的相反数与绝对值 （1）；（3）；（3）0；（4）2；（5）； 解：（1）因为||=； 所以，的绝对值是，相反数是. （2）因为||=； 所以，的绝对值是，相反数是. （3）的绝对值是，相反数是. （4）因为，所以，|2|=； 所以，2的绝对值是，相反数是 （5）因为||=； 所以，的绝对值是，相反数是. 【变式4】已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，立方根进行求解即可； （2）根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 题型02 化简一个代数式子的绝对值 【典例1】已知的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，进行化简即可. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴原式. 【变式1】化简 （1）|2；（2）|3+|2 解:(1)因为 所以， （2）因为 所以， 所以，|3+|2=+2=5 【变式2】已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 【变式3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 【变式4】如图，数轴上点A与点B之间的距离是3个单位长度，点表示，设点表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离进行求解即可； （2）根据相反数的定义，得到，根据非负性求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）根据绝对值的意义和算术平方根的非负性进行化简即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 题型03 实数的大小比较 【典例1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 【点睛】数轴上右边的数总比左边的数大。 【变式1】比较大小：______． 【详解】解：①， ∴． ∴-． 【点睛】两个负数比较大小，平方大的反而小。 【变式2】比较大小：________（填“”“”“”）． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ． 【变式3】阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 题型04 无理数的整数部分和小数部分 【典例1】我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题： （1）的小数部分是________； （2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________． 【答案】 / / 【分析】（1）通过放缩法确定的取值范围，即可求解； （2）先确定的取值范围，得到x，y的值，最后根据相反数的定义求解． 【详解】解：（1）， ， 的小数部分是； （2）， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数的值是． 【变式1】若的整数部分为a，则_____． 【答案】7 【分析】由，得出的整数部分，从而得到的整数部分． 【详解】解：∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分为：． 【变式2】若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 【变式3】若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再根据无理数中整数部分与小数部分的关系得到小数部分y，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分， 小数部分， 将，代入，得． 【变式4】根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用算术平方根估算，确定式子的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； （2）先利用算术平方根估算，确定式子，的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，m是整数，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 即， ∵，．其中，是整数，，， ∴，， ∴． 题型05 实数的运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【典例2】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再进行加法计算即可； （2）按顺序先分别进行绝对值的化简、算术平方根的运算、立方根的运算、有理数的乘方运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）去括号，合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据立方根、算术平方根及实数的运算可进行求解； （2）根据实数的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式3】计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算．根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4】计算：______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用以及平方差公式，灵活逆用积的乘方运算法则是解答本题的关键． 逆用积的乘方，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 题型06 用计算器求实数运算的近似值 【典例1】用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）： (1) (2) 【详解】（1）解： ≈×2.236+1.260-3.142 ≈-0.76； （2）解： ≈3.317×1.414×2.449 ≈11.49． 【变式1】用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型07 实数运算的实际应用 【典例1】学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【详解】（1）解：设长方形菜地的长和宽分别是米，米， 由题意得到：， ∴（舍去负值）， 答：菜地的长和宽分别是米，米； （2）预算不足，理由如下： ∵长方形菜地的周长（米）， ∴围栏的材料总费用为（元）， ∵， ∴预算不足． 【变式1】如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 【变式2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【变式3】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 【变式4】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 题型08 科学计数法 【典例1】近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 【典例2】寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅克，数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 【变式1】某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用年进出口集装箱数量减去年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答． 【详解】解：根据题意列算式计算得：． 【变式2】神舟二十三号在年月号成功发射，标志着中国航天业向前又迈出了一大步，神舟二十三号入轨速度为，即飞行大约需要．数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：. 【变式3】是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【变式4】中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 【答案】0.000000000335 【详解】解：． 1．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根、数轴与实数的对应关系等基本概念，需逐项判断正误． 【详解】解：A：立方根是它本身的数应满足，即，解得或或，故A错误，不符合题意； B：数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分，故B错误，不符合题意； C：0.01的平方根是，故C错误，不符合题意； D：平方根是它本身的数应满足算术平方根等于本身，即，解得或，时平方根为，不都等于1，故只有满足，正确，符合题意． 故选：D． 2．下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数和无理数的运算性质，解题的关键是通过举反例来判断每个说法的正误． 逐一分析每个说法，通过举反例的方法判断其是否正确，从而确定正确说法的个数． 【详解】解：①例如和都是无理数，它们的差为是有理数，所以“无理数与无理数的差一定是无理数”说法错误； ②例如和都是无理数，它们的商为是有理数，所以“无理数与无理数的商一定是无理数”说法错误； ③：假设有理数与无理数的差是有理数，即（为有理数），那么．因为和都是有理数，有理数的差也是有理数，这与是无理数矛盾，所以“有理数与无理数的差一定是无理数”说法正确； ④：当有理数为0时，0除以无理数结果为0，是有理数，所以“有理数与无理数的商一定是无理数”说法错误． 综上，只有③说法正确，正确的有1个． 故选：A． 3．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义，分别对四个选项作出分析，再判断． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，故该选项不正确，不符合题意； C. 由得，故该选项正确，符合题意； D. 当时，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值，立方根，解题关键是实数的大小比较的方法． 4．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 5．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 6．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将“万”转化为普通整数，再按要求写出科学记数法即可． 【详解】解：，将写成（ ，为整数）的形式，可得，小数点向左移动了位，即， 万用科学记数法表示为． 二、填空题 7．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 8．如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形． 由A、B两正方形的面积得出相应边长，再利用大长方形面积减去两个正方形区域的面积即可计算出剩余部分面积． 【详解】解：A，B两正方形区域的面积分别是3和16， ∴A，B两正方形边长分别是和4， ∴大长方形的长为，宽为4， ∴剩余区域的面积是为， 故答案为：． 三、解答题 9．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 10. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 【详解】 ． 故选：A． 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 3．设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是无理数，是无理数，故A错误； B、当时，，那么，结果是无理数，所以B错误； C、当时，，是无理数，是无理数，故选项C错误； D、当时，，那么，结果可能是无理数，所以选项正确，D正确． 故选：D． 4．若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的混合运算． 由于a和b是有理数，而是无理数，则方程中无理部分与有理部分必须分别为零，从而求出a和b的值，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵a、b为有理数，为无理数，且， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 故选：C． 5．比较大小：①___________；②___________；③___________． 【答案】 < > < 【分析】本题考查了实数的运算与大小比较． ①比较两个负数的大小，绝对值大的反而小； ②先化简表达式，再比较数值； ③注意运算顺序，指数运算优先于负号． 【详解】解：①∵，∴； ②∵，，且，∴； ③∵，，且，∴； 故答案为：①<；②>；③<． 6．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 8．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 9．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 10．小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【答案】(1) (2)这辆汽车刹车前的行驶速度大约是 【分析】（1）由表中数据得到，结合无理数比较大小的方法求解即可； （2）先由题中数据求出，再由表中数据估算出即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知，， ， ； （2）解：根据公式，代入制动距离， 得， 则或（负值，舍去）， 结合表格中的数据，可知，则， 答：这辆汽车刹车前的行驶速度大约是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $