奥数第12讲 余数定位与循环计数专项（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】四年级上册奥数培优讲义・第 12 讲 余数定位与循环计数专项 前言 波利亚说：观察可能导致发现，观察将揭示隐藏的模式与循环规律。 生活与数字中大量事物会重复循环，四季更迭、彩灯排列、数字序列往复都属于周期现象，本讲专门学习周期类找规律题型。课程承接三年级基础图形数列找规律，重点学习余数定位、分组求和两大核心方法，突破显性实物、隐性数列、特征简化三类周期难题。 希望同学们找准循环单元，巧用余数快速定位，熟练解决各类周期应用题！ 三维教学目标 · 知识与技能： · 理解周期现象、周期长度定义，掌握周期问题标准解题四步法；能解决彩灯、数列、报数、盒子分配等基础周期题型；学会利用奇偶性简化周期判断。 · 过程与方法： · 通过找循环单元、算余数、定位位置三步解题，培养观察归纳、列表枚举、逆向推理能力；区分显性周期、隐性长周期、奇偶简化周期三类题型。 · 情感态度与价值观： · 感受生活中循环周期现象，养成先找循环规律、列式验算的严谨解题习惯。 教学重难点 · 重点： · 识别循环周期；利用“总数 ÷ 周期 = 组数…… 余数”定位目标位置；周期内求和计算。 · 难点： · 隐性长周期（斐波那契个位型）；不直接罗列、通过奇偶性判断周期特征；多对象同步周期匹配（双人报数）。 一、知识点总结 （一）周期基础概念 1. 周期现象：一组事物按照固定顺序不断重复循环出现，叫做周期现象。 · 举例：四季春→夏→秋→冬循环；彩灯 5 红 4 蓝 3 黄不断重复。 2. 周期长度：完成一次完整循环需要的单元个数，简称周期。 · 例：5 红 4 蓝 3 黄，一组共 12 盏，周期长度 = 12。 3. 余数定位核心公式 ① 余数 = 0：目标是一组里最后一个； ② 余数＞0：目标是一组里第余数个。 4. 周期求和 · 总和 = 单组数字和 × 完整组数 + 余下若干数字之和。 （二）通用解题四步法 1. 找循环：写出完整一组，算出周期长度； 2. 做除法：总数 ÷ 周期，求组数与余数； 3. 定位置：根据余数找到对应单元； 4. 算总和：分组求和，加上剩余部分。 （三）三类周期题型区分 1. 显性实物周期：彩灯、珠子、日历，循环单元直观可见； 2. 数列递推周期：相邻数字固定运算取个位，周期隐藏，需要罗列找到循环起点； 3. 特征简化周期：不用罗列全部数字，仅看奇偶、余数等特征快速判断循环规律。 二、经典例题 【例 1 彩灯实物周期】★ 【题目】街道彩灯按 5 红、4 蓝、3 黄循环排列。 （1）第 100 盏灯是什么颜色？ （2）前 150 盏一共有多少盏蓝灯？ 【解题思路】先算一组周期长度，再用余数定位，分组统计蓝灯数量。 【完整解析】 1. 一组周期：5 + 4 + 3 = 12 盏，周期 = 12。 2. （1）100 ÷ 12 = 8（组）…… 4（盏） 3. 余数为 4，一组前 4 盏都是红灯，因此第 100 盏为红色。 4. （2）150 ÷ 12 = 12（组）…… 6（盏） 5. 每组有 4 盏蓝灯，12 组共有：12 × 4 = 48 盏； 6. 余下 6 盏顺序为：红、红、红、红、蓝、蓝，内含 2 盏蓝灯； 7. 总蓝灯：48 + 2 = 50 盏。 答：（1）红色；（2）50 盏蓝灯。 🚀【随堂小练】珠子按 3 黑 2 白循环，第 73 颗什么颜色？前 73 颗白球多少颗？ 【例 2 固定四数和周期】★★ 【题目】一串数字任意相邻 4 个数之和恒为 25，已知第 1 个 = 3，第 6 个 = 6，第 11 个 = 7。求第 24 个数、前 77 个数总和。 【解题思路】相邻四数和相等，推出间隔 4 数字相同，周期为 4。 【完整解析】 1. 由 a₁+a₂+a₃+a₄ = a₂+a₃+a₄+a₅，得 a₁=a₅； 2. 同理，a₂=a₆，a₃=a₇，a₄=a₈，周期长度 = 4； 3. a₁=3，a₆=a₂=6，a₁₁=a₃=7，则 a₄ = 25 - (3+6+7) = 9； 4. 循环组：3，6，7，9； 5. 求第 24 项：24 ÷ 4 = 6（组），余数 0，对应一组最后一个数 9； 6. 前 77 项：77 ÷ 4 = 19（组）…… 1（个） 7. 一组和 25，总和 = 19 × 25 + 3 = 478。 答：第 24 个数是 9；前 77 个数和为 478。 🚀【随堂小练】相邻 3 数和为 14，第 1=2，第 4=5，求第 20 项。 【例 3 两数取个位隐性周期】★★★ 【题目】数列 6，2，8，0，8，8，6，4，0，4，4…… 规则：从第 3 项起，每项为前两数之和的个位。求第 88 个数。 【解题思路】不断罗列数字，找到重复相邻两位，确定完整周期。 【完整解析】 持续展开数列，发现前两位 6、2 在第 21、22 位重复，因此周期长度 = 20； 88 ÷ 20 = 4（组）…… 8（个），对应一组第 8 个数字 4。 答：第 88 个数是 4。 🚀【随堂小练】首项 9、7，每项为前两数乘积个位，求第 50 项。 【例 4 奇偶特征简化周期】★★★ 【题目】数列从第 5 项起，每项等于前四项之和的个位。问能否连续出现 2、0、0、0？ 【解题思路】不罗列全部数字，仅分析数字奇偶循环规律。 【完整解析】 前四项 1、3、5、7 全为奇数； 奇数 + 奇数 + 奇数 + 奇数 = 偶数，因此每 4 个奇数后出现 1 个偶数； 循环奇偶模式：奇、奇、奇、奇、偶，永远不会连续 4 个偶数，不可能出现 2000。 答：不能出现连续四个数字 2、0、0、0。 🚀【随堂小练】数列每项前两数差个位，判断是否存在连续 3 个奇数。 【例 5 双人同步报数周期】★★★ 【题目】小明 1\3 循环报数，小红 1\4 循环报，两人同时报 100 次，有多少次数字完全相同？ 【解题思路】两人周期最小公倍数为12总循环单元，一组内统计相同数字。 【完整解析】 小明周期 3，小红周期 4，最小公倍数 12，总复合周期 12； 列出 12 组对应数字，相同为 1、2、3，每组相同数字3次； 列出12组对应数字：小明1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3；小红1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4。相同的有位置1、2、3，共3次； 100 ÷ 12 = 8（组）…… 4（次），余下4次中还有3次相同（位置1、2、3）； 总次数：8 × 3 + 3 = 27 次。 答：共 27 次两人报数一致。 三、拓展例题 【拓展 1 盒子球分配周期】★★★★ 【题目】A、B、C、D 初始球数 8、6、3、1。规则：每次找球最少盒子，其余各拿 1 个放入该盒。100 个小朋友操作后，四个盒子各多少球？ 【解题思路】列表枚举前几次状态，找到重复循环起点与周期。 【完整解析】 初始：A8，B6，C3，D1 第 1 人：7，5，2，4 第 2 人：6，4，5，3 第 3 人：5，3，4，6 第 4 人：4，6，3，5 第 5 人：3，5，6，4 第 6 人：6，4，5，3 观察：第 2 次状态与第 6 次完全相同，周期长度 = 4，循环从第 2 次后开始。 计算：(100 - 1) ÷ 4 = 24（组）…… 3（次），余3对应循环序列中的第3个状态，即第4次状态：A4、B6、C3、D5。。 答：A：4个，B：6 个，C：3 个，D：5 个。 🚀【随堂小练】四个盒子初始 5,2,7,1，按同样规则操作 25 次后球数。 【拓展 2 多条件综合周期拔高】★★★★ 【题目】珠子按 5 红、3 白、4 黄、2 绿循环，求第 100 颗颜色，前 200 颗红珠总数。 【解题思路】先算完整周期，余数定位，分组统计红珠数量。 【完整解析】 周期总长 5 + 3 + 4 + 2 = 14； 100 ÷ 14 = 7（组）…… 2（颗），一组前两颗为红色，第 100 颗红； 200 ÷ 14 = 14（组）…… 4（颗），每组 5 红，余下 4 颗仍含 4 红； 红珠总数 14 × 5 + 4 = 74 颗。 答：第 100 颗红色；红珠共 74 颗。 四、基本练习（★基础） 1. 一串珠子按 5 红、3 白、4 黄、2 绿重复。第 100 颗什么颜色？前 200 颗有多少红珠？ 2. 将 1、2、3、4… 除以 3 的余数依次排成数列，求前 100 项总和。 3. 首两项 9、7，从第三项起每项为前两数乘积个位，求第 100 项与前 100 项总和。 4. 首项 6，每项为前一个数加 7 取个位，求第 88 个数。 5. 小明 1\3、小红 1\4 同步各报 100 次，求两人报数相同的次数。 6. A、B、C、D 初始 9、6、3、0；每次从球最多的盒子中拿出3个球，分别给另外三个盒子各1个，操作 100 次后各盒球数。 五、拓展练习（★★拔高） 1. 自然数 1 依次写，123456789101112…，求第 300 位数字是多少。 2. 四数循环数列，相邻三和 18，已知 a₁=5, a₂=6，求前 92 项总和。 六、基本练习完整分步答案 1 周期 5+3+4+2=14； 100 ÷ 14 = 7（组）…… 2（颗），前两颗红，第 100 颗红色； 200 ÷ 14 = 14（组）…… 4（颗），红珠：14 × 5 + 4 = 74 颗。 2 除以 3 余数周期：1,2,0，周期 = 3，一组和 1+2+0=3； 100 ÷ 3 = 33（组）…… 1（个），总和 33 × 3 + 1 = 100。 3 罗列数列找到周期：9,7,3,1,3,3，周期 6，一组和 26； 100 ÷ 6 = 16（组）…… 4（个），第 100 项为 1； 总和 16 × 26 + (9+7+3+1) = 436。 4 数列：6,3,0,7,4,1,8,5,2,9 循环，周期 10； 88 ÷ 10 = 8（组）…… 8（个），第 8 项数字 5。 5 两人周期最小公倍数 12，每组相同数字 3 次； 100 ÷ 12 = 8（组）…… 4（次），总次数 8 × 3 + 3 = 27次。 6 列表枚举操作状态，找到循环周期 4； (100 - 1) ÷ 4 = 24（组）…… 3（次），对应状态 A2、B7、C4、D3。 七、拓展练习完整分步答案 拓展 1 一位数 1\9 共 9 位；两位数 10\99 共 90 × 2 = 180 位，合计 189 位； 剩余 300 - 189 = 111 位，三位数每位占 3 位； 111 ÷ 3 = 37，第 37 个三位数 136，末位数字 6。 答：第 300 位是 6。 拓展 2 相邻三数和相等，周期长度 3；a₁+a₂+a₃=18，a₃=18-5-6=7，未知 a₄=a₁，一组和 18； 92 ÷ 3 = 30（组）…… 2（个），总和 30 × 18 + (5+6) = 551，结合条件算出完整循环求和。 学科网（北京）股份有限公司 $