贵州省丹寨民族高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学模拟试卷（5）

**基本信息** 丹寨民族高级中学高二数学期末模拟卷，覆盖向量、概率、数列等知识，以声强级计算、翻牌游戏等情境题考查数学应用，通过导数证明、椭圆综合题提升逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量运算、集合、复数等|基础概念辨析，如第5题声强级公式应用| |多选题|3|立体几何截面、函数极值等|选项分层，如第10题函数零点与导数综合判断| |填空题|3|双曲线焦点三角形、二项式系数等|简洁计算，如第14题等比数列前100项和| |解答题|6|概率分布列、数列求和、椭圆综合等|分层设问，如15题概率应用与分布列，18题椭圆方程与面积最值，19题导数单调性证明|

丹寨民族高级中学高二年级数学模拟试卷（5） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，，则 （     ） A． B．0 C．1 D．5 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 3．若复数，则（     ） A． B． C． D． 4．用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A． B． C． D． 5．对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（   ） A．10 B．100 C． D．10000 6．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．抛物线 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．圆 7．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．梯形 D．正五边形 10．下列命题是真命题有（    ） A．若，则是函数的极值点 B．函数的切线与函数可以有两个公共点 C．已知实数，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是 D．若函数的导数，且，则不等式的解集是 11．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 三、填空题 12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 13．在的展开式中，的系数是______．（用数字作答） 14．已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 四、解答题 15．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 16．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 17． 如图，在直四棱柱中，平面平面，且，． (1)求证：四点共面； (2)若，求二面角的正弦值 18．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 19．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 《丹寨民族高级中学高二年级数学模拟试卷（5）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A C D D ABC BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】． 2．B 【详解】由，， 所以． 3．B 【详解】已知，则. 4．C 【分析】利用分步乘法计数原理，依次确定无重复数字的三位数的百位、十位、个位的可选数字数量，相乘即可得到总个数. 【详解】 由于三位数的百位不能为，且各数位数字不重复，结合分步乘法计数原理计算： 确定百位数字：可从共个非零数字中任选个，共有种选择； 确定十位数字：百位已选个数字，剩余个数字（包含）可选，共有种选择； 确定个位数字：百位和十位共选走个不同数字，剩余个数字可选，共有种选择。 因此满足条件的三位数总个数为. 5．A 【分析】代入求值，得到，，得到答案. 【详解】令，则，解得：， 令，则，解得：， 故. 故选：A 6．C 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 7．D 【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可． 【详解】因为， 所以可以写成，的形式； 所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日. 8．D 【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围. 【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点， 因为，当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是. 法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点． 因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为， 所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点， 所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 9．ABC 【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确； 对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确； 对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确； 对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D错误； 故选：ABC. 10．BCD 【分析】对于A，由极值点的定义即可判断；对于B，举出例子即可判断；对于C，分离参数，构造新的函数，利用导数研究方程的根即可判断；对于D，构造函数，利用导数研究函数单调性，从而利用单调性即可解不等式. 【详解】对于A，若，且还需在左右两侧的单调性相反，才足以保证是函数的极值点，故A错误； 对于B，例如，在点处的切线与有两个交点，故B正确； 对于C，若函数，则， 令，则，令，则或， 若时， 当或时，，当时，， 所以当或时，单调递减，当时，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 根据三次函数的性质可知，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，所以是减函数， 不等式等价于，注意到， 所以不等式的解集为. 故选：BCD. 11．AD 【分析】先化简原三角函数，再利用图象平移规则得到的解析式，最后根据三角函数的周期、单调性、对称性逐一判断选项. 【详解】，向右平移个单位后得， 对于A：，最小正周期为，A正确； 对于B：当时，， 在单调递减，在单调递增，因此在该区间不单调，B错误； 对于C： ，C错误； 对于D：，因此是对称中心，D正确. 12．2 【分析】法一：设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.法二：利用焦点三角形的面积公式快速求解. 【详解】    解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 解法二：如图，的面积为. 故答案为：2. 13．40 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为，令，则项的系数为. 故答案为：40 14． 【分析】根据题意，求出数列通项公式为，从而，再根据等差数列求和公式求和. 【详解】由等比数列各项均为正数，， 设其首项为，公比， 可得，解得或（舍）， 所以等比数列通项公式为， 则， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， 数列前100项和为. 15．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 16．(1)， (2) 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 17．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出以平面，再结合勾股定理得出，进而得出即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再应用余弦公式计算，最后结合同角三角函数关系求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面平面， 所以平面； 因为平面，所以， 由，得， 所以，所以， 又因为，所以， 故、、、四点共面. （2）以为轴，为轴，为轴，为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 则， 设平面的法向量为， 则 令，则，得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，则， 设二面角的平面角为，则， 所以，二面角的正弦值为. 18．(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出a，c，再根据a，b，c的关系求出b，从而确定椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理及已知条件得到k与点Q坐标关系，进而确定Q的坐标；（ii）根据及韦达定理用k表示出面积，求出其最大值即可． 【详解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，， 又由， 可得椭圆C的标准方程为； （2）设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为， （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，有， 有， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 19．(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）当时，要证，即证，构造函数，其中，利用导数法证明出即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 所以函数的增区间为，无减区间. （2）当时，要证，即证， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，则，即， 故原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $