13.2.1 三角形的边（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形三边关系、等腰三角形周长计算与验证及三角形稳定性，承接上节课三角形认识，结合起重机、钢架桥等生活实例引出数量关系和特性，搭建知识衔接支架。 其亮点在于通过路线选择问题驱动探究三边关系，用“两点之间线段最短”证明结论培养数学思维，木架扭动实验感知稳定性发展数学眼光。典例分析规范分类验证步骤，分层练习巩固应用，助力学生提升推理与运算素养，教师可高效开展教学。

【新教材】人教版·八年级上册 第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边 1 2 3 结合图形探究并掌握三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，能判断三条线段能否组成三角形； 会结合等腰三角形周长问题分类列式计算，能利用三边关系检验结果合理性，规范解决相关求值应用题； 通过动手操作感知三角形具有稳定性，了解其生活与建筑中的实际应用，体会数形结合，提升逻辑推理与运算素养. 学 习 目 标 这节课，我们就深入探究三角形三边之间存在的数量关系，同时认识三角形独有的特性 ——三角形的边与三角形的稳定性． 同学们，上一节课我们已经认识了三角形，学会区分不同类型的三角形，知道了三角形由三条边围成．生活里起重机、钢架桥都大量使用三角形结构，这里藏着和三角形边长相关的数学知识． 导入新课 有两条路线可以选择： （1）由点B到点C，即线段BC （2）由点B经点A再到点C，即线段BA＋AC 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 探究 新知探究 在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC>BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 能证明你的结论吗？ 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 探究 新知探究 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB， ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边. 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 探究 新知探究 进一步，由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC. BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. AC+BC>AB ② AB+BC>AC ③ 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 探究 新知探究 7 三角形三边间的关系 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 新知探究 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 思考 新知探究 例：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解:(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x ＋2x＋2x ＝18． 解得 x ＝3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18． 解得 x＝7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则2×4＋y＝18. 解得 y ＝10. 因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形． 由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形． 典例分析 10 解决等腰三角形边长问题的解题关键 一要分清：明确已知线段是等腰三角形的腰还是底边； 二要分类：若题干未指明已知边为腰或底，分两种情况讨论计算； 三要验证：求出边长后，利用三角形三边关系检验，舍去不符合条件的解. 典例分析 基础训练 基础训练 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如右图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 如图，将三根木条用钉子钉成一个 三角形木架，然后扭动它，它的形状会 改变吗？ 探究 可以发现，三角形木架的形状不会改变. 三角形是具有稳定性的图形. 新知探究 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子. 你能再举些例子吗？ 起重机 钢架桥 新知探究 三角形的边 ①三角形三边的关系 一分清：区分已知边长是腰还是底； 二分类：边长身份未明确时，分两种情况列式计算； 三验证：算出边长后代入三边关系检验，舍去不合理的解. 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边. 判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边. ③三角形的稳定性 三角形是具有稳定性的图形. ②等腰三角形边长解题步骤 新知总结 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 21 课堂总结 必做题： 教材第9页习题13.2第1题、第2题 选做题： 教材第10页习题13.1第5题、第6题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! 【解析】求出第三边的长度范围，再判断选项中符合范围的数值即可. 解：设第三根木棍的长度为， 由题意， ， 观察选项，只有在该范围内， 故他可以选择的第三根木棍的长度为. 1．数学实验课上，老师要求同学们用三根木棍首尾顺次相连，拼成一个三角形．小明先取了两根，长度分别为和，则他可以选择的第三根木棍的长度为（     ） A． B． C． D． B 【解析】根据绝对值和平方的非负性，推出和的值，利用等腰三角形的两边相等，分情况讨论和两种情况时，求出对应的的周长即可，解题过程需要注意检验求出的三边是否满足三角形三边关系． 解：,，， ，． 为等腰三角形，且三边为，，， ①若、为腰，则，则底边，此时三边为6、6、8，满足三角形三边关系，周长为.②若、为腰，则，底边，三边为6、8、8，满足三角形三边关系，周长为． 的周长为20或22． 2．已知，，是等腰的三边长，满足，则的周长是__________． 20或22 【解析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成，反之不能构成． 解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 1．下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 D 【解析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 解：有两种选法，理由如下：根据题意分为四种情况：；；；．在第一种情况中：，能构成三角形；在第二种情况中：，不能构成三角形；在第三种情况中：，不能构成三角形；在第四种情况中：，能构成三角形；综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法．故答案为：2． 2．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 2 【解析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 解：∵，且，，∴，解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 D 解：（1）∵三角形的三边长分别为，和， ∴，∴； （2）∵，∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 4．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围．(2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【解析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题；（1）根据三角形的三边关系即可求得；（2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【解析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边的和大于第三边，由三角形三边关系定理推出，，即可证明． 5．如图，P是三角形内一点．请验证． 解：延长交于，如图， ， ， ， ． $