21．5　反比例函数 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过典例导学中x与y的对应值表格导入，联系已学函数知识，搭建从具体数据到抽象表达式y=k/x（k≠0）的学习支架，帮助学生理解自变量取值范围及概念本质。 其亮点在于以“概念辨析-典例探究-实际应用”为主线，易错点强调k≠0培养推理意识，杠杆平衡等实例渗透模型意识，创新考法的循环计算问题激发创新意识。采用分层练习设计，学生能提升抽象能力和应用能力，教师可直接使用分层素材提高教学效率。

21．5　反比例函数 第3课时　反比例函数的应用 常见的与实际相关的反比例函数： (1)面积公式： 三角形面积S为定值，底边a与高h的关系式为a＝ . a = (2)物理公式： ①压力F为定值，压强p与面积S的关系式为p＝ ； ②质量m为定值，密度ρ与体积V的关系式为ρ＝ ； ③电压U为定值，电流I与电阻R的关系式为I＝ . p = p = I = 某司机驾驶一辆小汽车从甲地去乙地，他以90 km/h的平均速度用6 h 到达目的地. (1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与所需时间t有怎样的函数关系？ (2)如果该司机有急事，必须在5 h内回到甲地，则返程时的平均速度不能低于多少？ 【思路分析】(1)路程＝速度×时间；(2)利用时间关系建立速度v的不等式或由反比例函数性质求解. 【自主解答】 (1)∵甲、乙两地的距离为90×6＝540(km)，∴有v＝ . (2)由v＝，得t＝≤5，∴v≥108.答：司机返程时的平均速度不能低于108 km/h. 【名师支招】利用反比例函数解决问题的基本思路：实际问题⇒函数模型⇒求出函数表达式⇒解决实际问题. 知识点1：生活中的反比例函数 1.甲、乙两地相距60 km，汽车由甲地行驶到乙地所用时间y(单位：h)与行驶速度x(单位：km/h)之间的函数图象大致是 ( ) A B C D B 2.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数(统计数据见下表).已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2 400元，则其售价应定为 元. 300 售价x/(元/双) 200 240 250 400 销售量y/双 30 25 24 15 知识点2：物理学科中的反比例函数 3.1888年，某科学家证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础.电磁波波长λ(单位：m)、频率f(单位：Hz) 满足函数关系λf＝3×108，下列说法中正确的是 ( ) A.电磁波波长是频率的正比例函数 B.电磁波波长20 000 m时，对应的频率为 1 500 Hz C.电磁波波长小于30 000 m时，频率小于 10 000 Hz D.电磁波波长大于50 000 m时，频率小于 6 000 Hz D 4.某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为p＝ ；当V≤1 m3时，p的取值范围为 . p = p≥60 kPa 5.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，某段高架桥上车辆的行驶速度y(单位：km/h)与高架桥上每百米拥有车的数量x(单位：辆)的关系如图所示，当x≥10时，y与x 成反比例函数关系，当车辆速度低于20 km/h，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 . 0＜x≤40 6.某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温开始下降的过程中，水温y(单位：℃)与通电时间x(单位：min)成反比例关系.当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(单位：℃)与通电时间x(单位：min)之间的关系如图所示. (1)在水温下降的过程中，求水温y(单位：℃)关于通电时间x(单位：min)的函数表达式； (2)若水温从20 ℃开始加热至100 ℃，然后下降至20 ℃，在这一过程中，水温不低于40 ℃ 的时间有多长？ 解：(1)水温下降过程中，y与x的函数表达式是y＝. (2)∵开机加热时每分钟上升20 ℃， ∴水温从20 ℃加热到40 ℃，所需时间为＝1(min)， 在降温过程中，水温为40 ℃时，40＝， 解得x＝10， ∴一个加热周期内水温不低于40 ℃的时间为10－1＝9(min). 7.小华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷纪念品，在销售过程中发现：每天的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)的关系如图所示(50≤x≤120)，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设销售这款纪念品的日利润为w(单位：元). (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求w与x之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件纪念品的售价为多少元？ 解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝ (2)当50≤x≤80时， w＝(x－50)y＝(x－50)·＝1 600－， 由1 600－＝600，解得x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解； 当80≤x≤120时， w＝(x－50)y＝(x－50) ＝－ x2＋85x－3 000， 由－ x2＋85x－3 000＝600， 解得x1＝80，x2＝90. 综上所述，w与x之间的函数关系式为 w＝ 当日利润为600元时，每件纪念品的售价为80元或90元. $21．5　反比例函数 第2课时　反比例函数的图象和性质 要点感知 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是 ，它具有以下性质： (1)当k＞0时，图象的两支位于 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ； (2)当k＜0时，图象的两支位于 象限，在每个象限内，y随x的增大而 . 双曲线 第一、三 减小 第二、四 增大 典例导学 在反比例函数y＝(k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－，y2)，则y1－y2的值是(　　) A.负数　　　　　B.非正数 C.正数 D.不能确定 【思路分析】当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大，进而判断出y1，y2的大小关系. 【自主解答】 【名师支招】熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键. A 易错易混 【易错原因】忽视不同象限性质的区别 已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在反比例函数y＝上，且y1<y2，则m的取值范围是(　　) A.m<0 B.m>0 C.m>－ D.m<－ 【自主解答】 C 知识点1：反比例函数的图象 1.函数y＝的图象大致是( ) B 2.已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，3)，那么该图象也一定经过点( ) A.(3，2) B.(1，4) C.(-9,) D.(2，－3) A 3.若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则k的取值范围是 . k＜1 知识点2：反比例函数的性质 4.(安庆宿松县期中)对于反比例函数y＝，下列说法中错误的是( ) A.y随x的增大而减小 B.图象分布在第一、三象限 C.图象与坐标轴无交点 D.图象关于直线y＝x对称 A 5.若点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则( ) A.y1＜y2 B.y1≤y2 C.y1＞y2 D.y1≥y2 C 6.若反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 . k<－ 知识点3：k的几何意义 7.(教材P48练习T2变式)已知点P在双曲线y＝－某一象限图象上，PA⊥x轴于点A，则△OPA的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 C 8.如图，P是反比例函数y＝在第二象限的图象上的一点，过P点向两轴作垂线段，若形成的矩形PEOF面积为8，则k＝ . -8 9.若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，且x1＝－x2，则( ) A.y1<y2 B.y1＝y2 C.y1>y2 D.y1＝－y2 D 10.如图是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察k1，k2，k3的大小关系为( ) A.k1＞k2＞k3 B.k2＞k3＞k1 C.k3＞k2＞k1 D.k3＞k1＞k2 C 11.在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(m，4)，点B(－2，n).求一次函数的表达式，并在如图坐标系中画出反比例函数与一次函数的图象. 解：一次函数的表达式为y1＝2x＋2.作图如图. 12.【阅读理解】对于任意正实数a，b， ∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0， ∴a＋b≥2，(只有当a＝b时，a＋b＝2) 即当a＝b时，a＋b取得最小值，且最小值为2. 根据上述内容，回答下列问题： (1)若m＞0，当m＝ 时，m＋有最小值为 ； (2)若函数y＝a＋(a>1)，则当a＝ 时，函数y＝a＋(a>1)有最小值为 ； 2 4 4 7 【探索应用】 (3)如图，已知点Q(－3，－4)是双曲线y＝上一点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B.点P为双曲线y＝(x>0)上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值. 解：易得双曲线为y＝.连接PQ，设P(x,)， ∴S四边形AQBP＝×4(x＋3)＋×3(+4) ＝2x＋＋12 ≥2＋12＝12＋12＝24. 当2x＝ 时，即x＝3时“＝”成立. ∴四边形AQBP的面积的最小值为24. $21.5　反比例函数 第1课时　反比例函数 要点感知 一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中 是自变量， 是函数.自变量x的取值范围是 . y＝ x y 不等于0的一切实数 典例导学 已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： x   －2 －1 －   3 y   2   －1 (1)写出这个反比例函数的表达式：________； (2)根据函数表达式完成上表. 【思路分析】(1)设反比例函数的表达式为y＝，找出自变量x与y的一对对应值，然后代入求解即可；(2)将x或y的值代入函数表达式，求得对应的y或x的值即可. 【自主解答】(1)y＝－. (2)从左往右依次为－3，1，4，2，－. 易错易混 【易错原因】忽略反比例函数的比例系数k≠0 已知函数y＝(m＋1)是反比例函数，则m的值为________. 【自主解答】 1 知识点1：反比例函数的概念 1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( ) A.y＝x＋3 B.y＝ C.y＝ D.y＝ D 2.反比例函数y＝的比例系数是 . 3.若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 . 4.反比例函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 . － a≠－3 x≠5 知识点2：建立反比例函数模型 5.下列关系式中的两个量成反比例的是( ) A.圆的面积与它的半径 B.正方形的周长与它的边长 C.路程一定时，速度与时间 D.长方形一条边确定时，周长与另一边 C 6.(教材P44练习T1变式)已知一菱形的面积为12 cm2，对角线长分别为x cm和y cm，则y与x的函数关系式为 . y＝(x＞0) 知识点3：用待定系数法求反比例函数的表达式 7.已知y与x成反比例，当x＝2时，y＝－3，则当y＝－6时，x＝ . 1 8.已知，反比例函数y＝的图象过点A(－3，－2). (1)求反比例函数的表达式； (2)若点B(1，m)在该图象上，求m的值. 解：(1)由题意，得－2＝，解得k＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝. (2)将(1，m)代入表达式，得m＝＝6. ∴m的值为6. 9.一定质量的干松木，当它的体积V＝2 m3时，它的密度ρ＝0.5×103 kg/m3，则ρ与V之间的函数表达式是( ) A.ρ＝1 000 V B.ρ＝V＋1 000 C.ρ＝ D.ρ＝ D 10.已知y与x－2成反比例关系，且当x＝－2时，y＝3， (1)y与x之间的函数表达式为 ； (2)当y＝－6时，求x的值. 解：(2)把y＝－6代入y＝－中，可得 －6＝－，解得x＝4. y＝－ 11.已知函数y＝(5m－3)＋(n＋m)， (1)当m，n为何值时是一次函数？ 解：(1)当函数y＝(5m－3)＋(n＋m)是一次函数时，2－n＝1， 且5m－3≠0， 解得n＝1且m≠. (2)当m，n为何值时，为反比例函数？ 解：当函数y＝(5m－3)＋(n＋m)是反比例函数时， 得 解得n＝3，m＝－3. 12.如图，阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm.设动力为y(单位：N)，动力臂长为x(单位：cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂). (1)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数； 解：(1)根据题意，得y×x＝1 000×5， ∴所求函数的表达式为y＝， 这个函数是反比例函数，比例系数是5 000. (2)当x＝50时，求函数y的值，并说明这个值的实际意义； 解：当x＝50时， y＝＝＝100(N)， 这个函数值的实际意义是，当动力臂长为50 cm时，所需动力为100 N. (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n(n>1)倍时，所需动力将怎样变化？ 解：设原来的动力臂长为d(cm)，动力为y1(N)；扩大后的动力臂长为nd(cm)(n>1)，动力为y2(N)，将x＝d，x＝nd分别带入y＝， 得y1＝，y2＝， ∴y2＝y1. 所以当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的. 13.[核心素养·创新意识]将x＝代入反比例函数y＝－中，所得函数值记为y1，又将x＝y1＋1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2＋1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2 024的值为( ) A.2 B.－ C. D.6 【解析】由题意，得y1＝－，y2＝2，y3＝－，y4＝－，…，y值每3个一循环，2 024÷3＝674…2，∴y2 024＝y2＝2. A $