21.4 第2课时 利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数模型解决抛物线形建筑问题，通过赵州桥等实际建筑情景导入，衔接已学二次函数图像知识，以问题链引导建立坐标系、确定函数表达式，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于结合拱桥、悬索桥等真实案例，培养学生用数学眼光抽象问题、几何直观建立模型，通过推理意识推导函数表达式，体现模型意识解决实际问题。采用探索归纳与例题变式结合，课堂小结明确转化流程，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学案例与方法。

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 第2课时 利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 课堂小结 例题讲解 随堂演练 情景导入 获取新知 情景导入 我们经常见到一些这样形状的建筑物，如赵州桥： 它们的形状和我们学习过的二次函数的图像相似，都是抛物线，如何研究它们，这是本节课的学习内容。 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 获取知识 探索1：利用二次函数解决桥梁类问题 问题1 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 一起探索 问题2 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，二次函数表达式为 ，如图 -3 y -2 O -2 -3 3 2 A 问题3 如何确定a是多少？ -3 y -2 O -2 -3 3 2 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 , 解得 因此 ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度的变化情况了． A 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： . 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3 m时， 因此拱顶离水面高1.125 m. 做一做 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 归纳总结 例题讲解 问题1 例1 如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如下图求这条抛物线对应的函数表达式; (2）计算距离桥两端主塔 分别为100 m,50 m处垂直 钢索的长. 解： (1）根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0，0.5) , 对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为 y = ax2+0.5. 抛物线经过点(450，81.5),代入上式,得 81.5 = a· 4502+0.5. 解方程,得 答:所求抛物线对应的函数表达式为 (2)当x = 450 - 100 = 350(m)时,得 y = ×3502+0.5 = 49.5(m). 当x = 450 - 50 = 400(m)时,得 y = ×4002+0.5 =64.5(m). 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. 解决实物“抛物线”模型问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数表达式； (4)利用待定系数法求出函数表达式； (5)根据求得的表达式进一步分析、判断并进行有关的计算. 归纳总结 例2 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流 不致落到池外？ O. A 解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). O. A 数学化 x y O ●B(1,2.25) A (0,1.25) C 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－(x-1)2+2.25. Administrator (A) - 根据实际问题建立适当的坐标系、数学模型是解决二次函数问题的关键环节，鼓励学生多种思维角度解决问题. 1.如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为 （ ） A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m C 随堂演练 2. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线 形，以水平地面为 轴，垂直于水平地面 且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角 坐标系，池塘的宽 ，池底最深 处距离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 16 【点拨】由图象可得，抛物线的顶点坐标 为，且过点， 设池塘所在 抛物线的表达式为 ，把点 的坐标代入表达式可得 ，解得， ，当池塘中水面 的宽度减少为原来的一半，即时，易知 ， ，此时最深处到水面的距离为 . 17 3.如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝0.022 5x2＋0.9x＋10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称. (1)右边一条抛物线的表达式为y＝ ； (2)钢缆的最低点到桥面的距离是 m； (3)两条钢缆最低点之间的距离是 m. 0.022 5x2－0.9x＋10 1 40 4.(安庆石化一中月考)某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6 m，则他在不弯腰的情况下在大棚里横向活动的范围是 . 5.(陕西中考)现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O 垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE＝12 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为14 m. (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 解：(1)抛物线的函数表达式为 y＝－(x－6)2＋14. (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯.已知点A，B到OE的距离均为10 m，求点A，B的坐标. 解：当y＝10时，10＝－(x－6)2＋14， 解得x1＝6－，x2＝6＋， ∴A（6－，10），B（6＋，10）. 6.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据. (1)求此抛物线的表达式； 解：(1)建立如答图所示平面直角坐标系，由题意，得B(0，0.5)，C(1，0).设抛物线的表达式为 y＝ax2＋c，代入得a＝－0.5，c＝0.5， 故抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋0.5. (2)计算所需不锈钢管的总长度. 解：如答图，设立柱分别为B1C1，B2C2，B3C3，B4C4. ∵当x＝0.2时，y＝0.48；当x＝0.6时，y＝0.32， ∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4＝2×(0.48＋0.32) ＝1.6(m). ∴所需不锈钢管的总长度为1.6×50＝80(m). 7. 一条河上横 跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆 索与缆索均呈抛物线形，桥塔与桥塔 均垂直于桥 面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔 所 在直线为 轴，建立平面直角坐标系.#1 25 已知：缆索所在抛物线与缆索 所 在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ， ，缆索的最低点到的距离 （桥塔的粗细忽略不计）#1.1 26 （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； 【解】由题易得顶点的坐标为，点的坐标为 ， 设缆索所在抛物线的函数表达式为 ， 把点的坐标代入上式，得 ，解得 ， 缆索 所在抛物线的函数表达式为 27 （2）点在缆索上，，且， ， 求 的长. 28 缆索所在抛物线与缆索 所在抛物线 关于轴对称，且缆索 所在抛物线的函 数表达式为 ， 缆索所在抛物线的函数表达式为 . ， 把代入，得 ， 解得，或 . ，的长为 . 29 8. 有一辆宽 为 的货车（如图①），要通过一条 抛物线形隧道（如图②）.为确保车辆 安全通过，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至 少为.已知隧道的跨度为，拱高为 . 30 （1）若隧道为单车道，货车高为 ， 该货车能否安全通过？请说明理由. 31 【解】货车能安全通过.理由如下：建立如图所 示的平面直角坐标系.易知抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为 . 当时， . , 该货车能够安全通过. 将点的坐标代入上式，得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 , 32 （2）若隧道为双车道，且两车道之间有 的隔离带，通 过计算说明该货车能够通过的最大安全高度. 当 时， ， 货车能够通过的最大安 全高度为 . 33 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 课堂小结 $