第26章 26.4 第3课时 抛物线形问题（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实际问题，通过教材母题变式（如桥梁、投篮问题）导入，连接二次函数顶点式、待定系数法等前期知识，搭建从数学模型到实际应用的学习支架。 其亮点是分层同步设计，母题改编贴近教材，课堂练习融入大桥、铅球等生活情境。引导学生建立坐标系抽象函数模型，发展数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力），总结解题步骤培养数学语言表达。助力学生提升应用能力，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

数 学 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 教材母题变式 课堂10分钟 教材母题1 利用二次函数解决桥梁(隧道)类问题 例1 (教材P53探究2改编)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4 m，若水面上升1 m，则水面宽为_____m. 2 教材母题2 利用二次函数解决其他抛物线形问题 例2 (教材P54T1改编)在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)如图1建立平面直角坐标系. ①求此抛物线的表达式； 解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为(2.5，3.5)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2.5)2＋3.5. 由图1知抛物线过点(4，3.05)，∴2.25a＋3.5＝3.05，∴a＝－0.2， ∴此抛物线的表达式为y＝－0.2(x－2.5)2＋3.5. ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是_____米. 0.2 (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 解：由题意，得此时该抛物线的顶点坐标为(4，4)，∴可设该抛物线的表达式为y＝m(x－4)2＋4. 又∵抛物线过点(0，)，∴16m＋4＝，∴m＝－ ， ∴y＝－ (x－4)2＋4.令x＝7，则y＝3＜3.05，∴此球不能投中这个篮圈. 解决抛物线形实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 1.如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－0.01(x－20)2＋4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA＝5米，则桥面离水面的高度AC为(　　) A.5米 B.4米 C.2.25米 D.1.25米 C 2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系(如图)，发现铅球离地面的高度y(m)和铅球与运动员出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－ x2＋x＋2，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是____m. 10 3.(2025南宁兴宁区校级月考)如图1，桥拱截面可视为抛物线的一部分，按如图2所示建立平面直角坐标系，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m. (1)求桥拱部分抛物线的函数表达式； 解：由题意，得水面宽OA是8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m， 结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)， 设桥拱部分抛物线的函数表达式为y＝a(x－4)2＋4， 将O(0，0)代入函数表达式，解得a＝－ ， ∴y＝－ (x－4)2＋4＝－ x2＋2x， ∴桥拱部分抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋2x(0≤x≤8). (2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？请说明理由(假设船底与水面齐平). 解：他的头顶不会触碰到桥拱.理由如下： 由题意，得工人与O点的距离为0.4＋×1.2＝1(m)， 将x＝1代入y＝－ x2＋2x，得y＝＝1.75. ∵1.75 m＞1.68 m， ∴他的头顶不会触碰到桥拱. $