第25章 25.2.3 因式分解法（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法，以因式分解法为核心，通过教材知识梳理构建概念基础，结合教材母题变式实现从理论到应用的过渡，辅以方法总结形成解题步骤支架，帮助学生逐步掌握降次思想及解法逻辑。 其亮点在于分层设计由易到难，母题变式紧密联系教材，易错点分析强化推理意识，课堂10分钟即时巩固提升运算能力。通过规范步骤描述和简记口诀培养数学语言表达，助力学生形成系统解题思维，为教师提供高效教学资源。

数 学 教材知识梳理 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3因式分解法 教材母题变式 课堂10分钟 1.因式分解法的概念：通过分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于①____的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现②______.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 0 降次 2.因式分解法的依据：如果a•b＝0，那么③________或 ④________. a＝0 b＝0 教材母题1 用因式分解法解一元二次方程 例1 (教材P13问题改编)根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10x－5x2.根据上述规律，物体经过___s落回地面. 变式 (教材P13例4改编)解下列方程： (1)3x2－6x＝－3； 解：移项、化简，得x2－2x＋1＝0， ∴(x－1)2＝0， ∴x－1＝0， ∴x1＝x2＝1. 2 (2)4x(x－1)＝x2－1. 解：移项，得4x(x－1)－(x2－1)＝0， 即4x(x－1)－(x＋1)(x－1)＝0， ∴(x－1)［4x－(x＋1)］＝0， ∴x－1＝0或4x－(x＋1)＝0， ∴x1＝1，x2＝. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 解题模板 (1)移项：将方程右边的项全部移至左边，使右边为①___； (2)化积：将左边的式子因式分解为两个一次因式的②____； (3)转化：分别令每个因式等于③ ___，将方程转化为两个一元一次方程； (4)求解：分别解这两个一元一次方程，得到的解就是一元二次方程的解. 【简记口诀】右化零，左分解，两因式，各求解 解方程：x2＋4x＋6＝－x. x2＋5x＋6＝0， (x＋2)(x＋3)＝0， ④__________________， ⑤__________________. 0 积 0 x＋2＝0或x＋3＝0 x1＝－2，x2＝－3 教材母题2 用适当的方法解一元二次方程 例2 (教材P27T1改编)用适当的方法解下列方程： (1)(2x＋3)2－49＝0； 解：移项，得(2x＋3)2＝49， ∴2x＋3＝7或2x＋3＝－7， 解得x1＝2，x2＝－5. (2)2x2－7x－2＝0； 解：a＝2，b＝－7，c＝－2， ∴Δ＝b2－4ac＝49＋16＝65， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. (3)(x＋2)2＝3(x＋2)； 解：移项，得(x＋2)2－3(x＋2)＝0， 因式分解，得(x＋2)(x＋2－3)＝0， ∴x＋2＝0或x＋2－3＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. (4)x2－2x－3＝0. 解：移项，得x2－2x＝3. 方程两边同时加1，得x2－2x＋1＝3＋1， 即(x－1)2＝4，∴x－1＝2或x－1＝－2， 解得x1＝3，x2＝－1. 解一元二次方程的方法的选择技巧： (1)若一元二次方程为(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用①____________法； (2)若一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用②______法； (3)若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用③__________法； (4)若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用④______法. 直接开平方 配方 因式分解 公式 易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致漏解 例3 【注重学习过程】 在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：(x－1)(x＋2)＝3(x＋2). 佳琪同学的解答过程如下： 方程(x－1)(x＋2)＝3(x＋2)两边同时除以x＋2，得x－1＝3，所以x＝4，因此，方程的解为x＝4. (1)试判断佳琪同学的解法是否正确.若不正确，请说明原因. 解：佳琪同学的解法不正确，原因是方程两边不能同时除以x＋2. (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程. 解：∵(x－1)(x＋2)＝3(x＋2)，∴(x－1)(x＋2)－3(x＋2)＝0， ∴(x＋2)［(x－1)－3］＝0，即(x＋2)(x－4)＝0， ∴x＋2＝0或x－4＝0，∴方程的解为x1＝－2，x2＝4. 当方程两边含有相同的因式时，切记不可在方程两边同时约去含有未知数的项，一定要将方程右边的式子移至左边后再进行因式分解. 1.完成下列几种常见的用因式分解法解关于x的方程的过程： (1)形如x2＋bx＝0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为____________，则______或_________，即x1＝___，x2＝_____； (2)形如x2－a2＝0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为_________________，则_________或_________，即x1＝_____，x2＝___； x(x＋b)＝0 x＝0 x＋b＝0 0 －b (x＋a)(x－a)＝0 x＋a＝0 x－a＝0 －a a (3)形如x2±2ax＋a2＝0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为_____________，则①x＋a＝0，即x1＝x2＝______；②x－a＝0，即x1＝x2＝___. (x±a)2＝0 －a a 2.一元二次方程(x－)(x－)＝0的根是_______________. x1＝，x2＝ 3.一元二次方程x(2x－5)＝4x－10的根是________________. x1＝，x2＝2 4.选择合适的方法解下列方程： (1)x2＋3x＝0； 解：将方程左边因式分解， 得x(x＋3)＝0， 由此得x＝0或x＋3＝0， 解得x1＝0，x2＝－3. (2)5x2－4x－1＝0； 解：a＝5，b＝－4，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36， ∴x＝＝， ∴x1＝1，x2＝－ . (3)x2＋2x－3＝0. 解：原方程可化为x2＋2x＋1－4＝0， 即(x＋1)2＝4， 由此得x＋1＝2或x＋1＝－2， 解得x1＝1，x2＝－3. $