第25章 25.1 一元二次方程的概念（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程，通过教材知识梳理（填空形式梳理定义、一般形式及根的概念）建立基础，衔接母题变式（定义辨析、根的判断、实际问题列方程），形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于分层设计（由易到模提升），母题变式结合教材改编，突出易错点。通过定义辨析培养抽象能力，实际问题列方程强化模型意识，助力学生夯实基础、提升解题能力，教师可获得系统分层资源，优化教学效率。

数 学 教材知识梳理 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 教材母题变式 课堂10分钟 1.一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有①______个未知数，且含有未知数的式子都是②_______，未知数的③_______次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一 整式 最高 2.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中④______是二次项，⑤____是二次项系数；⑥_____是一次项，⑦____是一次项系数；⑧____是常数项. ax2 a bx b c 3.一元二次方程的根：使一元二次方程⑨______________的未知数的值，就是这个一元二次方程的⑩____，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 左右两边相等 解 教材母题1 一元二次方程的定义及一般形式 例1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　) A.ax2＋bx＋c＝0 B.x2＋1－y2＝0 C.x2＋＝2 D.x2－x－2＝0 D 例2 (教材P3例改编)将方程(x＋1)2＋2(x＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项. 解：去括号，得x2＋2x＋1＋2x＋4＝1. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2＋4x＋4＝0. 它的二次项为x2，二次项系数为1， 一次项为4x，一次项系数为4， 常数项为4. 求一元二次方程的项与系数的方法：(1)将所给方程化成一元二次方程的一般形式，即ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； (2)依次写出所求. 教材母题2 一元二次方程的根 例3 (教材P4T3改编)下列哪些数是一元二次方程x2＋2x－8＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 解：将x＝－4代入一元二次方程x2＋2x－8＝0， 左边＝(－4)2＋2×(－4)－8＝0，即左边＝右边， 故x＝－4是一元二次方程x2＋2x－8＝0的根. 同理可得，x＝－3，－2，－1，0，1，3，4，都不是一元二次方程x2＋2x－8＝0的根； x＝2是一元二次方程x2＋2x－8＝0的根. 变式 【整体思想】若a是方程3x2－6x－2＝10的一个解，则2a2－4a－2 031的值是_________. 已知方程的解求代数式的值时，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值. －2 023 教材母题3 根据实际问题列一元二次方程 例4 (教材P3T2改编)根据题意列方程并化为一般形式： (1)将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为 ______ _________； (2)把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为 _______ _______. x2－8x －12＝0 x2＋2x －4＝0 易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 例5 已知关于x的方程(m＋2)x｜m｜＋3x＋m＝0是一元二次方程，求此一元二次方程. 解：由题意，得 ∴m＝2， ∴此一元二次方程为4x2＋3x＋2＝0. 先观察方程特征，依据定义建立关于m 的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论. 变式 当______时，关于x的方程｜a－2｜x2＋bx＋c＝0是一元二次方程；当____________时，关于x的方程｜a－2｜x2＋bx＋c＝0是一元一次方程. a≠2 a＝2且b≠0 1.下列各式中，是一元二次方程的是(　　) A.3x2＋＝0 B.ax2＋bx＋c＝0 C.(x－3)(x－2)＝x2 D.(3x－1)(3x＋1)＝3 D 2.已知方程5x2＋mx－8＝0的一个根为－4，则m的值为____. 18 3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2＝x (x＋2)(x－1)＝6 4＋7x2＝0 3x2－x＝0 3 －1 0 x2＋x－8＝0 1 1 －8 7x2＋4＝0 7 0 4 $