6.1 直线方程与两直线的位置关系 题源3 平行与垂直问题-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

因为确定一条直线需要两个独立条件，所以求直线方 程也需要两个独立条件，其方法有两种： (1)直接法：直接选用直线方程的四种形式，最后化为 一般式. (2)待定系数法：概括起来就是设方程、求参数、代入 写方程. [真题3](2020·重庆)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a =0(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1)，则直线1的 方程为 [解析]本题解题思路是先明确圆心坐标，再借助于相关 的平面几何知识，从而确定直线方程.依题意得圆心坐标是 (一1,2)，且直线1与由圆心、点(0,1)确定的直线相互垂直，因 此直线1的斜率等于-已。=1，又孩直线1经过点(0,1)，所 2-1 以直线1的方程是y一1=x,即x-y十1=0. [真题4](2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知 圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线1过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3， 求直线！的方程： (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相 垂直的直线1，和12，它们分别与圆C1和C2相交，且直线11被 圆C,截得的弦长与直线1：被圆C:截得的弦长相等.试求所有 满足条件的点P的坐标. [解析](1)由于直线x=4与 ↑y 圆C1不相交，所以直线1的斜率存 在，设直线1的方程为y=k(x一4)， 圆C1的圆心到直线l的距离为d,因 为直线1被圆C1截得的弦长为2W3. 所以d=√22-(3)=1. 由点到直线的距离公式得d=1一(-3-4川 W1十k2 从而k(24k十7)=0.即k=0或k=一24' 7 所以直线1的方程为y=0或7x十24y-29=0. (2)设，点P(a,b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y一b= k(x一a),k≠0， 1 则直线l:的方程为y-b=一友（x一a). 因为圆C1和C:的半径相等，及直线l1被圆C裁得的弦 长与直线1：被圆C:裁得的弦长相等，所以圆C的圆心到直线 (1的距离和圆C2的圆心到直线1：的距离相等，即 5+ 11-k(-3-a)-b1 k(4-a)-6 √1+k2 1 W1+ 整理得|1+3k+ak一b=|5k十4一a一bk|, 从而1十3k+ak-b=5k+4-a一bk或1+3k十ak-b= -5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3或(a一b十8)k=a十b-5, 因为友的取值有无穷多个，所以 十+6-2=0支-b+8=0. b-a+3=0,1a+b-5=0, ·13 5 3 2 21 解得 或 13 2， 2 这样点P只可能是点P(侵-）或点P(2) 经检验点P1和P2满足题目条件， 题源3 平行与垂直问题 解题模型 1.两条直线平行的条件 (1)当直线l1和12有斜截式方程： 11:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2时，直线11∥12的充 要条件是k1=k2,且b1≠b. (2)直线l1的方向向量为v1=(a1,b1),直线1：的方 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与l2平行的必要条件是 a1b2一a2b1=0. 2.两条直线垂直的条件 (1)当直线11和1：有斜裁式方程11：y=k1x十b1,l2: y=k2x十b2时，直线l1,l2互相垂直的充要条件是k1·k2 =-1. (2)直线l1的方向向量为v1=(a1,b1),直线1g的方 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与l2互相垂直的充要条 件是a1a2十b1b2=0. 3.特殊位置直线的平行与垂直：是指方程式为x=a型 与y=b型直线的平行与垂直，判定方法简单，但容易忽视. [真题5](2021·上海)已知直线11：(k-3)x十(4-)y +1=0与12：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是() A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 [解析]由两直线平行可得：当k=3时符合题意；当k≠3 k一34一k 时，有2（6-3=-2，解得k=5,所以选C [真题6](2022·安徽)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 [解析]解法-：斜奉为2的直线只有A,B通过(1,0)的 直线有A,故答案为A.解法二：与直线x一2y一2=0平行的直 线斜率为2，所以过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直 1 线方程为y=2(x-1),即x-2y-1=0,选A 题源4两条直线所成的角和点到直线的距离 8·