4.1 导数与积分 题源4 导数几何意义的综合运用-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

[真题10](2020·江苏)设直线y=2x+6是曲线y= lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为 [解折]由已如条#可得=y==士-了样切 点的横坐标x=2,切，点坐标为(2，ln2),由点(2，ln2)在切线y= 2x+b上可得b=ln2- 1 ×2=ln2-1. 2 [真题11](2021·湖南)若函数y=f(x)的导函数在区 间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可 能是 O a D [解析]本题考查了导数的意义，属于基础知识、基本运算 的考查.由导数是切线的斜率知，即f(x)函数图象上的切线的 斜率依次增大，B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大 后小，C选项斜率是一常数，D项斜率先增然后又减，只有A项 的曲线上从左到右的，点的切线斜率是依次增大的，选A [真题12](2020·福建)已知函数y=f(x),y=g(x)的 导函数的图象如图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 /y=g(x) y=f(x) y=f(x) yty=g(x yty=g(x) v=g(x) y=f(x) Xo B D [解析]本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导数 表示对应的曲线在该点的切线斜率.由图象，当x∈(0，十∞)时， y=f(x),y=g(x)的导函数均大于0，所以y=f(x),y=g（x) 的图象在x∈(0，十)单调递增，四个选项均符合.又当x∈ (0,十)时y=f(x)的导函数单调递减，而y=g(x)的导函数 单调递增，所以随x的增大，y=f(x)的图象坡度越来越平，而 y=g(x)的图象坡度越来越陡，故选D,本题较深入地考查了原 函数与导函数的本质关系，是一道不可多得的好题， 题源4导数几何意义的综合运用 [真题13](2020·湖北)已知函数f(x)=x3+m.x2 m2x十1(m为常数，且m>0)有极大值9. 5 (I)求m的值； (Ⅱ)若斜率为一5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直 线方程 [解析]（1)f'(x)=3x2+十2m.x-m2=(x十m)(3x-m) =0,则x=一m或x=3m. 当x变化时，f(x)与f'(x)的变化情况如下表： x 一m m.3m f'(x) 0 0 + f() 极大值 极小值 从而可知，当x=一m时，函数f(x)取得极大值9，即 f(-m）=-m3+m3+m3+1=9,.m=2. (Ⅱ)由(I)知，f(x)=x3十2x2一4x十1，依题意知f‘(x) =3x2+4x一4=-5， 1 .x=-1或x=- 3 又-1=6() 68 所以切线方程为y一6=一5(x十1)， =-(+) 即5.x+y-1=0,或135x+27y-23=0. [真题14](2021·全国1)已知函数f(x)=x‘-3x2+6. (I)讨论f(x)的单调性： (Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上，若该曲线在点P处的切线 1通过坐标原点，求1的方程. [解折](I)f'(红)=4x-6x=4z(x+50 2 当E(-,年Eo时f0, 当x∈(-6 0)和x∈6， ,+∞)时f'(x)>0. 因此，（在区同(，）和(0，是减画教， 2 ,0)和(6 f(x)在区间(-6 ,十0∞)是增函数. (Ⅱ)设点P的坐标为(xo,f(xo),由1过原点知，l的方程 为y=f'(x。)x. 因此f(xo)=xof'(xo), 即x。-3.x8+6-x。(4x8-6xo)=0, 整理得(x十1)(x6-2)=0. 解得xo=一√2或x。=√2】 因此切线l的方程为y=2√2x或y=2√2x [真题15](2022·重庆)已知函数f(x)=二1+1n(z十1) x十a 其中实数a≠-1. (I)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线 方程： (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)的单调性. [解析](I)(x)=+a二（x1卫+1 a+1 (x十a)2 +x+1=(x+a)月