5.2 空间几何体的表面积和体积 题源1 表面积-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§5.2 空间几何体的表面积和体积 考纲·题型解读 1.柱，锥、台体的侧面积分别是侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各棱的位置关系是求侧面积及解决有关 问题的关键. 2.求柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高，充分运用多面体的载面及旋转体的轴载面，将空间问题转化成平面 问题. 3.柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，一殷情况下，只要记住公式，题目就可以顺利求解.因此题目从难度上讲属于 中、低档题，所以在高考中直接出题的可能性较大，容易出现相关的选择题或填空题， 五年高考母题题源揭秘 题源1表面积 的正视图如图所示，则其表面积等于 解题模型 (1)直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面 一1一1 展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是 [解析] 由三视图还原的几何体为 一些全等的等腰梯形」 (2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并 与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积. (3)如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面 积是S查赖柱制=ch。 1 Sksk=2×2×2sin60+2×1×3=6+25. (4)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两条边分别等 于圆柱的母线长和圆柱的底面圆的周长；圆锥的侧面展开 [真题2](2022·全国)设三棱柱的侧楼垂直于底面，所有 棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() 图是扇形，扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，扇形的 7 孤长等于底面圆的周长；圆台的侧面展开图是扇环. A.xa2 B.3 xa (5)球的表面积等于其大圆面积的4倍. (6)多面体的表面积： c号w D.5 xa ①圆柱的表面积S=2l十2πr2(其中r为底面半径， [解析]设三棱柱上底面所在圆的半径为，球的半径为 1为母线长). ②圆锥的表面积S=πr2+rl(其中r为底面半径，l R,由已知r= 2 3. 为母线长) )广=+ 2 7 又R2=r2+ ③圆台的表面积公式S=xr2+xr2+x(r十r)1(其中 12a2, r',r为上、下底面半径，l为母线长). 巴Su=4R=4r227 3a',故选B. ④球的表面积公式S=4πR(其中R为球半径) 【注意】①应注意各个公式的推导过程，不要死记硬 [真题3](2021·全国Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA 背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的等腰三角形、 的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C. 台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用. 若园C的面积等于，则球0的表面积等于 ②如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或 [解析]本题考查球的内接问题，合理构造直角三角形是 全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加 求解的关键.设截面圆的圆心为O1,连接OO1,O1A,则 ③圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它们的侧面展开图 的面积，因此应熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的 ∠0，M0=45,令我西圆半径为r,球半径为R.:经=7 形状以及展开图中各线段长度与原几何体中线段长度的 关系，这是掌握侧面积公式以及进行计算求解的关键. 号在R△00，M中，O0,=OMsin天=号x怎=ER,则 2 2 4 ④在解决台体的有关计算问题时，注意运用“还台为 锥”的处理策略」 0列国C所在承西的距离是9R,在克角三角形R△O0,A中 [真题1](2022·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱 得R= 8R:+2 ，即R=2,则球的表面积为4xR=8元， ·88· [真题4](2021·全国I)直三棱柱ACB-A1B1C1的各 ∠AOC=∠AOD=∠COD=90°， 顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°，则 OA=OC=OD=22, 此球的表面积等于 [解析]设球心为O,△ABC外接圆圆心为O',OO'⊥ 1 .Vam=3X(22)2X2=3 ⊙O,由对称性可知，|O0|=1,设△ABC外接圆半径为r,由 [真题6](2022·浙江)若某几何体的三视图（单位：cm) BC 余弦定理得|BC|=2√3，由正弦定理得2r= sinl20° =4,r=A01 如图所示，则此几何体的体积是 cm'. =2,R2=OO2十AO?=1十4=5，球的表面积S=4rR2=20π. [解析] 由三视图知2 4 +2 此几何体是由一个长方体 题源2体积 和一个台体组成，由题中数 据知长方体体积为4×4×2 解题模型 =32. 正视图 侧视图 (1)几何体的体积公式： 台体体积为。×3X(4 ①柱体的体积公式V=Sh(其中S为底面面积，h为高). 巴维体的体积公式V=号S弘（共中S方底西西积办 ×4+8×8+4×8)=112, .几何体体积为112十 为高) 32=144. 俯视图 1 圆台体的体积公式V=3(S+S'+√SS)h(其中 [真题7刀(2020·全国)如图，体积为V的大球内有4个小 S、S为上、下底面面积，h为高) 球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交 ④球的体积公式V= 3πR(其中R为球半径). 点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方体的4个顶点. 设V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V:为大球内、小 (2)计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些 球外的图中黑色部分的体积，则下列关系式中正确的是( 基本几何体构成，然后再通过轴戳面分析和解决问题. 【注意】①计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根 A>号 据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用旋转体 的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解. B.V:<2 ②注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化 C.V>V: 法等是解决一些不规则儿何体体积计算常用的方法，应熟 D.Vi<V: 练掌握. [解析]本题解题思路是结合图形与选项，通过作差，从而 ③利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些求点到平 比较相关体积间的大小关系，设大球半径是2，依题意结合图形 面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的 高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解 有V:-V= 决问题， 0,V- [真题5](2022·上海)如图所示，在边长为4的正方形纸 片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去△AOB,将剩余部分沿 =V>0,月元有y>,>兰选D OC,OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的 [真题8](2018·山东)正方体的内切球与其外接球的体 四面体的体积是 积之比为 A.1:3 B.1:3 C.1:3√3 D.1:9 解析]合恶方体模长为1，则RA,月 21 w,v=片哈)][②》 =1:3√5.选C. [真题9](2022·全国Ⅱ)已知正四棱锥S-ABCD中， [解析]折叠后的几何体如图， SA=23,那么当该棱鞋的体积最大时，它的高为 () A.1 B.√5 C.2 D.3 [解析]设正四棱锥的高为h,如图， S0=h,则A0=√SA-S0= √I2-h(0<h<23),AB=V2A0= Va-2项，v=吉samA=-2 , =8一2h2,令V=0,h=2(一2舍去)，当0<h2时，V'>0:当2 ·89·